資源簡介

第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
[學習目標]　
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.
2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.
3.了解簡單組合體的概念及結構特征.
一、旋轉體的結構特征
知識梳理　
1.圓柱的概念及結構特征
圓柱 圖形及表示
定義 以______________所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱 圖中圓柱記作圓柱O′O
相關概念 圓柱的軸：________； 圓柱的底面：__________的邊旋轉而成的圓面； 圓柱的側面：__________的邊旋轉而成的曲面； 圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，______的邊
2.圓錐的概念及結構特征
圓錐 圖形及表示
定義 以直角三角形的______所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐 圖中圓錐記作圓錐SO
相關概念 圓錐的軸：旋轉軸； 圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面； 側面：直角三角形的________旋轉而成的曲面； 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
3.圓臺的概念及結構特征
圓臺 圖形及表示
定義 用________________的平面去截圓錐，________________之間的部分叫做圓臺 圖中圓臺記作圓臺O′O
相關概念 圓臺的軸：旋轉軸； 圓臺的底面：________________的邊旋轉一周所形成的圓面； 圓臺的側面：不垂直于軸的邊旋轉一周所形成的曲面； 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
4.球的概念及結構特征
球 圖形及表示
定義 ________________所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球 圖中的球記作球O
相關概念 球心：半圓的________； 半徑：連接________和球面上任意一點的________； 直徑：連接球面上______并經過球心的________
例1　(多選)下列選項中，正確的是(　　)
A.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
B.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
C.以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐
D.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
反思感悟　(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法
①明確由哪個平面圖形旋轉而成.
②明確旋轉軸是哪條直線.
(2)簡單旋轉體的軸截面及其應用
①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量.
②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.
跟蹤訓練1　(多選)下列說法正確的是(　　)
A.圓柱的母線與它的軸可以不平行
B.圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
C.在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D.圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的
二、簡單組合體的結構特征
知識梳理　
現實世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體稱作________________.簡單組合體的構成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體________而成，一種是由簡單幾何體________________一部分而成.
例2　(1)請描述如圖所示的幾何體是如何形成的.
(2)如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形繞軸旋轉而成(　　)
延伸探究　將本例(2)中的組合體變為如圖所示的幾何體，則可由下列哪個三角形繞軸旋轉而成(　　)
反思感悟　判斷組合體構成的方法
(1)判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征；其次要善于將復雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體.
(2)組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構成的.要仔細觀察組合體的構成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，先分割，后驗證.
跟蹤訓練2　(1)如圖所示的簡單組合體的組成是(　　)
A.棱柱、棱臺
B.棱柱、棱錐
C.棱錐、棱臺
D.棱柱、棱柱
(2)將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括(　　)
A.一個圓臺、兩個圓錐
B.兩個圓柱、一個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱
D.一個圓柱、兩個圓錐
三、旋轉體的有關計算
例3　已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側，且距離等于1，求這個球的半徑.
反思感悟　(1)用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)的性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程(組)求解.
(2)利用球的截面，將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵.
跟蹤訓練3　如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺O′O的母線長.
1.知識清單：
(1)圓柱、圓錐、圓臺的結構特征.
(2)球的結構特征.
(3)簡單組合體的結構特征.
2.方法歸納：分類討論、轉化與化歸.
3.常見誤區：同一平面圖形繞不同的軸旋轉形成的旋轉體一般是不同的.
1.(多選)下列說法中不正確的是(　　)
A.將正方形旋轉不可能形成圓柱
B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線
2.下列選項中的三角形繞直線l旋轉一周，能得到如圖所示幾何體的是(　　)
3.一條排水管的截面如圖.已知排水管的截面圓半徑OB＝10，水面寬AB＝16，則截面水深CD等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.兩相鄰邊長分別為3 cm和4 cm的矩形，以一邊所在直線為軸旋轉所成的圓柱的底面積為________ cm2.
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
知識梳理
1.矩形的一邊　旋轉軸　垂直于軸
平行于軸　平行于軸
2.一條直角邊　斜邊　
3.平行于圓錐底面　底面與截面
垂直于軸
4.半圓以它的直徑　圓心　球心　線段
兩點　線段
例1　CD　跟蹤訓練1　BD
知識梳理
簡單組合體　拼接　截去或挖去
例2　(1)解?、偈怯梢粋€圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體；②是由一個長方體截去一個三棱錐后得到的幾何體；③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體.
(2)A　[此幾何體自上向下由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構成，是由A中的平面圖形旋轉而形成的.]
延伸探究　D　[該組合體為一個大圓錐去掉一個同底的小圓錐，是由D中的圖形繞軸旋轉而成的.]
跟蹤訓練2　(1)B　(2)D
例3　解　如圖，設這兩個截面圓的半徑分別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，
則πr＝5π，
πr＝8π，
∴r＝5，r＝8，
又∵R2＝r＋d＝r＋d，
∴d－d＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，
又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半徑為3.
跟蹤訓練3　解　設圓臺的母線長為l cm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r cm,4r cm.過軸SO作截面，如圖所示.
則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
所以＝.
所以＝＝.
解得l＝9，即圓臺的母線長為9 cm.
隨堂演練
1.ABD　2.B　3.B　4.16π或9π第八章　立體幾何初步
§8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺
[學習目標]　
1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系.
3.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單幾何體的結構并進行有關計算.
一、空間幾何體、多面體、旋轉體的定義
問題1　觀察下列物體，它們有什么特點？
知識梳理　
1.空間幾何體：如果我們只考慮物體的______和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.
2.多面體、旋轉體
類別 多面體 旋轉體
定義 一般地，由若干個________圍成的幾何體叫做多面體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的____________旋轉所形成的曲面叫做________，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體
圖形
相關概念 面：圍成多面體的各個__________； 棱：兩個面的______； 頂點：棱與棱的公共點 軸：形成旋轉體所繞的定直線
二、棱柱的結構特征
知識梳理　
1.棱柱的結構特征
棱柱
定義 有兩個面互相________，其余各面都是__________，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
圖形及表示 圖中的棱柱記作棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
相關概念 底面：兩個互相________的面； 側面：其余各面； 側棱：相鄰側面的____________； 頂點：側面與底面的____________
分類 按底面多邊形的邊數分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.幾個特殊的棱柱
(1)直棱柱：________________________的棱柱叫做直棱柱(如圖①③)；
(2)斜棱柱：________________________的棱柱叫做斜棱柱(如圖②④)；
(3)正棱柱：底面是正多邊形的__________叫做正棱柱(如圖③)；
(4)平行六面體：底面是________________的四棱柱也叫做平行六面體(如圖④).
例1　(1)(多選)下列關于棱柱的說法，正確的是(　　)
A.所有的面都是平行四邊形
B.每個面都不會是三角形
C.兩底面互相平行，并且各側棱也互相平行
D.被平面截成的兩部分可以都是棱柱
(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點.
①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
反思感悟　棱柱結構的辨析方法
(1)扣定義：判定一個幾何體是不是棱柱的關鍵是是否符合棱柱的定義.
①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是平行四邊形.
②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.
(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.
跟蹤訓練1　下列命題中正確的是(　　)
A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B.棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面
C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D.棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形
三、棱錐的結構特征
問題2　圖中的多面體具有怎樣的特點？
知識梳理　
棱錐
定義 有一個面是________，其余各面都是有一個公共頂點的________，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
圖形及表示 圖中的棱錐記作棱錐S—ABCD
相關概念 底面：________面； 側面：有公共頂點的各個________面； 側棱：相鄰側面的________； 頂點：各側面的________
分類 (1)按底面多邊形的邊數來分，可以分為：三棱錐、四棱錐……，其中三棱錐又叫四面體； (2)底面是________，并且頂點與底面中心的連線________底面的棱錐叫做正棱錐
例2　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A.棱錐的各個側面都是三角形
B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
C.棱錐的側棱互相平行
D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
反思感悟　類比棱柱結構的辨析方法，棱錐結構的辨析方法有2種
(1)直接法(扣定義)：①看面：即觀察這個多面體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形；②看線：即觀察側棱是否相交于一點.
(2)舉反例.
跟蹤訓練2　下列說法中正確的是(　　)
A.各側棱都相等的棱錐為正棱錐
B.各側面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
C.各側面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
D.底面是正多邊形且各側面是全等三角形的棱錐為正棱錐
四、棱臺的結構特征
問題3　如果用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，想象一下，截得的下部分具有怎樣的特點？
知識梳理　
棱臺
定義 用一個______________的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺
圖形及表示 圖中的棱臺記作棱臺ABCD—A′B′C′D′
相關概念 上底面：平行于原棱錐底面的________； 下底面：原棱錐的________； 側面：其余各面； 側棱：相鄰側面的公共邊； 頂點：側面與上、下底面的公共頂點
分類 由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
例3　(多選)下列選項中，不正確的是(　　)
A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺
B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
D.棱臺的側棱延長后必交于一點
跟蹤訓練3　下面四個幾何體中，為棱臺的是(　　)
1.知識清單：
(1)多面體、旋轉體的定義.
(2)棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
2.方法歸納：舉反例法，定義法.
3.常見誤區：棱臺的結構特征認識不清.
1.下列多面體中，是棱柱的有(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.有一個多面體，由五個面圍成，只有一個面不是三角形，則這個幾何體為(　　)
A.四棱柱 B.四棱錐
C.三棱柱 D.三棱錐
3.(多選)下列說法不正確的是(　　)
A.棱臺的兩個底面相似
B.棱臺的側棱長都相等
C.棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺
D.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
4.一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60 cm，則每條側棱長為________ cm.
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺
問題1　可以發現，紙箱、金字塔、茶葉罐、水晶螢石、儲物箱等物體有相同的特點：圍成它們的每個面都是平面圖形，并且都是平面多邊形；紙杯、腰鼓、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體也有相同的特點：圍成它們的面不全是平面圖形，有些面是曲面.
知識梳理
1.形狀　大小
2.平面多邊形　一條定直線　旋轉面　多邊形　公共邊
知識梳理
1.平行　四邊形　平行　平行　公共邊
公共頂點
2.(1)側棱垂直于底面　(2)側棱不垂直于底面　(3)直棱柱　(4)平行四邊形
例1　(1)CD
(2)解　①是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側棱互相平行，符合棱柱的定義.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
跟蹤訓練1　D
問題2　通過觀察圖形我們可以發現，共同特點是均由平面圖形圍成，其中一個面為多邊形，其余各面都是三角形，且這些三角形有一個公共頂點.
知識梳理
多邊形　三角形　多邊形　三角形　公共邊　公共頂點　正多邊形
垂直于
例2　AB　[由棱錐的定義知，棱錐的各個側面都是三角形，故A正確；四面體是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側棱交于一點，不平行，故C錯誤；棱錐的側面是有一個公共頂點的三角形，如圖所示的幾何體均滿足條件，但都不是棱錐，故D錯誤.
]
跟蹤訓練2　D
問題3　截得的下部分上、下兩個面互相平行且相似，各側面為梯形.
知識梳理
平行于棱錐底面　截面　底面　
例3　ABC　[A中的平面不一定平行于底面，故A錯；B，C可用反例去檢驗，如圖所示，側棱延長線不能相交于一點，故B，C錯；由棱臺的定義知，D正確.]
跟蹤訓練3　C
隨堂演練
1.D　2.B　3.BCD　4.12

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