資源簡介

8.6.3　平面與平面垂直
[學習目標]　
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.
2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.
3.掌握面面垂直的性質定理，并能利用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題．
一、二面角的概念
知識梳理　
二面角
1．從一條直線出發的兩個__________所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的________，這兩個半平面叫做二面角的面．
2．畫法：
3．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上________一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的________叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是____________．平面角是________的二面角叫做直二面角．
例1　如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．
反思感悟　(1)求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”．
(2)作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據需要，選擇特殊點作平面角的頂點．
跟蹤訓練1　如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
二、平面與平面垂直的定義和判定
知識梳理　
1．平面與平面垂直的定義
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β.
(2)畫法：
2．面面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．
符號語言：a α，a⊥β α⊥β.
例2　在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求證：平面ACD′⊥平面BDD′B′.
反思感悟　證明平面與平面垂直的方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角．
(2)利用面面垂直的判定定理，其實質歸根結底還是找一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，一定要把定理用符號語言敘述完整．
跟蹤訓練2　如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．求證：平面ABM⊥平面A1B1M.
三、平面與平面垂直的性質定理
問題　黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？由此，你能得到什么樣的一般結論呢？
知識梳理　
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的________，那么這條直線與另一個平面________
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，______，________ a⊥β
圖形語言
例3　如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.
反思感悟　利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點
(1)兩個平面垂直．
(2)直線必須在其中一個平面內．
(3)直線必須垂直于它們的交線．
跟蹤訓練3　如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，點F在側棱CC1上，且CF＝1.求證：EF⊥A1C.
1．知識清單：
(1)二面角以及二面角的平面角．
(2)平面與平面垂直的定義和判定定理．
(3)平面與平面垂直的性質定理．
2．方法歸納：轉化法．
3．常見誤區：面面垂直性質定理中，在其中一個面內作交線的垂線，與另一個平面垂直．
1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數個 D．不存在
2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4. 如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.
8．6.3　平面與平面垂直
知識梳理
1．半平面　棱　
4．(1)任取　∠AOB
(2)0°≤α≤180°　直角
例1　解　如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，
則AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角．
設點H是△BCD的中心，連接AH，
則AH⊥平面BCD，且點H在線段BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，
則cos∠AMB＝＝＝，
即所求二面角的平面角的余弦值為.
跟蹤訓練1　解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P－BC－A的大小是45°.
知識梳理
1．(1)直二面角
例2　證明　∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，
∴BB′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩BB′＝B，BD，BB′ 平面BDD′B′，
∴AC⊥平面BDD′B′，
∵AC 平面ACD′，
∴平面ACD′⊥平面BDD′B′.
跟蹤訓練2　證明　由長方體的性質可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M為CC1的中點，
所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，
B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因為BM 平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
問題　找到黑板所在平面與地面所在平面的交線，在黑板上畫出和該交線垂直的直線，即垂直于地面．
知識梳理
交線　垂直　a α　a⊥l
例3　證明　如圖，在平面PAB內，
作AD⊥PB于點D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
跟蹤訓練3　證明　過點E作EN⊥AC于點N，連接NF，AC1，如圖，
由正三棱柱的性質可知，平面ABC⊥平面A1ACC1，
所以EN⊥平面A1ACC1，
又因為A1C 平面A1ACC1，
所以EN⊥A1C，
因為E為等邊△ABC的邊BC的中點，
所以CE＝2，
在Rt△CNE中，CN＝CE·cos 60°＝2×＝1，
則＝＝，所以NF∥AC1，
又在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C，
故NF⊥A1C，
因為NF∩EN＝N，NF，EN 平面EFN，
所以A1C⊥平面EFN，
所以EF⊥A1C.
隨堂演練
1．C　2.C　3.B　4.

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