資源簡介

10.1.3　古典概型(一)
[學習目標]　
1.理解古典概型的概念及特點.
2.掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率計算問題的方法．
一、古典概型的定義
問題1　我們討論過彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗，它們的共同特征有哪些？
知識梳理　
一般地，若試驗E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的____________只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性________．
則稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
例1　下列概率模型是古典概型嗎？為什么？
(1)從區間[1,10]內任意取出一個實數，求取到實數2的概率；
(2)向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求正面朝上的概率；
(3)從1,2,3，…，100這100個整數中任意取出一個整數，求取到偶數的概率．
反思感悟　古典概型需滿足兩個條件
(1)樣本點總數有限．(有限性)
(2)各個樣本點出現的可能性相等．(等可能性)
跟蹤訓練1　(多選)下列試驗中是古典概型的是(　　)
A．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其正面或反面出現的情況
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取1個球
C．向一個圓面內隨機地投一個點，該點落在圓內任意一點
D．射擊運動員向一靶心進行射擊，觀察其環數
二、古典概型概率的計算
問題2　在擲骰子的試驗中，記事件A為“點數為偶數”，事件A包含哪些樣本點？事件A發生的概率是多少？
知識梳理　
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝________＝________.
例2　一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球．求：
(1)樣本空間的樣本點的總數n；
(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；
(3)摸出2個黑球的概率．
反思感悟　利用古典概型概率計算公式計算概率的步驟
(1)確定樣本空間的樣本點的總數n.
(2)確定所求事件A包含的樣本點的個數m.
(3)P(A)＝.
跟蹤訓練2　為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是________．
三、較復雜的古典概型的概率計算
例3　先后拋擲兩枚質地均勻的骰子．
(1)求點數之和為7的概率；
(2)求擲出兩個4點的概率；
(3)求點數之和能被3整除的概率．
反思感悟　在求概率時，若事件可以表示成有序數對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數．故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便．
跟蹤訓練3　某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．
(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；
(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．
1．知識清單：
(1)古典概型．
(2)古典概型的概率公式．
2．方法歸納：常用列舉法(列表法、樹狀圖)求樣本點的總數．
3．常見誤區：在列舉樣本點的個數時，要按照一定的順序，做到不重、不漏．
1．(多選)下列試驗是古典概型的是(　　)
A．在適宜的條件下種一粒種子，發芽的概率
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球為白球的概率
C．向一個正方形ABCD內部隨機地投一個點，該點落在A點的概率
D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率
2．在50瓶牛奶中，有5瓶已經過了保質期，從中任取一瓶，取到已經過保質期的牛奶的概率是(　　)
A．0.02 B．0.05 C．0.1 D．0.9
3．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數，則其和為5的概率是________．
10．1.3　古典概型(一)
問題1　樣本空間的樣本點是有限個，每個樣本點發生的可能性相等．
知識梳理
(1)樣本點　(2)相等
例1　解　(1)不是古典概型，因為區間[1,10]中有無限多個實數，取出的實數有無限多種結果，與古典概型定義中“樣本空間的樣本點只有有限個”矛盾．
(2)不是古典概型，因為硬幣不均勻導致“正面朝上”與“反面朝上”發生的可能性不相等，與古典概型定義中“每一個樣本點發生的可能性相等”矛盾．
(3)是古典概型，因為在試驗中樣本點是有限的，而且每個整數被抽到的可能性相等．
跟蹤訓練1　AB
問題2　A＝{2,4,6}．
對于拋擲骰子的試驗，出現各個點的可能性相同，記出現1點，2點，…，6點的事件分別為A1，A2，…，A6，則P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，所以P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝，P(A)＝＝.
知識梳理
　
例2　解　由于4個球的大小相同，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內摸出2個球，
樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共6個樣本點，
所以n＝6.
(2)事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3個樣本點．
(3)樣本點總數n＝6，事件“摸出2個黑球”包含的樣本點個數m＝3，
故P＝＝，即摸出2個黑球的概率為.
跟蹤訓練2　
例3　解　如圖所示，從圖中容易看出樣本點與所描點一一對應，共36個，且每個樣本點出現的可能性相等．
(1)記“點數之和為7”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的樣本點共有6個，分別為(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，
故P(A)＝＝.
(2)記“擲出兩個4點”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的樣本點只有1個，即(4,4)，
故P(B)＝.
(3)記“點數之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的樣本點共12個，分別為(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．
故P(C)＝＝.
跟蹤訓練3　解　(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個樣本點．
所選2個國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3個，
則所求事件的概率為P＝＝.
(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，樣本空間Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個樣本點．
包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點有
(A1，B2)，(A1，B3)，共2個，
則所求事件的概率為P＝.
隨堂演練
1．BD　2.C　3.C　4.0.2

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