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第八章 立體幾何初步 章末復習課
　　　　　　
一、幾何體的表面積與體積
1．主要考查多面體、旋轉體的表面積，旋轉體的側面展開圖，柱體、錐體、臺體的體積，球的表面積和體積，不規則幾何體常用轉換法、分割法、補形法等進行求解．
2．利用公式求解表面積、體積，提高數學運算素養．
例1　在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈．求所得幾何體的表面積和體積．
反思感悟　關于空間幾何體的體積、表面積
首先要準確確定幾何體的基本量，如球的半徑，幾何體的高、棱長等，其次是準確代入相關的公式計算．
跟蹤訓練1　如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B.
C. D.
二、空間中的平行關系
1．空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查在空間幾何體中證明線面平行、面面平行以及線線平行．
2．通過線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉化，提升邏輯推理和直觀想象素養．
例2　已知M，N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD的棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：
(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
反思感悟　線線平行、線面平行、面面平行間的關系
線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以進行任意轉化，相互間的轉化關系如圖．
跟蹤訓練2　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．
三、空間中的垂直關系
1．主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯系與轉化．
2．通過線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的轉化，提升直觀想象和邏輯推理素養．
例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟　線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
跟蹤訓練3　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
(1)求證：AC⊥平面BCE；
(2)求證：AD⊥AE.
四、空間角的求法
1．空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角．
2．通過找角、證角、求角，提升邏輯推理與數學運算素養．
例4　如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO與A′C′所成角的大小；
(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；
(3)二面角B－AO－C的大小．
反思感悟　(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角)．
(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②三垂線法；③垂面法．
跟蹤訓練4　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直線PB與CD所成的角為45°，求二面角P－CD－B的大小．
章末復習課
例1　解　根據題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后所得幾何體的上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體；
該組合體的表面積為
S幾何體＝S圓錐側＋S圓柱側＋S半球＝×2π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝(4＋16)π，
組合體的體積為
V幾何體＝V圓錐＋V圓柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝.
跟蹤訓練1　A　[如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，
容易求得EG＝FH＝，GH＝1，
AG＝DG＝BH＝CH＝，
取AD的中點O，連接OG，
易得OG＝，
∴S△ADG＝S△BCH＝××1＝，
∴多面體的體積V＝V三棱錐E-ADG＋V三棱錐F-BCH＋V三棱柱ADG-BCH＝2V三棱錐E-ADG＋V三棱柱ADG-BCH＝2×××＋×1＝.]
例2　證明　(1)如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
跟蹤訓練2　解　當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，則PF＝PB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
例3　證明　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以AP⊥CD.
又因為AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD.
因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E，
EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF，
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
跟蹤訓練3　證明　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，
AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因為AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
例4　解　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補角)．
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO與A′C′所成的角為30°.
(2)如圖，作OE⊥BC于點E，連接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO與平面ABCD所成角的正切值為.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B－AO－C的大小為90°.
跟蹤訓練4　解　∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角．
又直線PB與CD所成的角為45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∵AB＝AD，
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，
∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小為45°.

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