資源簡介

第十章　概　率
§10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
[學習目標]　
1.理解隨機試驗、樣本點與樣本空間，會寫試驗的樣本空間.
2.了解隨機事件的有關概念，掌握隨機事件的表示方法及含義．
一、有限樣本空間
問題1　體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？
知識梳理　
1．我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示，我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：
(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(重復性)
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；(可預測性)
(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．(隨機性)
2．樣本點、樣本空間
定義 字母表示
樣本點 我們把隨機試驗E的____________稱為樣本點 用______表示
樣本空間 ________樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間 用______表示
有限樣本空間 如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為________________ Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
例1　寫出下列試驗的樣本空間：
(1)同時拋擲三枚質地均勻的骰子，記錄三枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和；
(2)從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產(chǎn)品中任取兩件，觀察取出產(chǎn)品的結果；
(3)用紅、黃、藍三種顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，觀察涂色的情況．
跟蹤訓練1　寫出下列試驗的樣本空間：
(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節(jié)日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況；
(2)從一批產(chǎn)品(正品和次品均大于3件)中，依次任選三件，記錄出現(xiàn)正品與次品的情況．
二、隨機事件、必然事件、不可能事件
問題2　有一個轉盤游戲，轉盤被平均分成10份(如圖所示)．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉動轉盤，乙猜，若猜出的結果與轉盤轉出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．設事件A＝“轉出的數(shù)字是5”，事件B＝“轉出的數(shù)字是0”，事件C＝“轉出的數(shù)字x滿足1≤x≤10，x∈Z”，則事件A，B，C分別是什么事件？
問題3　假設猜數(shù)方案為“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”，乙猜“是奇數(shù)”，若將乙獲勝記為事件M，則M中包含哪些樣本點？
知識梳理　
隨機事件 我們將樣本空間Ω的________稱為________，簡稱事件，并把只包含________樣本點的事件稱為______，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為________
必然事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為________
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為__________
例2　試驗E：甲、乙兩人玩猜拳游戲(石頭、剪刀、布)，觀察甲、乙出拳的情況．
設事件A表示隨機事件“甲、乙平局”；
事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”；
事件C表示隨機事件“乙不輸”．
試用集合表示事件A，B，C.
反思感悟　對于隨機事件的表示，應先列出所有的樣本點，然后確定隨機事件中含有哪些樣本點，這些樣本點作為元素表示的集合即為所求．
跟蹤訓練2　如圖，從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中，任取兩點觀察取點的情況，設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”，試用樣本點表示事件M.
三、隨機事件的含義
例3　在試驗E：“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù)”中，指出下列隨機事件的含義：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
反思感悟　解答此類題目，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規(guī)律，才能確定隨機事件的含義．
跟蹤訓練3　柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數(shù)表示左腳，下標為偶數(shù)表示右腳，指出下列隨機事件的含義．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
1．知識清單：
(1)隨機試驗．
(2)樣本空間．
(3)隨機事件、必然事件與不可能事件．
2．方法歸納：列舉法、列表法、樹狀圖法．
3．常見誤區(qū)：在列舉樣本點時，要按照一定的順序，做到不重、不漏．
1．將一根長為a的鐵絲隨意截成三段，這三段鐵絲構成一個三角形，此事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．隨機事件 D．不能判定
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，從A，B中各任取一個數(shù)，構成一個兩位數(shù)，則所有樣本點的個數(shù)為(　　)
A．8 B．9 C．12 D．11
3．拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，則M＝_____________________.
4．用紅、黑、黃3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色，每個小球只涂一種顏色，若事件A＝{(紅，紅)，(黑，黑)，(黃，黃)}，則事件A的含義是____________________________．
§10.1　隨機事件與概率
10．1.1　有限樣本空間與隨機事件
問題1　10個可能結果；可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
知識梳理
2．每個可能的基本結果　ω　全體
Ω　有限樣本空間
例1　解　(1)該試驗的樣本空間
Ω1＝{3,4,5，…，18}．
(2)該試驗所有可能的結果如圖所示，
因此，該試驗的樣本空間
Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
(3)如圖，
用1,2,3分別表示紅色、黃色與藍色這三種顏色，則此試驗的樣本空間Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}．
跟蹤訓練1　解　(1)如圖，
設甲、乙、丙、丁分別為1,2,3,4，
所以樣本空間Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}．
(2)設正品為H，次品為T，
則樣本空間Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}．
問題2　“轉出的數(shù)字是5”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故事件A是隨機事件；“轉出的數(shù)字是0”，即B＝{0}，不是樣本空間Ω＝{1,2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件；C＝Ω＝{1,2，…，10}，故事件C是必然事件．
問題3　M＝{1,3,5,7,9}．
知識梳理
子集　隨機事件　一個　基本事件　事件A發(fā)生　必然事件　不可能事件
例2　解　設石頭為w1，剪刀為w2，布為w3，用(i，j)(i，j＝w1，w2，w3)表示游戲的結果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，則樣本空間Ω＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因為事件A表示隨機事件“甲、乙平局”，
則滿足要求的樣本點共有3個，分別為(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}；
事件B表示“甲贏得游戲”，
則滿足要求的樣本點共有3個，分別為(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}；
因為事件C表示“乙不輸”，
則滿足要求的樣本點共有6個，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
跟蹤訓練2　解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．
例3　解　(1)事件A所含的樣本點中的第二個數(shù)均為3，根據(jù)樣本空間知第二個數(shù)為3的樣本點都在事件A中，故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數(shù)為3.
(2)事件B所含的樣本點中兩個數(shù)的和均為6，且樣本空間中兩數(shù)和為6的樣本點都在事件B中，故事件B的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數(shù)之和為6.
(3)事件C所含的樣本點中兩個數(shù)的差的絕對值為2，且樣本空間中兩個數(shù)的差的絕對值為2的樣本點都在事件C中，故事件C的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數(shù)之差的絕對值為2.
跟蹤訓練3　解　(1)事件M的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”．
(2)事件N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”．
(3)事件P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”．
隨堂演練
1．C　2.D
3．{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)}
4．甲、乙兩個小球所涂顏色相同

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