資源簡(jiǎn)介

習(xí)題課　空間中距離問題的解法
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.掌握異面直線間距離的定義及其求法.
2.掌握點(diǎn)到面的距離的定義及其求法.
3.掌握直線與平面、平面與平面間的距離的定義及其求法．
一、異面直線間的距離
問題1　和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？與這兩條異面直線都垂直且相交的直線有多少條？?jī)僧惷嬷本€的距離該如何定義？
知識(shí)梳理　
1．公垂線：
和兩條異面直線都________相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．
2．兩異面直線的距離：
兩條異面直線的____________的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離．
例1　如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為a.
(1)求異面直線A1B與C1C的距離；
(2)求異面直線A1B與B1C1的距離．
反思感悟　求兩異面直線的距離，關(guān)鍵是找到兩異面直線的公垂線，并給出證明，然后再求出公垂線的長(zhǎng)度，即采用“作”—“證”—“求”的方法．
跟蹤訓(xùn)練1　空間四邊形ABCD的邊長(zhǎng)都為10，對(duì)角線BD＝8，AC＝16，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．
(1)求證：EF是AC，BD的公垂線段；
(2)求出異面直線AC，BD的距離．
二、點(diǎn)到平面的距離
知識(shí)梳理　
1．點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．
2．可以用垂線法和等積法求點(diǎn)到平面的距離．
例2　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
(1)證明：PB∥平面AEC；
(2)設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．
反思感悟　從平面外一點(diǎn)作一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)與垂足間的距離就是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．當(dāng)該點(diǎn)到已知平面的垂線不易作出時(shí)，可利用線面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點(diǎn)作垂線，然后計(jì)算，也可以利用等積法轉(zhuǎn)換求解．
跟蹤訓(xùn)練2　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA＝SB＝2，SC＝，點(diǎn)P是SC的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面ABC的距離．
三、直線與平面、兩平行平面之間的距離
問題2　若直線l∥平面α，直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？
知識(shí)梳理　
1．直線與平面的距離
一條直線與一個(gè)平面________時(shí)，這條直線上________________到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．
2．平面與平面的距離
如果兩個(gè)平面________，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的________________到另一個(gè)平面的距離都________，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．
例3　如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1與平面AB1C間的距離．
反思感悟　直線與平面、兩平行平面之間的距離應(yīng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再求值．
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，則AD到平面PBC的距離為________．
1．知識(shí)清單：異面直線間的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面、平行平面間的距離的定義及其求法．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸．
3．常見誤區(qū)：距離轉(zhuǎn)化不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤．
1. 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為6，△A1BC的面積為2，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為(　　)
A. B. C．2 D.
2．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)D1到平面AB1C的距離是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
3．線段AB的端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別是30 cm和50 cm，則線段AB的中點(diǎn)M到平面α的距離為(　　)
A．40 cm B．10 cm
C．80 cm D．40 cm或10 cm
4．在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D為AB的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，則點(diǎn)D到平面SBC的距離等于(　　)
A. B. C. D.
習(xí)題課　空間中距離問題的解法
問題1　無數(shù)條．僅有1條．兩異面直線的距離即為公垂線段的長(zhǎng)度．
知識(shí)梳理
1．垂直　
2．公垂線段　
例1　解　(1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即為異面直線A1B與C1C的公垂線，
所以異面直線A1B與C1C的距離為a.
(2)連接B1A交BA1于O點(diǎn)(圖略)，則B1O⊥A1B且B1C1⊥B1O，
所以B1O即為異面直線A1B與B1C1的公垂線，
所以異面直線A1B與B1C1的距離為a.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)證明　如圖，連接AF，F(xiàn)C，BE，ED.
∵空間四邊形ABCD的邊長(zhǎng)都為10，AF，CF是△ABD和△CBD對(duì)應(yīng)邊上的中線，
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
∵EF是底邊AC上的中線，
∴EF⊥AC.
又DE，BE是△ADC和△ABC對(duì)應(yīng)邊上的中線，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形，
∵EF是底邊BD上的中線，
∴EF⊥BD，∴EF是AC，BD的公垂線段．
(2)解　在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，E為AC的中點(diǎn)，
∴BE＝6，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴異面直線AC，BD的距離為EF＝＝2.
例2　(1)證明　如圖，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
又點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，
所以EO∥PB.
因?yàn)镋O 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解　方法一　V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于點(diǎn)H.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC，即AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面PBC的距離．
因?yàn)镻B＝＝，
所以AH＝＝，
所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為.
方法二　V＝AP·AB·AD
＝AB.
由V＝，可得AB＝.
易得V三棱錐P－ABC＝V三棱錐P－ABD＝，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，
所以CB⊥PB，
PB＝＝，
因?yàn)镃B＝，
所以S△PBC＝CB·PB＝，
V三棱錐P－ABC＝V三棱錐A－PBC＝S△PBC·h＝，所以h＝.
跟蹤訓(xùn)練2　解　方法一　如圖，連接PA，PB，由題意得SA⊥AC，BC⊥AC.
分別取AB，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，
則EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因?yàn)镻F∩EF＝F，
所以AC⊥平面PEF，
所以PE⊥AC.
∵
∴△SAC≌△SBC(SSS)，
又P為SC的中點(diǎn)，所以PA＝PB.
又E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB.
因?yàn)锳B∩AC＝A，
所以PE⊥平面ABC.
從而PE的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到平面ABC的距離．
因?yàn)镻是SC的中點(diǎn)，
所以在Rt△APE中，
AP＝SC＝，AE＝AB＝，
所以PE＝
＝＝，
即點(diǎn)P到平面ABC的距離為.
方法二　如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線，兩直線交于點(diǎn)D.
因?yàn)锳C＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.所以四邊形ADBC為正方形，連接SD.
由題意得AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
同理可得BC⊥SD.
因?yàn)锽C∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的長(zhǎng)即點(diǎn)S到平面ABC的距離，
在Rt△SAD中，
SD＝＝.
因?yàn)辄c(diǎn)P為SC的中點(diǎn)，
故點(diǎn)P到平面ABC的距離為
SD＝.
問題2　相等．能.下證：
證明：
如圖，過直線l上任意兩點(diǎn)A，B分別作平面α的垂線AA1，BB1，垂足分別為A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
設(shè)直線AA1，BB1確定的平面為β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l(xiāng)∥A1B1.
∴四邊形AA1B1B是矩形．
∴AA1＝BB1.
由A，B是直線l上任取的兩點(diǎn)，可知直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．
知識(shí)梳理
1．平行　任意一點(diǎn)　
2．平行　任意一點(diǎn)　相等
例3　解　因?yàn)锳C∥A1C1，AB1∥DC1，AC∩AB1＝A，A1C1∩DC1＝C1，
故平面AB1C∥平面DA1C1，
取平面AB1C上一點(diǎn)B1，
則點(diǎn)B1到平面DA1C1的距離就是兩平行平面間的距離，
設(shè)點(diǎn)B1到平面DA1C1的距離為h，
∵A1C1＝DC1＝A1D＝，
∴△DA1C1是等邊三角形，
則＝×××＝，
又∵＝××1×1×1＝，
∴×＝，
即×＝，
解得h＝，
則平面DA1C1與平面AB1C間的距離為.
跟蹤訓(xùn)練3　
解析　因?yàn)锳D∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距離等于點(diǎn)A到平面PBC的距離，
因?yàn)閭?cè)棱PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC，
因?yàn)椤螦BC＝90°，
即AB⊥BC，
因?yàn)镻A∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
因?yàn)镻A＝AB＝BC＝2，
所以PB＝2，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，
則由V三棱錐P－ABC＝V三棱錐A－PBC得
PA·S△ABC＝d·S△PBC，
所以×2××2×2＝d××2×2，解得d＝，所以AD到平面PBC的距離為.
隨堂演練
1．B　2.B　3.D　4.C

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