資源簡介

10.1.4　概率的基本性質
[學習目標]　
1.理解概率的基本性質.
2.掌握利用互斥事件和對立事件的概率公式解決與古典概型有關的問題的方法．
一、概率的基本性質
問題1　在擲骰子試驗中，設事件A＝“點數小于7”，事件B＝“點數大于7”，事件C＝“點數大于1”．以上事件的概率是多少？你認為任意事件的概率的取值范圍是多少？
問題2　在擲骰子試驗中，設事件D＝“出現1點”，事件E＝“出現2點”，事件F＝“出現的點數小于3”．事件D與E有什么關系？事件D，E，F的概率分別是多少呢？它們的概率又有怎樣的關系？
問題3　在擲骰子試驗中，設事件H＝“出現的點數為奇數”，事件I＝“出現的點數為偶數”，事件H與事件I是什么關系呢？它們的概率有什么關系呢？
問題4　在擲骰子試驗中，事件E＝“出現2點”與事件I＝“出現的點數為偶數”是什么關系呢？它們的概率有什么關系呢？
知識梳理　
一般地，概率有如下性質：
性質1　對任意的事件A，都有P(A)________0.
性質2　必然事件的概率為________，不可能事件的概率為______，即P(Ω)＝________，P( )＝______.
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝________.
如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之______，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝__________.
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________.
性質5　如果A B，那么________．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝　　　　　　　　.
例1　(1)下列說法正確的個數是(　　)
①必然事件的概率等于1；
②隨機事件的概率可以等于1.1；
③不可能事件的概率是0.
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)拋擲兩枚硬幣，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“兩枚正面都不朝上”，則(　　)
A．P(A)＝P(B) B．P(A)>P(B)
C．P(A)1
反思感悟　(1)由于事件的樣本點數總是小于或等于試驗的樣本空間，所以任何事件的概率都在0～1之間，即0≤P(A)≤1.
(2)利用概率性質進行判斷，要注意每一條性質使用的條件，不能斷章取義．
跟蹤訓練1　若A，B為互斥事件，則(　　)
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
二、互斥事件與對立事件概率公式的應用
例2　為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料．若從一箱中隨機抽出2罐，則：
(1)恰有1罐中獎的概率為多少？
(2)能中獎的概率為多少？
反思感悟　互斥事件、對立事件的概率公式的應用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個非常重要的公式，運用該公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學會把一個事件拆分為幾個互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出結果．
(2)當直接計算符合條件的事件個數比較煩瑣時，可先計算出其對立事件的個數，求得對立事件的概率，然后利用對立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1(A與B互為對立事件)，求出符合條件的事件的概率．
跟蹤訓練2　某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
三、概率性質的綜合應用
例3　袋中有外形、質量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是.
(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；
(2)從中任取一球，求得到的不是紅球也不是綠球的概率．
反思感悟　求某些較復雜事件的概率，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率轉化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的對立事件的概率，再用公式求此事件的概率．這兩種方法可使復雜事件概率的計算得到簡化．
跟蹤訓練3　某公司三個分廠的職工情況為：第一分廠有男職工4 000人，女職工1 600人；第二分廠有男職工3 000人，女職工1 400人；第三分廠有男職工800人，女職工500人．如果從該公司職工中隨機抽取1人，求該職工為女職工或第三分廠的職工的概率．
1．知識清單：
(1)概率的基本性質．
(2)互斥事件概率公式的應用．
(3)對立事件概率公式的應用．
(4)概率性質的綜合應用．
2．方法歸納：轉化法、正難則反．
3．常見誤區：將事件拆分成若干個互斥的事件，易重復和遺漏．
1．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
2．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，如果P(A∩B)＝0，那么P(A∪B)等于(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
3．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次性隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．
4．已知兩個事件A與B互斥，記事件是事件B的對立事件，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，則P(A∪B)＝________.
10．1.4　概率的基本性質
問題1　P(A)＝1，P(B)＝0，P(C)＝.任意事件的概率的取值范圍為[0,1]．
問題2　事件D與E互斥．P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝.
P(D)＋P(E)＝P(F)．
問題3　事件H與事件I是對立事件．P(H)＝，P(I)＝，
P(H)＋P(I)＝1.
問題4　E I.P(E)知識梳理
≥　1　0　1　0P(A)＋P(B)　和　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)　1－P(A)　1－P(B)　P(A)≤P(B)　P(A)＋P(B)－P(A∩B)
例1　(1)C　(2)B
跟蹤訓練1　D
例2　解　(1)事件A＝“中獎”，事件B＝“恰有1罐中獎”，事件A1＝“第1罐中獎”，事件A2＝“第2罐中獎”，那么事件A1A2＝“2罐都中獎”，A12＝“第1罐中獎，第2罐不中獎”，
1A2＝“第1罐不中獎，第2罐中獎”，且B＝A12∪1A2，因為A12，1A2互斥，所以根據互斥事件的概率加法公式可得
P(B)＝P(A12)＋P(1A2)，
我們借助樹狀圖來求相應事件的樣本點數．
可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為n(Ω)＝6×5＝30，
且每個樣本點都是等可能的，因為
n(A12)＝8，n(1A2)＝8，所以
P(B)＝＋＝＝，
故恰有1罐中獎的概率為.
(2)因為A1A2，A12，1A2兩兩互斥，所以根據互斥事件的概率加法公式，可得
P(A)＝P(A1A2)＋P(A12)＋P(1A2)，由(1)可知樣本空間包含的樣本點個數為n(Ω)＝6×5＝30，
n(A1A2)＝2，n(A12)＝8，
n(1A2)＝8，
所以P(A)＝＋＋＝＝，故能中獎的概率為.
跟蹤訓練2　解　(1)由題意知，
P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎，設“1張獎券中獎”為事件M，
則M＝A∪B∪C.
因為A，B，C兩兩互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1張獎券的中獎概率為.
(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.
例3　解　(1)從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A，B，C，D，它們彼此互斥，
則P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
聯立
解得P(B)＝，P(C)＝，
P(D)＝，
故得到黑球、黃球、綠球的概率分別為，，.
(2)事件“得到紅球或綠球”可表示為A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝，
故得到的不是紅球也不是綠球的概率
P＝1－P(A∪D)＝1－＝.
跟蹤訓練3　解　記事件A為“抽取的為女職工”，記事件B為“抽取的為第三分廠的職工”，則A∩B表示“抽取的為第三分廠的女職工”，A∪B表示“抽取的為女職工或第三分廠的職工”，則有P(A)＝
＝，
P(B)＝
＝，
P(A∩B)＝
＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
隨堂演練
1．C　2.A　3.　4.0.7

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