資源簡介

8.5.2　直線與平面平行
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題.
2.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行．
一、直線與平面平行的判定定理
問題1　如圖將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在的平面有什么樣的位置關(guān)系？該如何判定直線與平面平行呢？
知識梳理　
直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果平面外一條直線與__________________，那么該直線與此平面平行
符號語言 a α，b α，且a∥b a∥α
圖形語言
例1　如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，B1C的中點(diǎn)．
求證：DE∥平面ACC1A1.
反思感悟　利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等．
跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
二、直線與平面平行的性質(zhì)定理
問題2　已知直線a與平面α平行，則直線a與平面α內(nèi)的任一直線b有哪些位置關(guān)系？在什么條件下a與b平行？
知識梳理　
直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 一條直線與一個平面________，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________
符號語言 a∥α，________ a∥b
圖形語言
例2　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．
1．知識清單：
(1)直線與平面平行的判定定理．
(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸．
3．常見誤區(qū)：證明線面平行時漏寫線在平面外(內(nèi))．
1．下列命題正確的是(　　)
A．如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個平面平行
B．過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個平面與這條直線平行
C．如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行
D．如果一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行
2．直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面(　　)
A．有且只有一個
B．有無數(shù)多個
C．有且只有一個或不存在
D．不存在
3.如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點(diǎn)M，N，且M是AD的中點(diǎn)，AB＝4，CD＝6，則MN＝________.
8.5.2　直線與平面平行
問題1　AB平行于桌面所在平面，翻動過程中，封面另一邊緣始終在桌面所在平面內(nèi)，由直線與平面平行的定義可知，直線與平面無公共點(diǎn)，而此時直線AB與封面的另一邊平行，同時，封面的另一邊在平面內(nèi)，那么該直線與此平面平行.
知識梳理
此平面內(nèi)的一條直線平行　
例1　證明　方法一　連接BC1，AC1，
因為ABC－A1B1C1是斜三棱柱，
所以四邊形BCC1B1為平行四邊形，
由平行四邊形性質(zhì)得E也是BC1的中點(diǎn).
因為D是AB的中點(diǎn)，
所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
方法二　連接A1C，AC1交于點(diǎn)O，
連接OE，
則O是A1C的中點(diǎn).
又E是B1C的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥A1B1，OE＝A1B1，
又AD∥A1B1，AD＝A1B1，
所以O(shè)E綉AD，
所以四邊形ADEO是平行四邊形，
所以AO∥DE，
因為AO 平面ACC1A1，DE 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
跟蹤訓(xùn)練1　證明　連接BC1(圖略)，
在△BCC1中，
∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，
∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，
且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
問題2　平行或異面.當(dāng)a與b不異面，即在同一個平面內(nèi)時平行.
知識梳理
平行　交線平行　a β，α∩β＝b
例2　證明　如圖，連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn).
又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，
OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
跟蹤訓(xùn)練2　證明　因為AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
且AB 平面ABC，
所以由線面平行的性質(zhì)定理，
知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
隨堂演練
1.B　2.A　3.D　4.5

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