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9.2.4　總體離散程度的估計
[學習目標]　
1.理解方差、標準差的含義，會計算方差和標準差.
2.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數(shù)及方差的方法．
一、方差、標準差
問題　假設一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．我們可以怎樣刻畫這組數(shù)據(jù)的離散程度？
知識梳理　
1．假設一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用＝________表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則稱________或為這組數(shù)據(jù)的方差，稱 ________為這組數(shù)據(jù)的標準差．
2．如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝________為總體方差，S＝________為總體標準差．
如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝________.
3．如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱s2＝______為樣本方差，s＝為樣本標準差．
4．方差、標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度______；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度________．
例1　甲、乙兩機床同時加工直徑為100 mm的零件，為檢驗質量，從中各抽取6件測量，數(shù)據(jù)為
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；
(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．
反思感悟　在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度．在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，離散程度越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定．
跟蹤訓練1　對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(1)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度的平均數(shù)和方差；
(2)比較兩個人的成績，你認為選誰參加比賽比較合適．
二、方差、標準差公式的推廣
知識梳理　
數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標準差分別為s，sx，
數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的方差和標準差分別為s，sy.
若y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b成立，a，b為常數(shù)，則s＝________s，sy＝________sx.
例2　已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2＝2，則樣本數(shù)據(jù)3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差為(　　)
A．2 B．8 C．18 D．20
反思感悟　若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2.
跟蹤訓練2　若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
三、分層隨機抽樣的方差
知識梳理　
假設第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為，方差為s2；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為，方差為t2.則＝，s2＝，＝，t2＝.
若記樣本平均數(shù)為，樣本方差為b2，則可以算出
＝＝____________，
b2＝
＝.
例3　某校有高一學生1 000人，其中男女生比例為3∶2，為獲得該校高一學生的身高(單位：cm)信息，采用分層隨機抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的平均數(shù)為172，標準差為3，女生樣本的平均數(shù)為162，標準差為4.
(1)計算總樣本平均數(shù)，并估計該校高一全體學生的平均身高；
(2)計算總樣本方差．
反思感悟　分層隨機抽樣的方差
設樣本中不同層的平均數(shù)分別為1，2，…，n，方差分別為s，s，…，s，相應的權重分別為w1，w2，…，wn，則這個樣本的方差為s2＝[s＋(i－)2](為總樣本平均數(shù))．
跟蹤訓練3　某高校新增設的“人工智能”專業(yè)，共招收了兩個班，其中甲班30人，乙班40人，在2023年高考中，甲班學生的平均分為665分，方差為131，乙班學生的平均分為658分，方差為208.則該專業(yè)所有學生在2023年高考中的方差為________．
四、方差、標準差與統(tǒng)計圖表的綜合應用
例4　已知甲、乙兩名同學在高三的6次數(shù)學測試中的成績統(tǒng)計如圖，則下列說法不正確的是(　　)
A．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為1，2，則1>2
B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s，s，則s>s
C．甲成績的極差小于乙成績的極差
D．甲成績比乙成績穩(wěn)定
反思感悟　統(tǒng)計圖中數(shù)字特征的求解技巧
根據(jù)統(tǒng)計圖研究樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與橫坐標和縱坐標的統(tǒng)計意義有關，但一般情況下，整體分布位置較高的平均數(shù)大，數(shù)據(jù)波動性小的方差小．
跟蹤訓練4　甲、乙、丙三人投擲飛鏢，他們的成績(環(huán)數(shù))的頻數(shù)條形統(tǒng)計圖如圖所示．則甲、乙、丙三人訓練成績方差s，s，s的大小關系是(　　)
A．sC．s1．知識清單：
(1)方差、標準差的計算與應用．
(2)分層隨機抽樣的方差．
2．方法歸納：數(shù)據(jù)統(tǒng)計、數(shù)據(jù)分析．
3．常見誤區(qū)：方差、標準差易混淆．
1．下列數(shù)字特征不能反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度、波動情況的是(　　)
A．極差 B．平均數(shù)
C．方差 D．標準差
2．已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標準差為(　　)
A．1 B. C. D．2
3．張華和李明兩名同學參加數(shù)學競賽的預選賽，他們分別同時進行了5次模擬測試，測試成績?nèi)绫?單位：分)：
張華 100 80 90 90 90
李明 100 100 70 90 90
如果希望在張華、李明兩人中選發(fā)揮比較穩(wěn)定的1人入選，則入選的人應是________．
4．甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?6，方差為96；乙班的平均成績?yōu)?5，方差為60.那么甲，乙兩班全部學生成績的方差是________．
9．2.4　總體離散程度的估計
問題　用這組數(shù)據(jù)與的平均距離來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度．
知識梳理
1.　 　
2.　
3.
4．越大　越小
例1　解　(1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，
又s>s，所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．
跟蹤訓練1　解　(1)甲的平均數(shù)
甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33.
乙的平均數(shù)乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.
甲的方差s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝.
乙的方差s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝.
(2)由(1)知甲和乙的平均數(shù)相等，因為s>s，
所以乙更穩(wěn)定，乙參加比賽比較合適．
知識梳理
a2　|a|　
例2　C　[設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均數(shù)為，方差為s，則＝
＝3＋2，
s＝[(3x1＋2－3－2)2＋(3x2＋2－3－2)2＋…＋(3xn＋2－3－2)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2＝9×2＝18.]
跟蹤訓練2　C
知識梳理
例3　解　(1)把男生樣本記為x1，x2，…，x25，平均數(shù)記為＝172，方差記為s＝9；
把女生樣本記為y1，y2，…，y25，平均數(shù)記為＝162，方差記為s＝16；
把總樣本平均數(shù)記為，方差記為s2；高一全體學生身高的平均數(shù)記為.
根據(jù)平均數(shù)的定義，總樣本平均數(shù)為
＝＝
＝167；
高一全體學生身高的平均數(shù)為
＝
＝＝168.
(2)根據(jù)方差的定義，總樣本方差為
＝[25s＋25(－)2＋25s＋25(－)2]
＝×[25×9＋25×(172－167)2＋25×16＋25×(162－167)2]＝37.5.
所以總樣本方差為37.5.
跟蹤訓練3　187
解析　由題意得甲班學生成績的平均數(shù)1＝665，方差s＝131，
乙班學生成績的平均數(shù)2＝658，方差s＝208，
則總體平均數(shù)＝＋＝661，
方差s2＝×[131＋(665－661)2]＋×[208＋(658－661)2]＝187.
例4　B　[對于A，由折線圖可知，甲同學的平均成績高于乙同學的平均成績，A正確；
對于B，由折線圖可知，甲同學的成績較乙同學的成績更穩(wěn)定，所以s對于C，由折線圖可知，甲成績的極差小于乙成績的極差，C正確；
對于D，甲成績比乙成績穩(wěn)定，D正確．]
跟蹤訓練4　A
隨堂演練
1．B　2.B　3.張華　4.100

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