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§8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
[學習目標]　
1.借助長方體，了解空間中直線與直線垂直的關系.
2.理解并掌握異面直線所成的角.
3.會求任意兩條直線所成的角．
一、異面直線所成的角
問題　平面內兩條直線所成的角的范圍是多少？
知識梳理　
異面直線所成的角
定義 前提 兩條異面直線a，b
作法 經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b
結論 我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)
范圍 記異面直線a與b所成的角為α，則0°<α≤90°
例1　如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：
(1)BE與CG所成角的大小；
(2)FO與BD所成角的大小．
反思感悟　求兩條異面直線所成角的步驟
(1)作：根據所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．
(2)證：證明作出的角就是要求的角，其實質是證明線線平行，并指出所作的角就是要求的角．
(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出．
(4)結論：可用“一作二證三計算四結論”來概括．同時注意異面直線所成角的范圍是0°<α≤90°.
跟蹤訓練1　在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小．
二、直線與直線垂直
知識梳理　
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線________________．直線a與直線b垂直，記作________．
例2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點O，求證：AO⊥A1B.
反思感悟　要證明兩異面直線垂直，應先構造兩異面直線所成的角．若能證明這個角是直角，即得到兩異面直線垂直．
跟蹤訓練2　如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.
1．知識清單：
(1)平面內兩直線的夾角．
(2)異面直線所成的角．
(3)利用異面直線所成的角證明兩直線垂直．
2．方法歸納：轉化與化歸．
3．常見誤區：容易忽視異面直線所成的角α的取值范圍是0°<α≤90°.
1．垂直于同一條直線的兩條直線(　　)
A．平行
B．相交
C．異面
D．以上都有可能
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
3．和兩條異面直線都垂直的直線(　　)
A．有無數條
B．有兩條
C．只有一條
D．不存在
4. 在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為________．
8．6.1　直線與直線垂直
問題　.
例1　解　(1)∵CG∥BF，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
(2)如圖，連接FH，
∵FB＝HD，
FB∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
跟蹤訓練1　解　如圖所示，取AC的中點G，
連接EG，FG，
則EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角．
∵AB與CD所成的角為30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，
當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；
當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，
故EF與AB所成角的大小為15°或75°.
知識梳理
互相垂直　a⊥b
例2　證明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，
∴A1D1綉BC，
∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，
∴A1B∥D1C，
∴直線AO與A1B所成的角即為直線AO與D1C所成的角，
如圖，連接AC，AD1，
易證AC＝AD1，
又O為CD1的中點，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
跟蹤訓練2　證明　如圖，取CC′的中點F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點，
F為CC′的中點，
∴EF∥AC′，
∴BE和EF所成的角為∠BEF，
即為異面直線BE與AC′所成的角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
∵AB＝BB′＝2，
∴AC′＝2，∴EF＝.
在等邊三角形ABC中，
BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝
＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
隨堂演練
1．D　2.B　3.A　4.60°

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