資源簡介

8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
[學習目標]　
1.了解空間中兩直線間的位置關系.
2.理解空間中直線與平面的位置關系.
3.掌握空間中平面與平面的位置關系．
一、空間中兩直線的位置關系
問題1　觀察你所在的教室．
(1)教室內同一列的燈管所在的直線有什么位置關系？
(2)教室內某燈管所在的直線和黑板左右兩側所在的直線是平行直線嗎？是相交直線嗎？
知識梳理　
1．異面直線
(1)定義：不同在________________平面內的兩條直線．
(2)異面直線的畫法．
2．空間兩條直線的三種位置關系
例1　如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________．
反思感悟　(1)判斷空間兩條直線位置關系的訣竅
①建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系，特別關注異面直線．
②重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系．
(2)判斷異面直線的方法
定義法 不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線
圖象法 過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線
反證法 判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是異面直線
跟蹤訓練1　若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行
B．異面
C．相交
D．平行、相交或異面
二、直線與平面的位置關系
問題2　一支筆所在的直線與桌面所在的平面有哪些位置關系呢？
知識梳理　
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有______公共點 __________公共點 ________公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
例2　(1)若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是(　　)
A．直線上所有的點都在平面外
B．直線上有無數多個點都在平面外
C．直線上有無數多個點都在平面內
D．直線上至少有一個點在平面內
(2)(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中是假命題的是(　　)
A．若a∥b，b α，則a∥α
B．若a∥α，b∥α，則a∥b
C．若a∥b，b∥α，則a∥α
D．若a∥α，b α，則a∥b或a與b異面
反思感悟　在判斷直線與平面的位置關系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．
跟蹤訓練2　下列命題中正確的個數是(　　)
①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經過b的任何一個平面；
②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內的任何一條直線平行；
③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
三、平面與平面的位置關系
問題3　拿出一本書看作一個平面，隨意上下、左右移動和翻轉，它和桌面所在平面的位置關系有幾種？有什么特點？
知識梳理　
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 ______公共點 有________個公共點(在一條直線上)
符號表示
圖形表示
例3　如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是(　　)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．無法確定
延伸探究　本例若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關系如何？
反思感悟　利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關系有關的命題的真假，另外先假設所給定的結論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關系的有效方法．
跟蹤訓練3　(多選)以下四個命題中，正確的有(　　)
A．在平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
B．在平面α內有無數條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行
C．平面α內△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行
D．平面α內有無數個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交
1．知識清單：
(1)兩直線的位置關系．
(2)直線與平面的位置關系．
(3)平面與平面的位置關系．
2．方法歸納：舉反例、特例．
3．常見誤區：異面直線的判斷．
1．若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是(　　)
A．共面
B．平行
C．異面
D．平行或異面
2．若直線l∥平面α，直線a α，則(　　)
A．l∥a
B．l與a異面
C．l與a相交
D．l與a沒有公共點
3．(多選)兩平面α，β平行，a α，則下列四個命題正確的是(　　)
A．a與β內的所有直線平行
B．a與β內無數條直線平行
C．a與β至少有一個公共點
D．a與β沒有公共點
4．(多選)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(　　)
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
問題1　(1)互相平行.
(2)既不是平行直線，也不是相交直線.
知識梳理
1.(1)任何一個　
2.相交直線　一個公共點　平行直線　沒有公共點　沒有公共點
例1　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面
跟蹤訓練1　D
問題2　相交、平行、在平面內.
知識梳理
無數個　有且只有一個　沒有
例2　(1)B
(2)ABC　[
可借助正方體來判斷.如圖，在正方體
ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A錯誤；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1與B1C1相交，故B錯誤；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C錯誤；
因為a∥α，所以a與α無公共點，又b在α內，所以a與b無公共點，所以a∥b或a與b異面.]
跟蹤訓練2　B　[
可借助正方體來判斷.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；假設b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，又b α，所以b∥α，故命題③正確.]
問題3　有兩種.平行、相交.
特點：兩個平面平行時，兩者沒有公共點；兩個平面相交時，兩者有一條公共直線.
知識梳理
沒有　無數　α∥β　α∩β＝l
例3　C　[根據題意作圖，把自然語言轉化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關系，如圖所示.
]
延伸探究　解　如圖，a α，b β，a，b異面.
由圖知這兩個平面可能平行，也可能相交.
跟蹤訓練3　CD
隨堂演練
1.D　2.D　3.BD　4.BD

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