資源簡介

§8.4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平　面
[學習目標]　
1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.
2.掌握關于平面基本性質的三個基本事實.
3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關系．
一、平面的概念、畫法及表示
問題1　生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？
知識梳理　
平面的畫法及表示
畫法 平面水平放置 平面豎直放置
表示 ①平行四邊形的四個頂點：平面______； ②對角頂點：平面______或平面______； ③希臘字母：平面______，平面________，平面γ
例1　(多選)下列說法正確的是(　　)
A．平面是處處平的面
B．平面是無限延展的
C．平面的形狀是平行四邊形
D．一個平面的厚度可以是0.001 cm
反思感悟　(1)“平面”是平的(這是區別“平面”與“曲面”的依據)；
(2)“平面”無厚薄之分；
(3)“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區別“平面”與“平面圖形”的依據．
跟蹤訓練1　下列說法正確的是(　　)
A．平行四邊形是一個平面
B．任何一個平面圖形都是一個平面
C．平靜的太平洋面就是一個平面
D．一個平面可以將空間分成兩部分
二、基本事實及應用
問題2　我們知道，兩點確定一條直線，要確定一個平面需要幾個點呢？過空間一點有幾個平面？兩個點呢？三個點呢？
問題3　如果直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內呢？如果直線與平面有兩個公共點，直線在平面內嗎？
問題4　我們把三角尺的一個頂點直立在桌面上，則該三角尺所在的平面與桌面是否只有一個公共點？
知識梳理　
1．點、直線、平面之間的基本位置的符號表示
文字語言 符號語言
點A在直線l上
點A在直線l外
點A在平面α內
點A在平面α外
直線l在平面α內
直線l不在平面α內
平面α，β相交于直線l
2.
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，____________一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2 如果一條直線上的____________在一個平面內，那么這條直線在________________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的____________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
3.
推論 內容 圖形
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
角度1　立體幾何三種語言的相互轉化
例2　用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.
(2)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
反思感悟　根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別．
跟蹤訓練2　(1)(多選)若點A在直線b上，直線b在平面β內，則點A，直線b，平面β之間的關系可以記作(　　)
A．A∈b B．b β C．A∈β D．A β
(2)如圖所示，用符號語言可表述為(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
角度2　點、線共面問題
例3　已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．
反思感悟　證明點、線共面問題的常用方法
(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”．
(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”．
跟蹤訓練3　如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．
角度3　共線、共點問題
例4　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中“E，F分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M”，求證：點D，A，M三點共線．
反思感悟　(1)證明三點共線的方法
(2)證明三線共點的步驟
跟蹤訓練4　如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求證：AB，CD，l共點．
1．知識清單：
(1)平面的概念．
(2)基本事實．
(3)共面、共線、共點問題．
2．方法歸納：同一法、納入法．
3．常見誤區：三種語言的相互轉換．
1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
2．若一直線a在平面α內，則正確的作圖是(　　)
3．空間四個點中，三點共線是這四個點共面的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”為________．
8.4.1　平　面
問題1　無限延展、不計大小、不計厚薄、沒有質量等.
知識梳理
ABCD　AC　BD　α　β
例1　AB　跟蹤訓練1　D
問題2　不共線的三個點；無數個平面；無數個平面；如果三點共線，則有無數個平面，如果三點不共線，有唯一的一個平面.
問題3　不在；在.
問題4　不是.三角尺所在的平面是可以無限延展的，用它去“穿透”課桌面，兩個平面相交于一條直線.
知識梳理
1.A∈l　A l　A∈α　A α　l α　l α　α∩β＝l
2.有且只有　兩個點　這個平面內
l α　公共直線
例2　解　(1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖.
(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖.
跟蹤訓練2　(1)ABC　(2)A
例3　證明　如圖所示，∵a∥b，
∴過a，b有且只有一個平面α.
設a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即過a，b，l有且只有一個平面.
跟蹤訓練3　證明　方法一　(納入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可證C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直線l1，l2，l3在同一平面內.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3確定一個平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內，
∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內.
例4　證明　因為D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以點D，A，M三點共線.
跟蹤訓練4　證明　因為在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，
所以AB，CD必定相交于一點，
如圖，設AB∩CD＝M.
又因為AB α，CD β，
所以M∈α且M∈β，
又因為α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共點.
隨堂演練
1.A　2.A　3.A　4.A∈l，l α

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