資源簡介

§8.2　立體圖形的直觀圖
[學習目標]　
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.
2.會用斜二測畫法畫常見的柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的直觀圖.
一、水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
知識梳理　
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
例1　用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.
反思感悟　在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段.關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.
跟蹤訓練1　用斜二測畫法畫邊長為4的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.
二、直觀圖的還原與計算
例2　如圖，矩形O′A′B′C′是由斜二測畫法得到的水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是______，其面積為________.
反思感悟　由直觀圖還原為平面圖形的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.由此可得，直觀圖面積S′與原圖形面積S的關系為S′＝S或S＝2S′.
跟蹤訓練2　(1)如圖，△A′B′C′是由斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′B′，A′C′所在直線分別與x′軸、y′軸平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
(2)已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么由斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
三、空間幾何體的直觀圖的畫法
問題　我們可以把長方體看成底面ABCD沿著與底面垂直的方向平移后形成的幾何體，依據這一點，如何作出長方體的直觀圖呢？
知識梳理　
空間幾何體直觀圖的畫法步驟
(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個與x軸、y軸都垂直的________軸，直觀圖中與之對應的是________軸.
(2)畫底面：____________表示水平平面，____________和____________表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖.
(3)畫側棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中____________和________都不變.
(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為________.
例3　用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4 cm，3 cm，2 cm的長方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖.
反思感悟　空間幾何體的直觀圖的畫法
(1)對于一些常見幾何體(柱體、錐體、臺體、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準確地畫出直觀圖.
(2)畫空間幾何體的直觀圖，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向.
(3)z軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致.
跟蹤訓練3　用斜二測畫法畫出正六棱錐P－ABCDEF的直觀圖.(尺寸自定)
1.知識清單：
(1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法.
(2)直觀圖的還原與計算.
(3)空間幾何體直觀圖的畫法.
2.方法歸納：轉化思想.
3.常見誤區：同一圖形選取坐標系的角度不同，得到的直觀圖可能不同.
1.(多選)關于斜二測畫法所得到的水平放置的平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是(　　)
A.三角形的直觀圖是三角形
B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C.正方形的直觀圖是正方形
D.菱形的直觀圖是菱形
2.若利用斜二測畫法把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(　　)
A.平行于z′軸且長度為10 cm
B.平行于z′軸且長度為5 cm
C.與z′軸成45°且長度為10 cm
D.與z′軸成45°且長度為5 cm
3.(多選)如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個圖形，可能是△ABC的直觀圖的是(　　)
4.如圖，△A′O′B′是用斜二測畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖，則△AOB的面積是______.
§8.2　立體圖形的直觀圖
知識梳理
45°　135°　水平面　x′軸或y′軸　線段　保持原長度不變　一半
例1　解　畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.
(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.
跟蹤訓練1　解　(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立直角坐標系.
(2)畫對應的x′軸、y′軸，
使∠x′O′y′＝45°.
在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2，
在y′軸上截取O′A′＝OA.
連接A′B′，A′C′，則△A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.
例2　菱形　24 cm2
解析　如圖，在原圖形OABC中，
應有OA＝O′A′
＝6 cm，
OD＝2O′D′
＝2×2
＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝
＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四邊形OABC是菱形.
S四邊形OABC＝OA×OD＝6×4
＝24(cm2).
跟蹤訓練2　(1)D　(2)D
問題　先作出底面的直觀圖，然后找一個與底面垂直的方向，將底面平移，就形成了長方體的直觀圖.
知識梳理
(1)z　z′　(2)x′O′y′平面
y′O′z′平面　x′O′z′平面
(3)平行性　長度　(4)虛線
例3　解　(1)畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝4 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝ cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖.
(3)畫側棱.過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成圖.順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖了.
跟蹤訓練3　解　畫法：
(1)畫出正六棱錐P－ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O，如圖1；畫出相應的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如圖2；②在圖2中，以O′為中點，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝MN，以點N′為中點，畫出B′C′平行于x′軸，并且長度等于BC，再以點M′為中點，畫出E′F′平行于x′軸，并且長度等于EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到水平放置的正六邊形ABCDEF的直觀圖A′B′C′D′E′F′.
(2)畫出正六棱錐P－ABCDEF的頂點.在z′軸的正半軸上取點P′.
(3)成圖.連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，便可得到正六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖3.
隨堂演練
1.AB　2.A　3.CD　4.16

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