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習題課　二面角的平面角的常見解法
[學習目標]　
1.掌握二面角的定義及其平面角的作法.
2.會使用定義法、垂面法、垂線法、射影面積法求二面角的大小．
一、定義法求二面角
知識梳理　
定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，過這個點在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．如圖，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．
例1　(1)如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小．
(2)二面角α－l－β的大小為60°，A，B分別在兩個面內且A和B到棱l的距離分別為2和4，AB＝10，求AB與棱l所成角的正弦值．
反思感悟　利用二面角的定義，在二面角的棱上找點，過點在兩個平面內作棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角，解題時應先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角．
二、垂面法求二面角
知識梳理　
垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面各有一條交線，這兩條交線所成的角即二面角的平面角．如圖，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．
例2　如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
反思感悟　二面角中如果存在一個平面與棱垂直，且與二面角的兩個半平面都相交，那么這兩條交線所成的角即為該二面角的平面角．
三、垂線法求二面角
知識梳理　
垂線法：過二面角的一個面內異于棱上的點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補角．如圖，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．
例3　如圖，平面β內一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α－BD－β的大小．
反思感悟　如果兩個平面相交，有過一個平面內的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點作棱的垂線，連接兩個垂足，應用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
四、射影面積法
例4　在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PCD所成的二面角的大小．
反思感悟　若多邊形的面積為S，它在一個平面內的射影圖形的面積為S′，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cos θ＝.
1．知識清單：二面角的定義及其平面角的作法，求二面角．
2．方法歸納：用定義法、垂面法、垂線法、射影面積法求二面角．
3．常見誤區：尋找二面角的平面角，求二面角的三角函數值時出錯．
1. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA＝1，則側面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
2. 如圖，在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 cm，則這個二面角的度數為(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側面與底面所成的二面角的大小為______．
4. 已知在如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，則二面角B－CD－A的正切值為______．
習題課　二面角的平面角的常見解法
例1　(1)解　如圖，取AB的中點D，連接VD，CD，
∵在△VAB中，
VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB為等邊三角形，
∴VD⊥AB且VD＝，
∵在△ACB中，AB＝AC＝BC＝2，
∴△ACB為等邊三角形，
∴CD⊥AB，CD＝，
∴∠VDC為二面角V－AB－C的平面角，
∵在△ADC中，VD＝CD＝VC＝，
∴△VDC是等邊三角形，
∴∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小為60°.
(2)解　如圖，作AC⊥l，BD⊥l，C，D為垂足，
則AC＝2，BD＝4，AB＝10.
在β內過點C作CE∥DB，且CE＝DB，連接BE，AE，
∴四邊形CEBD為平行四邊形，
∴BE∥l，且CE＝BD＝4，
∴∠ABE為AB與棱l所成的角，
∵BD∥CE，∴l⊥CE，
又l⊥AC，AC∩CE＝C，
∴∠ACE為α－l－β的平面角，
且l⊥平面ACE，
∴∠ACE＝60°，
∴AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE
＝22＋42－2×2×4×＝12，
∴AE＝2，
又BE∥l，l⊥平面ACE，
∴BE⊥平面ACE，
∴BE⊥AE，
∴sin∠ABE＝＝＝.
∴AB與棱l所成角的正弦值為.
例2　解　∵SB＝BC且E是SC的中點，
∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，
∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，
∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
設SA＝2，
則AB＝2，BC＝SB＝2.
∵AB⊥BC，
∴AC＝2，
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC，
∴∠EDC＝60°.
即二面角E－BD－C的大小為60°.
例3　解　如圖，過點A作AF⊥BD，F為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，
∴由三垂線定理知BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角α－BD－β的平面角．
依題意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，
設AC＝2，
∴AF＝CF＝，AE＝1，
∴sin∠AFE＝＝＝，
∴∠AFE＝45°.
∴二面角α－BD－β的大小為45°.
例4　解　如圖，
∵PA⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，
且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
又BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影為△PAB，
設平面PBA與平面PCD所成的二面角為θ，
∴cos θ＝＝
＝，
∴θ＝45°.
故平面PBA與平面PCD所成的二面角的大小為45°.
隨堂演練
1．B　2.B　3.60°　4.1

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