資源簡介

8.6.2　直線與平面垂直
[學習目標]　
1.了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念.
2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.
3.掌握直線與平面垂直的性質定理，并會用定理證明相關問題．
一、直線與平面垂直的定義
問題1　如圖，假設旗桿與地面的交點為點B，在陽光下觀察，直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，它們的位置關系如何？
問題2　在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？
知識梳理　
1．直線與平面垂直的定義及畫法
定義 一般地，如果直線l與平面α內的____________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法
有關概念 直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________，它們唯一的公共點P叫做________
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
2.過一點垂直于已知平面的直線________________一條，該點與垂足間的線段叫做這個點到該平面的垂線段，____________的長度叫做這個點到該平面的距離．
例1　(多選)下列命題中，不正確的是(　　)
A．若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線
C．若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直
D．若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α
反思感悟　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事．
跟蹤訓練1　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A．若直線l垂直于平面α，則直線l垂直于α內任一直線
B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內的直線可能相交，可能異面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，則l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，則a∥α
二、直線與平面垂直的判定定理
問題3　如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察并思考：折痕AD與桌面垂直嗎？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？
知識梳理　
文字語言 如果一條直線與一個平面內的____________垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 m α，n α，________＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
圖形語言
例2　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.
反思感悟　證明線面垂直的方法
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．
(2)平行轉化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟蹤訓練2　如圖，在四面體ABCD中，棱CD＝，其余各棱長都為1，E為CD的中點．求證：
(1)CD⊥平面ABE；
(2)AE⊥平面BCD.
三、直線與平面所成的角
問題4　當一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面所成的角逐漸增大，觀察思考鉛筆和桌面所成的角怎樣定義？
知識梳理　
直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面________，但不與這個平面________，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中________
斜足 斜線和平面的______，如圖中________
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引______，過______和________的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為________
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中_______； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是________；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是________
取值范圍 設直線與平面所成的角為θ，則________________
例3　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求A1B與平面AA1D1D所成角的大小；
(2)求A1B與平面BB1D1D所成角的大小．
延伸探究　例3條件不變，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角．
反思感悟　求直線與平面所成的角的步驟
(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角．
(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角．
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形)．
(4)答．
跟蹤訓練3　如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面ABC所成角的正弦值．
四、直線與平面垂直的性質定理
問題5　我們知道，在平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中是否有類似的性質呢？
知識梳理　
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線________
符號語言 a⊥α，b⊥α a∥b
圖形語言
例4　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
反思感悟　證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．
(2)利用基本事實4：證兩條直線同時平行于第三條直線．
(3)利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行．
(4)利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直.
(5)利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行．
跟蹤訓練4　如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a α，a⊥AB.求證：a∥l.
1．知識清單：
(1)直線與平面垂直的定義．
(2)直線與平面垂直的判定定理．
(3)直線與平面所成的角．
(4)直線與平面垂直的性質定理．
2．方法歸納：轉化思想，數形結合．
3．常見誤區：判定定理理解“平面內找兩條相交直線”與該直線垂直．
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．一條直線垂直于一個平面內的三條直線，則這條直線和這個平面垂直
B．過平面外一點有無數條直線與平面所成的角為30°
C．一條直線與一個平面內的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個平面垂直
D．一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線與這個平面垂直
2．已知a，b，c為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列四個命題中不正確的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b B．a⊥b，a⊥α b∥α
C．a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c D．a⊥α，b⊥α a∥b
3．(多選)直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內，使a∥b成立的條件是(　　)
A．a和b垂直于正方體的同一個面
B．a和b在正方體兩個相對的面內，且共面
C．a和b平行于同一條棱
D．a和b在正方體的兩個面內，且與正方體的同一條棱垂直
4. 如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成角的大小為________．
8．6.2　直線與平面垂直
問題1　始終保持垂直．
問題2　可以發現，過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條．
知識梳理
1．任意一條　l⊥α　垂線　垂面　垂足
2．有且只有　垂線段
例1　ABD　跟蹤訓練1　AC
問題3　不一定．折痕AD是BC邊上的高時，AD與桌面垂直．
知識梳理
兩條相交直線　m∩n　
例2　證明　方法一　∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方體的棱長為2，連接OM，A1M(圖略)，
則A1O＝，OM＝，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
方法二　連接A1B，A1D，OM(圖略)．
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
A1B＝A1D，
O為BD的中點，
∴A1O⊥BD.
令正方體的棱長為2，
在Rt△A1AO和Rt△OCM中，
tan∠AA1O＝＝，
tan∠COM＝＝，
故△A1AO∽△OCM，
∴∠AOA1＋∠COM＝90°，
∴∠A1OM＝90°，
∴A1O⊥OM，
∵BD∩OM＝O，
BD 平面MBD，
OM 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
跟蹤訓練2　證明　(1)∵E為CD的中點，且AD＝AC，
∴CD⊥AE.
又∵BD＝BC，
∴CD⊥BE.
∵AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
∴CD⊥平面ABE.
(2)∵AD＝AC＝1，DC＝，
∴∠DAC＝90°，AE＝.
同理BE＝，
∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE.
又AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE 平面BCD，
∴AE⊥平面BCD.
問題4　鉛筆和它在桌面上的射影所成的角．
知識梳理
相交　垂直　直線PA　交點　點A
垂線　垂足　斜足　直線AO　∠PAO　90°　0°　0°≤θ≤90°
例3　解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．
設正方體的棱長為1，
則A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，
又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.
延伸探究　解　如圖，連接BC1，BC1與B1C相交于點O，連接A1O.
設正方體的棱長為a.
因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角．
在Rt△A1BO中，
A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.
跟蹤訓練3　解　由題意知，A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面ABC上的射影為AC.
∴∠MCA即為直線MC與平面ABC所成的角．
又∵在Rt△MBC中，
BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°
＝5×＝.
在Rt△MAB中，
MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，
sin∠MCA＝＝＝，
即MC與平面ABC所成角的正弦值為.
問題5　在空間中，垂直于同一直線的兩直線不一定平行，但是垂直于同一平面的兩直線一定平行．
知識梳理
平行
例4　證明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中點，
∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
跟蹤訓練4　證明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
隨堂演練
1．BCD　2.B　3.ABC　4.45°

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