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8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式.
2.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積．
一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積
問題1　如何根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖，求圓柱的表面積？
問題2　如何根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖，求圓錐的表面積？
問題3　如何根據(jù)圓臺的側(cè)面展開圖，求圓臺的表面積？
知識梳理　
圖形 表面積公式
旋轉(zhuǎn)體 圓柱 底面積：S底＝______； 側(cè)面積：S側(cè)＝______； 表面積：S＝______
圓錐 底面積：S底＝______； 側(cè)面積：S側(cè)＝______； 表面積：S＝______
圓臺 上底面面積：S上底＝______； 下底面面積：S下底＝______； 側(cè)面積：S側(cè)＝______； 表面積：S＝______
例1　(1)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．
(2)已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側(cè)面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為(　　)
A．7 B．6 C．5 D．3
反思感悟　圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．
跟蹤訓(xùn)練1　圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是(　　)
A．4πS B．2πS C．πS D.πS
二、圓柱、圓錐、圓臺的體積
問題4　我們以前學(xué)習(xí)過圓柱、圓錐的體積公式，你能由圓臺的定義，利用圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺的體積公式嗎？
知識梳理　
幾何體 體積 說明
圓柱 V圓柱＝Sh＝________ S為底面積，h是高，r是底面半徑
圓錐 V圓錐＝Sh＝________ S為底面積，h是高，r是底面半徑
圓臺 V圓臺＝(S′＋＋S)h＝____________ S′，S分別為上、下底面面積，h為高，r′，r分別是上、下底面半徑
例2　(1)(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長12 cm，寬8 cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是(　　)
A. cm3 B. cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
(2)已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為________．
反思感悟　求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，圓錐、圓臺的高是由母線、高、半徑(半徑的差)組成的直角三角形的邊長列出方程并求解．
跟蹤訓(xùn)練2　圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16π，則圓錐的體積是(　　)
A. B.
C．64π D．128π
三、球的表面積與體積
問題5　設(shè)球的半徑為R，你能類比圓的面積公式推導(dǎo)方法，推導(dǎo)出球的體積公式嗎？
知識梳理　
1．球的表面積公式S＝________(R為球的半徑)．
2．球的體積公式V＝________.
例3　(1)球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A．12π B．16π C. D.
(2)長、寬、高分別為2，，的長方體的外接球的表面積為(　　)
A．4π B．12π C．24π D．48π
反思感悟　計算球的表面積與體積，關(guān)鍵是確定球心與半徑．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)體積相等的球、正四面體和正方體，它們的表面積的大小關(guān)系為(　　)
A．S球B．S球C．S正四面體D．S正方體(2)若將兩個半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑R為________．
1．知識清單：
(1)圓柱、圓錐、圓臺的表面積．
(2)圓柱、圓錐、圓臺的體積．
(3)球的表面積和體積．
2．方法歸納：公式法．
3．常見誤區(qū)：平面圖形與立體圖形切換不清楚．
1．若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
2．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是(　　)
A. B.
C. D.
4．如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中，裝有適量的水，若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則＝________.
8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
問題1　圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱的高(母線).則S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)，其中r為圓柱底面半徑，l為母線長.
問題2　圓錐的側(cè)面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長，側(cè)面展開圖扇形的面積為×2πrl＝πrl，∴S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)，其中r為圓錐底面半徑，l為母線長.
問題3　
圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底面圓的周長，外弧長等于圓臺下底面圓的周長，如圖，＝，
解得x＝l，S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圓臺側(cè)＝π(r＋R)l，
S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
知識梳理
2πr2　2πrl　2πr(r＋l)　πr2
πrl　πr(r＋l)　πr′2　πr2
π(r′l＋rl)　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
例1　(1)1
解析　方法一　設(shè)該圓錐的母線長為l，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，其面積為2π，所以πl(wèi)2＝2π，解得l＝2，所以該半圓的弧長為2π.設(shè)該圓錐的底面半徑為R，則2πR＝2π，解得R＝1.
方法二　設(shè)該圓錐的底面半徑為R，則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長為2πR.因為側(cè)面展開圖是一個半圓，設(shè)該半圓的半徑為r，則πr＝2πR，即r＝2R，所以側(cè)面展開圖的面積為
·2R·2πR＝2πR2＝2π，
解得R＝1.
(2)D　[設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.
由S側(cè)＝7π(r＋3r)＝84π，
解得r＝3.]
跟蹤訓(xùn)練1　A
問題4　V圓臺＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).
知識梳理
πr2h　πr2h　π(r′2＋r′r＋r2)h
例2　(1)AB　[當(dāng)圓柱的高為8 cm時，V＝π×2×8＝(cm3)，當(dāng)圓柱的高為12 cm時，V＝π×2×12＝(cm3).]
(2)224π
解析　設(shè)上底面半徑為r，則下底面半徑R＝4r，
高h(yuǎn)＝4r，如圖.
∵母線長為10，
∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半徑R＝8，高h(yuǎn)＝8，
∴V圓臺＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π.
跟蹤訓(xùn)練2　A　
[作圓錐的軸截面，如圖所示，
由題意知，在△PAB中，∠APB＝90°，
PA＝PB.
設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，
則h＝r，PB＝r.
由S側(cè)＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，
解得r＝4.則h＝4.
故圓錐的體積V圓錐＝πr2h＝.]
問題5　分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和，得出球的體積公式.
知識梳理
1.4πR2
2.πR3
例3　(1)B
(2)B　[該長方體的體對角線長為＝2，
該外接球的半徑為R，
∴2R＝2，∴R＝，
∴S球＝4πR2＝12π.]
跟蹤訓(xùn)練3　(1)B　[設(shè)球、正四面體和正方體的體積都為V，
若球的半徑為R，則V＝πR3，
可得其表面積S1＝4πR2＝，
若正四面體的棱長為m，
則V＝·m2·m＝m3，
可得m＝，可得其表面積
S2＝4×m2＝m2＝，
若正方體的棱長為a，可得V＝a3，
所以正方體的表面積
S3＝6a2＝6＝，
因為36π<216<216，
所以S1即S球(2)
解析　V小球＝·π·13＝π，
V大球＝πR3，
依題意πR3＝π×2＝π，
∴R3＝2，∴R＝.
隨堂演練
1.C　2.A　3.A　4.

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