資源簡介

9.2.2　總體百分位數(shù)的估計
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù).
2.理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義．
一、百分位數(shù)的定義
問題1　請閱讀課本第202頁到第203頁，思考問題2中居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題具體指什么？
問題2　你能制定一下具體方案嗎？
知識梳理　
1．一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有________的數(shù)據(jù)________________這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：
第1步，按________________排列原始數(shù)據(jù)．
第2步，計算i＝________.
第3步，若________不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的____________．
3．一組數(shù)據(jù)常用的分位數(shù)：
(1)中位數(shù)相當(dāng)于是第________百分位數(shù)．除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)．
(2)第25,50,75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組________________排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．
(3)第25百分位數(shù)也稱為________四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為________四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．
例1　下列表述不正確的是(　　)
A．50%分位數(shù)就是總體的中位數(shù)
B．第p百分位數(shù)可以有單位
C．一個總體的四分位數(shù)有4個
D．樣本容量越大，第p百分位數(shù)估計總體就越準(zhǔn)確
反思感悟　分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)項如何在最小值與最大值之間分布的信息．
跟蹤訓(xùn)練1　15%分位數(shù)的含義是(　　)
A．總體中任何一個數(shù)小于它的可能性是15%
B．總體中任何一個數(shù)小于或等于它的可能性是15%
C．總體中任何一個數(shù)大于它的可能性是15%
D．總體中任何一個數(shù)大于或等于它的可能性是15%
二、由原始數(shù)據(jù)求百分位數(shù)
例2　(1)已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為0,4,5,6,8,10,12,15，則這組數(shù)據(jù)的45%分位數(shù)、75%分位數(shù)分別是(　　)
A．5.5,10 B．5.5,12 C．6,11 D．6,10
(2)若下表是某校校級聯(lián)歡晚會比賽中12個班級的得分情況，則得分的第30百分位數(shù)是(　　)
班級得分 7 8 9 10 11 13 14
頻數(shù) 2 1 2 3 1 2 1
A.11 B．10.5 C．9.5 D．9
反思感悟　計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟
(1)排列：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；
(2)算i：計算i＝n×p%；
(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2　已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,30,37，m,40,50；乙組：24，n,33,44,48,52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則等于(　　)
A. B. C. D.
三、統(tǒng)計圖表中的百分位數(shù)
例3　我國是一個嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市實行居民生活用水定額管理，即確定一個居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m，使得86%的居民生活用水不超過這個標(biāo)準(zhǔn)．在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭，統(tǒng)計其某年的月均用水量(單位：噸)，通過數(shù)據(jù)分析得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求a，m的值；
(2)如果我們稱m為這組數(shù)據(jù)的86%分位數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是多少？
延伸探究　根據(jù)例3中的頻率分布直方圖計算月均用水量的15%分位數(shù)．
反思感悟　由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法
(1)要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率．
(2)可采用方程的思想，設(shè)出第p百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可．
跟蹤訓(xùn)練3　某班60名學(xué)生期中考試物理成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則該成績的第70百分位數(shù)約為(　　)
A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3
1．知識清單：
(1)百分位數(shù)的定義．
(2)由樣本數(shù)據(jù)求百分位數(shù)．
(3)由頻數(shù)(頻率)分布表及頻率分布直方圖求百分位數(shù)．
2．方法歸納：數(shù)據(jù)分析、數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：求第p百分位數(shù)時，應(yīng)先將數(shù)據(jù)從小到大排列．
1．(多選)已知100個數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是(　　)
A．這100個數(shù)據(jù)中至少有75個數(shù)小于或等于9.3
B．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)
C．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
D．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第74個數(shù)據(jù)和第75個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
2．?dāng)?shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是(　　)
A．14 B．17
C．19 D．23
3．下表記錄了某地區(qū)某個月連續(xù)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)．
時間 1 2 3 4 5 6 7 8
空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI) 20 28 24 33 31 35 36 38
則這組空氣質(zhì)量指數(shù)的25%分位數(shù)為(　　)
A．24 B．26
C．28 D．31
4．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為________．
9．2.2　總體百分位數(shù)的估計
問題1　尋找一個數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.
問題2　把得到的100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間(13.6,13.8)內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分．一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)＝13.7.
知識梳理
1．p%　小于或等于
2．從小到大　n×p%　i　平均數(shù)
3．(1)50　(2)由小到大　(3)第一
第三
例1　C　跟蹤訓(xùn)練1　B
例2　(1)C　(2)D
跟蹤訓(xùn)練2　A
例3　解　(1)由頻率分布直方圖得
(0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a＋a)×0.5＝1，
解得a＝0.06.
由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內(nèi)的頻率為1－(0.16＋0.06＋0.06)×0.5＝0.86.
∵計劃在本市實行居民生活用水定額管理，即確定一個居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m，使得86%的居民生活用水不超過這個標(biāo)準(zhǔn)．
∴m≈3.
(2)由頻率分布直方圖知，數(shù)據(jù)在[0,2)內(nèi)的頻率為(0.06＋0.16＋0.30＋0.40)×0.5＝0.46，在[2,2.5)內(nèi)的頻率為0.50×0.5＝0.25，
∴這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是
2＋×0.5＝2.08(噸)．
延伸探究　解　由例3的頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,1)內(nèi)的頻率為(0.06＋0.16)×0.5＝0.11，
在[1,1.5)內(nèi)的頻率為
0．30×0.5＝0.15.
∴月均用水量的15%分位數(shù)約為1＋×0.5≈1.133(噸)．
跟蹤訓(xùn)練3　D　[由題意可求得a＝0.005，則[50,70)對應(yīng)的頻率為0.005×10＋0.04×10＝0.45，[70,80)對應(yīng)的頻率為0.03×10＝0.3，0.3＋0.45＝0.75>0.7，所以第70百分位數(shù)在[70,80)之間，即第70百分位數(shù)為70＋×10≈78.3.]
隨堂演練
1．AC　2.D　3.B　4.

展開更多......

收起↑