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習題課　異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法
[學習目標]　
1.理解異面直線所成的角的概念，會運用平移的方法求異面直線所成的角.
2.掌握直線與平面所成角的求法．
一、異面直線所成的角
例1　如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　求異面直線所成的角的方法
求異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生三角形，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．
跟蹤訓練1　如圖，已知在三棱錐A－BCD中，AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，BD＝，AC＝，求異面直線AC與BD所成角的大小．
二、直線與平面所成的角
例2　如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O為PB的中點，求直線CO與平面PAC所成角的余弦值．
反思感悟　求斜線和平面所成的角的步驟
(1)作(或找)：作(或找)出斜線在平面上的射影，作射影要過斜線上斜足以外的一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與題目中已知量有關，這樣才能便于計算．
(2)證：證明某平面角就是斜線和平面所成的角．
(3)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．
跟蹤訓練2　已知正三棱錐的側棱長是底面邊長的2倍，求側棱和底面所成角的余弦值．
1．知識清單：
(1)異面直線所成的角．
(2)直線與平面所成角的求解方法．
2．方法歸納：轉化與化歸．
3．常見誤區：無法將空間角轉化為相交直線所成的角．
1. 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線D′A與BB′所成的角可以表示為(　　)
A．∠DD′A B．∠AD′C′
C．∠ADB′ D．∠DAD′
2．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于(　　)
A．20° B．70° C．90° D．110°
3. 如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直線l過點A且垂直于平面ABC，動點P∈l，當點P逐漸遠離點A時，∠PCB的大小變化為(　　)
A．變大 B．變小
C．不變 D．有時變大有時變小
4. 如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC和平面ABC所成角的正切值為________．
習題課　異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法
例1　D　[連接BC1，由題意得BC1∥AD1，
則∠A1BC1或其補角為異面直線A1B與AD1所成的角．
連接A1C1，
由AB＝1，AA1＝2，
得A1C1＝，A1B＝BC1＝，
故cos∠A1BC1＝
＝＝，
即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.]
跟蹤訓練1　解　如圖，取AB，AD，DC，BD的中點分別為E，F，G，M，連接EF，FG，GM，ME，EG.
則MG綉BC，EM綉AD.
因為AD⊥BC，所以EM⊥MG.
在Rt△EMG中，
有EG＝＝1.
由圖可知，∠EFG或其補角為異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，
因為EF＝BD＝，
FG＝AC＝，
所以EF2＋FG2＝EG2，
所以EF⊥FG，即AC⊥BD.
所以異面直線AC與BD所成角的大小為90°.
例2　解　如圖，取PC的中點為E，連接EO，則OE∥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC，
∴OE⊥平面PAC，
∴∠OCE為直線CO與平面PAC所成的角．
設PA＝AC＝BC＝2，則OE＝1，CE＝，OC＝，
∴cos∠OCE＝＝＝.
∴直線CO與平面PAC所成角的余弦值為.
跟蹤訓練2　解　如圖，設正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，則側棱長為2a.
設O為底面△ABC的中心，
則∠SAO為SA和平面ABC所成的角．
在Rt△SOA中，
因為AO＝×a＝a，
所以cos∠SAO＝＝＝，
即側棱和底面所成角的余弦值為.
隨堂演練
1．A　2.B　3.C　4.2

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