資源簡介

10.1.3　古典概型(二)
[學習目標]　
1.掌握古典概型的定義.
2.熟練掌握古典概型的概率計算公式．
一、列舉法解決古典概型問題
例1　袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中紅色小球1個，黃色小球1個，藍色小球n個，從袋子中隨機抽取1個小球，設取到藍色小球為事件M，且事件M發生的概率是.
(1)求n的值；
(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，若每次取到紅色小球得0分，取到黃色小球得1分，取到藍色小球得2分，設第一次取出小球后得分為a，第二次取出小球后得分為b，記事件N為“a＋b＝2”，求事件N發生的概率．
反思感悟　解題時要注意是“有放回抽取”還是“不放回抽取”，若是“有放回抽取”，則在每次抽取之前，產品種類及個數都不發生變化，因此某件新產品被抽到的概率也不變；若是“不放回抽取”(假設每次抽取的結果都可知)，則在每次抽取之前，所剩產品種類及個數都在發生變化，因此某件產品被抽到的概率也在不斷變化．
跟蹤訓練1　甲、乙、丙三個盒子中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干，甲盒中裝有2張卡片，分別寫有字母A和B；乙盒中裝有3張卡片，分別寫有字母C，D和E；丙盒中裝有2張卡片，分別寫有字母H和I，如圖所示．現要從3個盒子中各隨機取出1張卡片．求：
(1)取出的3張卡片中恰有1張，2張，3張寫有元音字母的概率分別是多少？
(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少？
二、概率與統計相結合
例2　(多選)某市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20,25)，第2組[25,30)，第3組[30,35)，第4組[35,40)，第5組[40,45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．若從第3,4,5組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，則下列結論正確的是(　　)
A．應從第3,4,5組中分別抽取3人、2人、1人
B．第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為
C．第5組志愿者被抽中的概率為
D．第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為
反思感悟　概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決，解決此類題目的步驟主要有：
第一步：根據題目要求求出數據(有的用到按比例分配的分層隨機抽樣、有的用到頻率分布直方圖等知識)；
第二步：列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；
第三步：找出所求事件包含的樣本點個數；
第四步：根據古典概型概率計算公式求解；
第五步：明確規范地表述結論．
跟蹤訓練2　為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機選取了該地區100名九年級男生進行測量，他們的身高x(cm)統計如表．
組別(cm) x≤160 160180
人數 15 42 38 5
根據上表，隨機選取該地區一名九年級男生，估計他的身高不高于180 cm的概率是(　　)
A．0.05 B．0.38 C．0.57 D．0.95
三、概率的綜合應用
例3　某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動，參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數，設兩次記錄的數分別為x，y，獎勵規則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；
②若xy≥8，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶．
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻，小亮準備參加此項活動．
(1)求小亮獲得玩具的概率；
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
反思感悟　應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是不是古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數及事件包含的樣本點個數，最后代入公式求出概率．
跟蹤訓練3　某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是從裝有2個紅球A1，A2和一個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．
(1)用球的標號列出所有的樣本點；
(2)有人認為兩個箱子中的紅球總數比白球總數多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由．
1．知識清單：
(1)列舉法解決古典概型問題．
(2)概率與統計相結合．
(3)概率的綜合應用．
2．方法歸納：列舉法、樹狀圖等．
3．常見誤區：樣本空間中樣本點列舉錯誤和古典概型的錯誤判斷．
1．將一枚質地均勻的硬幣連擲兩次，恰有一次正面朝上的概率為(　　)
A. B. C. D.
2．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫，從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A.
B.
C.
D.
3．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如8＝3＋5，在不超過11的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和為偶數的概率是________(用分數表示)．
4．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．
10．1.3　古典概型(二)
例1　解　(1)由題意，從袋子中隨機抽取1個小球，共有n＋2個結果，每個結果可能性相同，
其中事件M發生有n種結果，
所以P(M)＝＝，
解得n＝2.
(2)把紅色小球記為A；黃色小球記為B；藍色小球記為C1，C2.
則兩次不放回地取出小球的組合情況可用表格表示為
A B C1 C2
A × (A，B) (A，C1) (A，C2)
B (B，A) × (B，C1) (B，C2)
C1 (C1，A) (C1，B) × (C1，C2)
C2 (C2，A) (C2，B) (C2，C1) ×
共有12個樣本點，
其中事件N包含的樣本點有
(A，C1)，(A，C2)，(C1，A)，(C2，A)，共4個，
所以P(N)＝＝.
跟蹤訓練1　解　根據題意，可畫出如圖所示的樹狀圖．
由樹狀圖可以得到，所有可能出現的樣本點有12個，它們出現的可能性相等．
(1)只有1張元音字母的結果有5個，所以P(1張元音字母)＝；
有2張元音字母的結果有4個，所以P(2張元音字母)＝＝；
3張全部為元音字母的結果有1個，所以P(3張元音字母)＝.
(2)3張全是輔音字母的結果有2個，所以P(3張輔音字母)＝＝.
例2　ABC　[第3組抽取×6＝3(人)，
第4組抽取×6
＝2(人)，
第5組抽取×6
＝1(人)，故A正確；
設第3組的人分別為a，b，c，第4組的人分別為d，e，第5組的人為f，則6人中隨機抽取2人有
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15種抽法，
其中第4組志愿者恰有一人被抽中有8種抽法，
則其概率為，故B正確；
第5組志愿者被抽中有5種抽法，
其概率為＝，故C正確；
第3組志愿者至少有一人被抽中有12種抽法，
其概率為＝，故D錯誤．]
跟蹤訓練2　D
例3　解　用數對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數，則樣本空間Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}，
其中共有16個樣本點．
(1)記“xy≤3”為事件A，
則事件A包含的樣本點個數為5，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為.
(2)記“xy≥8”為事件B，“3則事件B包含的樣本點個數為6，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的樣本點個數為5，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.因為>，
所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．
跟蹤訓練3　解　(1)所有樣本點包含(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正確，理由如下：
由(1)知，所有樣本點共12個，
其中摸出的2個球都是紅球的樣本點有(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4個，
所以中獎的概率為＝，不中獎的概率為1－＝，故不中獎的概率比較大．
隨堂演練
1．D　2.C　3.　4.

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