資源簡(jiǎn)介

10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.理解事件的關(guān)系和運(yùn)算.
2.通過(guò)事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對(duì)立事件的概念．
一、事件的關(guān)系
問(wèn)題1　在擲骰子試驗(yàn)中，事件A＝“點(diǎn)數(shù)為1”，事件B＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，表示A與B兩事件的集合有什么關(guān)系？A與B事件有什么關(guān)系？
知識(shí)梳理　
定義 符號(hào) 圖示
包含關(guān)系 一般地，若事件A發(fā)生，則事件B________發(fā)生，就稱(chēng)事件B________事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等關(guān)系 特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，則稱(chēng)事件A與事件B相等
例1　在擲骰子試驗(yàn)中，可以得到以下事件：
A：{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B：{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C：{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D：{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E：{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F：{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G：{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H：{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I：{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J：{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}．
請(qǐng)判斷下列兩個(gè)事件的關(guān)系：
(1)B__________H；(2)D____________J；(3)E____________I；(4)A____________G.
反思感悟　判斷事件之間的關(guān)系，主要是判斷表示事件的兩集合間的包含關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練1　連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，得到如下三個(gè)事件：A為“3次正面向上”，B為“只有1次正面向上”，C為“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關(guān)系．
二、事件的運(yùn)算
問(wèn)題2　在擲骰子試驗(yàn)中，用集合的形式表示事件D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于3”，事件E1＝“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2＝“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
問(wèn)題3　在擲骰子試驗(yàn)中，事件C2＝“點(diǎn)數(shù)為2”，事件E1＝“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2＝“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
問(wèn)題4　怎樣從集合的角度理解并事件和交事件？
知識(shí)梳理　
定義 符號(hào) 圖示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B______有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，則稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B______發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，則稱(chēng)這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
例2　盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是怎樣的運(yùn)算關(guān)系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
延伸探究　在本例中，設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}，那么事件C與B，E分別是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么事件？
反思感悟　事件間的運(yùn)算方法
(1)利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有的樣本點(diǎn)，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有的樣本點(diǎn)，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．
跟蹤訓(xùn)練2　對(duì)空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次，設(shè)A＝{兩次都擊中目標(biāo)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中目標(biāo)}，C＝{恰有一次擊中目標(biāo)}，D＝{至少有一次擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是(　　)
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
三、互斥事件與對(duì)立事件
問(wèn)題5　用集合的形式表示事件C3＝“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4＝“點(diǎn)數(shù)為4”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
問(wèn)題6　用集合的形式表示事件F＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件G＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
知識(shí)梳理　
1．互斥事件
定義 一般地，如果事件A與事件B________________發(fā)生，也就是說(shuō)________是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝________，則稱(chēng)事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時(shí)發(fā)生
符號(hào)表示
圖形表示
2.對(duì)立事件
定義 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且________，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立，事件A的對(duì)立事件記為
含義 A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生
符號(hào)表示 ________，________
圖形表示
例3　(多選)從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出3件產(chǎn)品，設(shè)A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．A與C互斥 B．B與C互斥
C．任何兩個(gè)都互斥 D．A與B對(duì)立
反思感悟　辨析互斥事件與對(duì)立事件的思路
(1)從發(fā)生的角度看
①在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生．
②兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生，即兩事件對(duì)立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對(duì)立．對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例．
(2)從事件個(gè)數(shù)的角度看
互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件．
跟蹤訓(xùn)練3　(多選)從1,2,3，…，9中任取兩個(gè)數(shù)，其中不是對(duì)立事件的是(　　)
A．恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)
B．至少有一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)
C．至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)
D．至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)
1．知識(shí)清單：
(1)事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系．
(2)并事件和交事件．
(3)互斥事件和對(duì)立事件．
2．方法歸納：列舉法、Venn圖法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：互斥事件和對(duì)立事件之間的關(guān)系易混淆．
1．某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是(　　)
A．A與B互為對(duì)立 B．B與C互斥
C．C與D互為對(duì)立 D．B與D互斥
2．在包含10件次品的100件產(chǎn)品中，抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3．從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，若“這2個(gè)數(shù)的和大于4”為事件A，“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)” 為事件B，則A∪B和A∩B包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為(　　)
A．1,6 B．4,2 C．5,1 D．6,1
4．從0,1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)．事件A表示組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，事件B表示組成的兩位數(shù)中十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，則事件A∩B用樣本點(diǎn)表示為_(kāi)_____________．
10．1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
問(wèn)題1　集合B包含集合A；事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生．
知識(shí)梳理
一定　包含　 　 　A＝B
例1　(1) 　(2) 　(3) 　(4)＝
跟蹤訓(xùn)練1　解　當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，事件C一定發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，事件C一定發(fā)生，因此有A C，B C；當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定不發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，事件A一定不發(fā)生，因此事件A與事件B之間不存在包含關(guān)系．
問(wèn)題2　D1＝{1,2,3}，E1＝{1,2}，
E2＝{2,3}．{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，即E1∪E2＝D1.
問(wèn)題3　E1＝{1,2}，E2＝{2,3}，
C2＝{2}．{1,2}∩{2,3}＝{2}，
即E1∩E2＝C2.
問(wèn)題4　事件的并、交可以借助集合的并集、交集進(jìn)行理解．
知識(shí)梳理
至少　同時(shí)　A∩B(或AB)
例2　解　(1)事件D包含的樣本點(diǎn)為{1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，{2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，故D＝A∪B.
(2)事件C包含的樣本點(diǎn)為{1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，{2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，{3個(gè)紅球}，
故C∩A＝A.
延伸探究　解　事件C包含的樣本點(diǎn)為{1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，{2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，{3個(gè)紅球}，故B C，E C，而事件F包含的樣本點(diǎn)為{1個(gè)白球、2個(gè)紅球}，{2個(gè)白球、1個(gè)紅球}，{3個(gè)白球}，所以C∩F＝{1個(gè)紅球、2個(gè)白球或2個(gè)紅球、1個(gè)白球}＝D.
跟蹤訓(xùn)練2　D
問(wèn)題5　C3＝{3}，C4＝{4}，
C3∩C4＝ .
問(wèn)題6　F＝{2,4,6}，G＝{1,3,5}．
F∪G＝Ω，F(xiàn)∩G＝ .
知識(shí)梳理
1．不能同時(shí)　A∩B　 　A∩B＝
2．A∩B＝ 　A∩B＝ 　A∪B＝Ω
例3　ABC　[由題意可知，C＝{3件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，包含“1件次品、2件正品”“2件次品、1件正品”兩個(gè)樣本點(diǎn)，
A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}＝{3件產(chǎn)品全是正品}，
B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，由此知，A與C互斥，B與C互斥，A與B互斥，故A，B，C正確；
由于樣本空間中還包含“1件次品，2件正品”“2件次品，1件正品”兩個(gè)樣本點(diǎn)，故A與B不對(duì)立，故D錯(cuò)誤．]
跟蹤訓(xùn)練3　ABD
隨堂演練
1．D　2.B　3.C
4．{10,20,30,40,50,32,42,52,54}

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