資源簡介

8.5.3　平面與平面平行
[學習目標]　
1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面與平面平行的性質定理．
一、平面與平面平行的判定定理
問題1　如圖(1)，a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在的直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖(2)，c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在的直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎？
知識梳理　
平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的____________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形語言
例1　(1)平面α與平面β平行的充分條件可以是(　　)
A．α內有無窮多條直線都與β平行
B．直線a∥α，a∥β，且直線a α，a β
C．直線a α，直線b β，且a∥β，b∥α
D．α內的任何一條直線都與β平行
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱DD1，CC1的中點，求證：平面AEC∥平面BFD1.
反思感悟　兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法．解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行．證明問題時，使結論成立的條件一定要敘述完整．
跟蹤訓練1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，CD∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
二、平面與平面平行的性質定理的應用
問題2　若兩平面α與β平行，那么平面α內的直線a與平面β有何位置關系？平面α內的直線a與平面β內的任一直線b有何位置關系？何時a與b平行？
知識梳理　
兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線________
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
圖形語言
例2　如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接PM，N是PM與DE的交點，連接CM，NF，求證：NF∥CM.
跟蹤訓練2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點，過點B，E，D1的平面與棱CC1交于點F.
(1)求證：四邊形BFD1E為平行四邊形；
(2)試確定點F的位置．
三、平行問題的綜合應用
例3　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．
反思感悟　線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵，其內在聯系如圖所示：
跟蹤訓練3　如圖，已知平面α∥平面β，P α且P β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．
1．知識清單：
(1)平面與平面平行的判定定理．
(2)平面與平面平行的性質定理．
2．方法歸納：轉化與化歸．
3．常見誤區：平面與平面平行的條件不充分．
1．兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關系是(　　)
A．兩兩相互平行
B．兩兩相交于同一點
C．兩兩相交但不一定交于同一點
D．兩兩相互平行或交于同一點
2．已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是(　　)
A．平行
B．異面
C．相交
D．平行或異面
3．平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則AC∥BD的充要條件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD∥CB
C．AB與CD相交
D．A，B，C，D四點共面
4.如圖，在三棱錐P－ABC中，M是PC的中點，E是AM的中點，點F在棱PB上，且滿足EF∥平面ABC，則BF∶FP＝________.
8.5.3　平面與平面平行
問題1　三角尺和桌面一定平行，硬紙片不一定平行.
知識梳理
兩條相交直線　
例1　(1)D
(2)證明　連接EF，
∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，E，F分別為DD1，CC1的中點，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF，
∴四邊形ABFE，ED1FC為平行四邊形，
則AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
跟蹤訓練1　證明　∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
問題2　直線a與平面β平行.直線a與平面β內的任一直線b平行或異面.
當a與b不異面，即a與b在同一個平面內時，a與b平行.
知識梳理
平行　a∥b　
例2　證明　因為D，E分別是PA，PB的中點，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
跟蹤訓練2　(1)證明　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性質定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四邊形BFD1E為平行四邊形.
(2)解　取BB1的中點M，
連接MC1，ME，如圖，
∵M，E分別為棱BB1，AA1的中點，
∴ME綉A1B1，
又A1B1綉C1D1，
∴ME綉C1D1，
∴四邊形D1EMC1為平行四邊形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四邊形MBFC1為平行四邊形，
∴BM綉C1F，
∴F為棱CC1的中點.
例3　證明　(1)∵E，F分別為B1C1，A1B1的中點，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF；
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G與平面ABC有公共點G，
則有經過G的直線，交BC于點H，
則A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G為AB的中點，
∴H為BC的中點.
跟蹤訓練3　解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
隨堂演練
1.A　2.D　3.D　4.1∶3

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