資源簡介

9.2.3　總體集中趨勢的估計
[學習目標]　
1.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).
2.理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢．
一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
知識梳理　
1．眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)________最多的數(shù)．
2．中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在________位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的____________)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
3．平均數(shù)：如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么＝______________叫做這n個數(shù)的平均數(shù)．
例1　在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)绫硭荆?br/>成績(單位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人數(shù) 2 3 2 3 4 1 1 1
分別求出這17名運動員的成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．
反思感悟　平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法
平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計算的；計算中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
跟蹤訓練1　某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型的零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.記這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，眾數(shù)為c，則(　　)
A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
二、總體集中趨勢的估計
問題1　我們知道平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．從下面的三幅圖中，你能發(fā)現(xiàn)平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系嗎？
問題2　什么樣的問題可以用平均數(shù)描述？什么樣的問題可以用中位數(shù)描述？什么樣的問題可以用眾數(shù)描述？
例2　某校舉行演講比賽，10位評委對兩位選手的評分如下：
甲　7.5　7.5　7.8　7.8　8.0　8.0　8.2　8.3　8.4　9.9
乙　7.5　7.8　7.8　7.8　8.0　8.0　8.3　8.3　8.5　8.5
選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分的平均數(shù)，那么，這兩位選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？你認為哪種評分辦法更好？為什么？
反思感悟　眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義
(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大．
(2)當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大或較小時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢．
跟蹤訓練2　學校隨機調(diào)查了部分學生一周平均每天的睡眠時間，統(tǒng)計結(jié)果如圖，則在這組數(shù)據(jù)中，這些被調(diào)查學生睡眠時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(　　)
A．8,9 B．8,8.5
C．16,8.5 D．16,14
三、利用頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢
例3　某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問題：
(1)估計這次考試的物理成績的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；
(2)估計這次考試的物理成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分．
反思感悟　利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的方法
(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中．中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))．平均數(shù)約為每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和．
(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù)．
跟蹤訓練3　根據(jù)如圖所示的頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．
1．知識清單：
(1)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算．
(2)總體集中趨勢的估計．
(3)頻率分布直方圖中的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)．
2．方法歸納：數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計．
3．常見誤區(qū)：求中位數(shù)時，需要先把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，再找中間位置的數(shù)或中間兩數(shù)的平均數(shù)．
1．在一次體育測試中，某班6名同學的成績(單位：分)分別為66,83,87,83,77,96.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是(　　)
A．眾數(shù)是83 B．中位數(shù)是83
C．極差是30 D．平均數(shù)是83
2．(多選)下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中錯誤的是(　　)
A．中位數(shù)可以準確地反映出總體的情況
B．平均數(shù)可以準確地反映出總體的情況
C．眾數(shù)可以準確地反映出總體的情況
D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況
3．已知一組數(shù)據(jù)0,2，x,4,5的眾數(shù)是4，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________．
4．某班全體學生參加物理測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班物理測試的平均成績是________分．
9．2.3　總體集中趨勢的估計
知識梳理
1．次數(shù)　
2．中間　平均數(shù)
3.(x1＋x2＋…＋xn)
例1　解　在這17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上表中的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是＝×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝≈1.69.
故這17名運動員的成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75 m，1.70 m，1.69 m.
跟蹤訓練1　C
問題1　一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的(如圖(1))，那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”(如圖(2))，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”(如圖(3))，那么平均數(shù)小于中位數(shù)．也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．
問題2　一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)．
例2　解　甲選手的最后得分為×(7.5＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.2＋8.3＋8.4)＝8.
乙選手的最后得分為×(7.8＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.3＋8.3＋8.5)＝8.062 5.
若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，
則甲選手的得分為×(7.5＋7.5＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.2＋8.3＋8.4＋9.9)＝8.14，
乙選手的得分為×(7.5＋7.8＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.3＋8.3＋8.5＋8.5)＝8.05.
去掉最高分與最低分時，甲的得分低于乙的得分，即乙的排名靠前；若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為得分，則甲的得分高于乙的得分，即甲的排名靠前．兩種評分下，甲、乙兩位選手的排名變化大，去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分的平均數(shù)作為選手的最后得分更好，這是因為平均數(shù)對樣本數(shù)據(jù)的極端值比較“敏感”．
跟蹤訓練2　A
例3　解　(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高小矩形底邊中點的橫坐標，所以眾數(shù)m＝75.0.
前3個小矩形面積和為0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4個小矩形面積和為0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
所以中位數(shù)n＝70＋
≈73.3.
(2)依題意，60及60以上的分數(shù)在第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以估計這次考試的物理成績的及格率是75%.
利用組中值估算抽樣學生的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估計這次考試的物理成績的平均分是71分．
跟蹤訓練3　解　在[124.5,126.5)中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的估計值，得眾數(shù)約為125.5.中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，設(shè)中位數(shù)為x，則由圖可知x∈[124.5,126.5)，則(x－124.5)×0.2＋2×0.075＋2×0.05＝0.5，解得x＝125.75，即中位數(shù)約為125.75.使用組中值求平均數(shù)，則＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，即平均數(shù)約為125.8.
隨堂演練
1．D　2.ABC　3.3　4.68

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