資源簡介

§9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
第1課時　總體取值規律的估計
[學習目標]　
1.掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法.
2.掌握用頻率分布直方圖估計總體．
一、頻率分布直方圖
問題1　請閱讀課本第193頁到第194頁，為了探索一組數據的取值規律，我們通常要怎樣做？
問題2　如果要統計月均用水量在不同范圍內的居民用戶占全市居民用戶的比例，采用什么表示更直觀？
知識梳理　
畫頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差：極差為一組數據中________與________的差．
(2)決定組距與組數：當樣本量不超過100時，常分成________組，為方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”．
(3)將數據分組．
(4)列頻率分布表：一般分四列：分組、________________、頻數、________.其中頻數合計是樣本容量，頻率合計是________．
(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示數據，縱軸表示________．小長方形的面積＝組距×________＝________.各小長方形的面積和等于1.
例1　從某校高三學生中抽取50名參加數學競賽，成績(單位：分)分組及各組的頻數如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計成績在[60,90)的學生比例．
反思感悟　在繪制出頻率分布表以后，畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法是“以一個恰當的單位長度”(沒有統一規定)，然后以各組的“”所占的比例來定高．
跟蹤訓練1　為了了解九年級學生中女生的身高(單位：cm)情況，某中學對九年級部分女生身高進行了一次測量，所得數據整理后列出頻率分布表如下所示．
分組 頻數 頻率
[145.5,149.5) 1 0.02
[149.5,153.5) 4 0.08
[153.5,157.5) 20 0.40
[157.5,161.5) 15 0.30
[161.5,165.5) 8 0.16
[165.5,169.5] m n
合計 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)全體女生中身高在哪組范圍內的人數最多？估計九年級學生中女生的身高在161.5 cm及以上的頻率．
二、頻率分布直方圖的應用
例2　為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
(2)若次數在110(含110)以上為達標，則該校高一年級全體學生的達標率約為多少？
反思感悟　頻率分布直方圖的性質
(1)因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小．
(2)＝樣本容量．
(3)頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內的可能性．
跟蹤訓練2　某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層隨機抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖．
(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
1．知識清單：
(1)頻率分布直方圖．
(2)頻率分布直方圖的應用．
2．方法歸納：圖表識別、數據分析．
3．常見誤區：頻率分布直方圖中小矩形的高以及小矩形的面積代表的意義理解不清．
1．用樣本頻率分布估計總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．總體容量越大，估計越精確
B．總體容量越小，估計越精確
C．樣本容量越大，估計越精確
D．樣本容量越小，估計越精確
2．一個容量為20的樣本數據，分組與頻數如表所示：
分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
頻數 2 3 4 5 4 2
則樣本數據在[10,50)內的頻率為(　　)
A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7
3．某地政府調查了工薪階層1 000人的月工資(單位：百元)，并根據調查結果畫出如圖所示的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對月工資的滿意程度，要用比例分配的分層隨機抽樣方法從調查的1 000人中抽出100人做電話詢訪，則應從月工資在區間[30,35)內的工薪階層中抽出________人．
4．為了解今年某校高三畢業班準備報考飛行員的學生的體重(單位：千克)情況，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖，如圖所示，已知圖中從左到右的前三個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數為12.則該校準備報考飛行員的總人數為________．
9．2.1　總體取值規律的估計
第1課時　總體取值規律的估計
問題1　一般先用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來．
問題2　頻率分布表或頻率分布直方圖．
知識梳理
(1)最大值　最小值　(2)5～12
(4)頻數累計　頻率　1
(5)　　頻率
例1　解　(1)頻率分布表如下．
成績分組 頻數累計 頻數 頻率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 10 0.2
[70,80) 15 0.3
[80,90) 12 0.24
[90,100] 8 0.16
合計 50 1.00
(2)畫出頻率分布直方圖，如圖所示．
(3)學生成績在[60,90)的頻率為(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估計成績在[60,90)的學生比例為74%.
跟蹤訓練1　解　(1)方法一　
N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，＝，
解得m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二　M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1.00，
n＝＝＝0.04.
(2)畫出頻率分布直方圖，如圖所示．
(3)由頻率分布直方圖可知，樣本中身高在[153.5,157.5)范圍內的人數最多，且身高在161.5 cm及以上的頻率為0.16＋0.04＝0.20，由此可估計全體女生中身高在[153.5，157.5)范圍內的人數最多，九年級學生中女生的身高在161.5 cm及以上的頻率約為0.20.
例2　解　(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小，
第二小組的頻率為
＝0.08.
因為第二小組的頻率＝，
所以樣本容量＝＝＝150.
(2)由頻率分布直方圖可知該校高一年級全體學生的達標率約為×100%＝88%.
跟蹤訓練2　解　(1)根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以樣本中分數小于70的頻率為
1－0.6＝0.4，
所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率約為0.4.
(2)根據題意可知樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
樣本中分數在區間[40,50)內的人數為100－100×0.9－5＝5，
所以估計總體中分數在區間[40,50)內的人數約為400×＝20.
(3)由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×＝30，
所以樣本中的男生人數為
30×2＝60，
女生人數為100－60＝40，
所以樣本中男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2，
所以估計總體中男生和女生人數的比例約為3∶2.
隨堂演練
1．C　2.D　3.15　4.48第2課時　統計圖表的識別
[學習目標]　
1.在問題情境中會用不同的統計圖分析樣本數據.
2.能從統計圖表中獲取有價值的信息，估計總體的分布規律．
一、幾種不同的統計圖
問題　觀察以下四種統計圖，你能說出其各自的優點嗎？
(1)條形圖(如圖)．
(2)扇形圖(如圖)．
(3)折線圖(如圖)．
(4)直方圖(如圖)．
例1　(多選)四種統計圖：①條形圖；②扇形圖；③折線圖；④直方圖．四個特點：(a)易于比較數據之間的差異；(b)易于顯示各組之間的頻數的差別；(c)易于顯示數據的變化趨勢；(d)易于顯示每組數據相對于總數所占的比例．下列統計圖與特點選配方案正確的是(　　)
A．①與(a) B．②與(c)
C．③與(d) D．④與(b)
反思感悟　(1)不同的統計圖在表示數據上有不同的特點．如：扇形圖主要用于直觀描述各類數據占總數的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率，折線圖主要用于描述數據隨時間的變化趨勢．
(2)不同的統計圖適用的數據類型也不同．例如，條形圖適用于描述離散型的數據，直方圖適用于描述連續型數據等．
跟蹤訓練1　某中學高一(2)班甲、乙兩名同學自高中以來每次數學考試成績情況如下：
甲的得分：95,75,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
為了了解這兩名同學數學考試成績的變化情況，下列使用的統計圖最方便的是(　　)
A．頻率分布直方圖 B．條形圖
C．扇形圖 D．折線圖
二、利用各種統計圖表對數據進行分析
例2　(1)某市為了增強學生體質，全面實施“學生飲用奶”營養工程．某品牌牛奶供應商提供了原味、草莓味、菠蘿味、香橙味、核桃味五種口味的牛奶供學生飲用．某中學為了了解學生對不同口味牛奶的喜好，對全校訂購牛奶的學生進行了隨機調查(每盒各種口味牛奶的體積相同)，繪制了如下兩張不完整的統計圖．
①本次被調查的學生有多少名？
②補全上面的條形統計圖(圖①)，并計算出喜好菠蘿味牛奶的學生人數在扇形統計圖(圖②)中所占圓心角的度數；
③該校共有1 200名學生訂購了該品牌的牛奶，牛奶供應商每天只為每名訂購牛奶的學生配送一盒牛奶．要使學生每天都喝到自己喜好口味的牛奶，牛奶供應商每天送往該校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少盒？
(2)如圖是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，試根據折線統計圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統計圖和條形統計圖．
反思感悟　(1)條形圖是用一個單位長度表示一定的數量或頻率，根據數量的多少或頻率的大小畫成長短不同的矩形條，條形圖能清楚地表示出每個項目的具體數目或頻率．
(2)扇形圖是用整個圓的面積表示總數(100%)，用圓內的扇形面積表示各個部分所占總數的百分數．
(3)在畫折線圖時，要注意明確橫軸、縱軸的實際含義．
跟蹤訓練2　(1)(多選)某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得到如圖所示的統計圖，則以下說法正確的是(　　)
A．54周歲以上的參保人數最少
B．18～29周歲人群參保的總費用最少
C．丁險種更受參保人青睞
D．30周歲及以上的參保人數約占總參保人數的20%
(2)(多選)空氣質量指數AQI是反映空氣質量狀況的指數，AQI指數的值越小，表明空氣質量越好，AQI指數不超過50，空氣質量為“優”；AQI指數大于50且不超過100，空氣質量為“良”；AQI指數大于100，空氣質量為“污染”．如圖是某市2023年空氣質量指數(AQI)的月折線圖．下列關于該市2023年空氣質量的敘述中，說法正確的是(　　)
A．全年平均AQI指數對應的空氣質量等級為優或良
B．每月都至少有一天空氣質量為優
C．2月、8月、9月和12月均出現污染天氣
D．空氣質量為“污染”的天數最多的月份是2月份
1．知識清單：
(1)常見統計圖表的特點．
(2)利用各種統計圖表對數據進行分析．
2．方法歸納：圖表識別、數據分析．
3．常見誤區：對表格中數據代表的意義理解不清．
1．把過期的藥品隨意丟棄，會對土壤和水體造成污染，危害人們的健康．如何處理過期藥品，有關機構隨機對若干家庭進行調查，調查結果如圖所示，其中對過期藥品處理不正確的家庭有(　　)
A．79% B．80% C．18% D．82%
2．統計某商城一年中各月份的收入、支出(單位：萬元)情況，并制作折線圖所圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．利潤最高的月份是2月份
B．7月份至9月份的月平均支出為50萬元
C．支出的最高值與支出的最低值的比是3∶1
D．2月份至3月份的收入的變化量與11月份至12月份的收入的變化量相同
3．小張剛參加工作時，月工資為5 000元，各種用途占比統計如圖(1)所示的條形圖．后來他加強了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統計如圖(2)所示的折線圖，已知目前的月就醫費比剛參加工作時少200元，則目前小張的月工資為(　　)
A．5 500 B．6 000
C．6 500 D．7 000
4．小吳一星期的總開支(單位：元)分布如圖(1)所示，一星期的食品開支如圖(2)所示，則小吳一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為(　　)
A．1% B．2% C．3% D．5%
第2課時　統計圖表的識別
問題　條形圖能直觀顯示每組中的具體數據；
扇形圖能直觀顯示各部分所占總體的百分比；
折線圖能直觀顯示數據的變化趨勢；
直方圖能直觀顯示數據的分布情況．
例1　AD　跟蹤訓練1　D
例2　(1)解　①根據喜好核桃味牛奶的學生數，得本次被調查的學生人數(樣本容量)為10÷5%＝200.
②喜好香橙味牛奶的學生人數是200－38－62－50－10＝40，補全條形圖，如圖所示，
喜好菠蘿味牛奶的學生人數為50，
在扇形統計圖中所占圓心角的度數為×360°＝90°.
③草莓味要比原味的多
×(62－38)＝144(盒)．
(2)解　該市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低氣溫(℃) －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
其中最低氣溫為－3 ℃的有1天，占10%；最低氣溫為－2 ℃的有1天，占10%；最低氣溫為－1 ℃的有2天，占20%；最低氣溫為0 ℃的有2天，占20%；最低氣溫為1 ℃的有1天，占10%；最低氣溫為2 ℃的有3天，占30%.故繪制的扇形統計圖如圖所示．
條形統計圖如圖所示．
跟蹤訓練2　(1)AC　(2)ABC
隨堂演練
1．D　2.D　3.A　4.C

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