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§8.5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
[學習目標]　
1.會判斷空間兩直線的位置關系.
2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題．
一、基本事實4
問題1　在如圖所示的正方體ABCD－A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC與A′B′平行嗎？由此，你能得到什么結論？
知識梳理　
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線________
圖形語言
符號語言 直線a，b，c，a∥b，b∥c ______
作用 證明兩條直線平行
例1　如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
延伸探究　若條件中增加“AC＝BD”，那么四邊形EFGH是什么圖形？
反思感悟　基本事實4表述的性質通常叫做平行線的傳遞性，解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．證明兩直線平行的方法一般有三角形的中位線、平行四邊形、點分線段成比例等．
跟蹤訓練1　如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA1C1是梯形．
二、空間等角定理
問題2　在平面內，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補，在空間中，這一結論是否仍然成立呢？
知識梳理　
1．定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角__________
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
2．推論：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別________，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．
例2　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分別是棱AD，A1D1的中點．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.
反思感悟　等角定理的結論是兩個角相等或互補，在實際應用時一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
跟蹤訓練2　(1)如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且＝＝＝，則＝________.
(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是AB，BB1，BC的中點，求證：△EFG∽△C1DA1.
1．知識清單：
(1)基本事實4的應用．
(2)等角定理的應用．
2．方法歸納：轉化法．
3．常見誤區：用等角定理時，角度有可能相等或互補．
1．已知直線a，b，c，d，a∥b，b∥c，c∥d，則a與d的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有(　　)
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
3．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形(　　)
A．全等
B．不相似
C．僅有一個角相等
D．相似
4．空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α＝60°，則β＝________.
8.5.1　直線與直線平行
問題1　平行.得到事實：平行于同一條直線的兩條直線平行.
知識梳理
平行　a∥c　
例1　證明　因為在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，
所以EF∥AC，HG∥AC，
EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形.
延伸探究　解　由題意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因為AC＝BD，則EF＝FG＝GH＝EH，所以四邊形EFGH為菱形.
跟蹤訓練1　證明　如圖，連接AC，在△ACD中，
∵M，N分別是CD，AD的中點，
∴MN是△ACD的中位線，
∴MN∥AC，且MN＝AC.
∵AA1＝CC1，且AA1∥CC1，
∴四邊形AA1C1C是平行四邊形，
∴AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四邊形MNA1C1是梯形.
問題2　成立.當空間中兩個角的兩條邊分別對應平行時，這兩個角有如圖所示的兩種位置.
知識梳理
1.相等或互補　
2.平行
例2　證明　如圖，連接EE1.
∵E1，E分別為A1D1，AD的中點，
∴A1E1綉AE，
∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，
∴A1A綉E1E，
又A1A綉B1B，∴E1E綉B1B，
∴四邊形E1EBB1是平行四邊形.
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1與∠BEC的兩邊分別對應平行，
且∠B1E1C1和∠BEC均為銳角，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
跟蹤訓練2　(1)
解析　∵AA′∩BB′＝O，
且＝＝，∴AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝2＝.
(2)證明　如圖所示，連接B1C.
因為G，F分別為BC，BB1的中點，
所以FG∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1為正方體，
所以CD綉AB，A1B1綉AB，
由基本事實4知CD綉A1B1，
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D綉B1C.
又B1C∥FG，
由基本事實4知A1D∥FG.
同理可證A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1與∠FGE，∠A1DC1與∠GFE，∠DC1A1與∠FEG的兩條邊分別對應平行且均為銳角，
所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
隨堂演練
1.A　2.B　3.D　4.60°或120°

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