資源簡介

習題課　古典概型的應用
[學習目標]　
1.熟練掌握古典概型求概率的方法.
2.能利用概率的性質，求解較復雜的概率問題．
一、“放回”與“不放回”問題
例1　一個盒子里裝有完全相同的10個小球，分別標上1,2,3，…，10這10個數字，現隨機地抽取兩個小球，如果(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的．求兩個小球上的數字為相鄰整數的概率．
反思感悟　抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題是否需要將被抽取的個體進行區分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點的總數有影響．另外，不放回抽取看作無序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取．
跟蹤訓練1　從數字1,2,3,4中，若是有放回地取出兩個數字，則其和為奇數的概率為________，若是不放回地取出兩個數字，其和為奇數的概率為________．
二、概率模型的多角度構建
例2　口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一個球．試計算第二個人摸到白球的概率．
反思感悟　當事件個數沒有很明顯的規律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖直觀地將其表示出來，這是進行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況．另外，如果試驗結果具有對稱性，可簡化結果以便于模型的建立與解答．
跟蹤訓練2　甲、乙、丙、丁四名學生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左邊的概率．
三、概率的綜合運用
例3　如表所示為某班的英語及數學成績，全班共有學生50人，成績分為1～5分五個檔次．設x，y分別表示英語成績和數學成績．表中所示英語成績為4分的學生共14人，數學成績為5分的共5人．
y/分 人數 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
跟蹤訓練3　在“六一”聯歡會上設有一個抽獎游戲．抽獎箱中共有12張紙條，分一等獎、二等獎、三等獎、無獎四種．從中任取一張，不中獎的概率為，中二等獎或三等獎的概率是.
(1)求任取一張，中一等獎的概率；
(2)若中一等獎或二等獎的概率是，求任取一張，中三等獎的概率．
1．知識清單：
(1)利用古典概型求解事件的概率．
(2)運用概率的性質求解事件的概率．
2．方法歸納：列舉法、間接法．
3．常見誤區：互斥事件的判斷、對立事件的判斷．
1．從三個白球和一個黑球中任意抽取兩球，分別采用有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣，抽到的兩球都是白球的概率分別是(　　)
A.， B.， C.， D.，
2．某超市收銀臺排隊等候付款的人數及其相應概率如下：
排隊人數X 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
則至少有兩人排隊的概率為(　　)
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
3．“<數”是指每個數字比其左邊的數字大的自然數(如1 469)．在兩位的“<數”中任取一個數，比36大的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為________．
習題課　古典概型的應用
例1　解　設事件A為“兩個小球上的數字為相鄰整數”．
則事件A包括的樣本點有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18個．
(1)不放回取球時，總的樣本點數為90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球時，總的樣本點數為100，故P(A)＝＝.
跟蹤訓練1　　
解析　有放回地取數的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16個樣本點，和為奇數的樣本點為(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8個，故所求概率P＝＝.
不放回地取數的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共12個樣本點，和為奇數的樣本點為{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)}，共8個樣本點，
故所求概率P＝＝.
例2　解　方法一　用A表示事件“第二個人摸到白球”，把2個白球編上序號1,2；2個黑球也編上序號1,2.于是，4個人按順序依次從袋中摸出一個球的所有樣本點，可用樹狀圖直觀地表示出來，如圖所示，
由圖可知，試驗的樣本點總數是24，由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，所以，這24個樣本點出現的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的樣本點有12個，
故第二個人摸到白球的概率
P(A)＝＝.
方法二　把2個白球編上序號1,2，兩個黑球也編上序號1,2,4個人按順序依次從袋中摸出一球，前兩人摸出的球的所有樣本點如圖所示，
由圖可知，試驗的樣本點總數是12，由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，所以這12個樣本點出現的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的樣本點有6個，
故第二個人摸到白球的概率
P(A)＝＝.
跟蹤訓練2　解　方法一　利用樹狀圖來列舉樣本點，如圖所示．
由樹狀圖可看出共有24個樣本點．設事件A＝“甲站在乙的左邊”，則A事件包含的樣本點為(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12個．所以甲站在乙的左邊的概率為
P＝＝.
方法二　因為要計算“甲站在乙的左邊的概率”，所以可以只考慮甲、乙兩個人排隊．所有樣本點為(甲乙)，(乙甲)，共2個，事件“甲站在乙的左邊”包含1個樣本點，即(甲乙)．所以甲站在乙的左邊的概率為P＝.
例3　解　(1)由數表知，x＝4的事件有14人，其概率為
P(x＝4)＝＝，
x＝4且y＝3的事件有7人，其概率為P(x＝4且y＝3)＝，x≥3的事件是x＝3的事件，x＝4的事件，x＝5的事件的和，它們互斥，而P(x＝3)＝＝，P(x＝5)＝＝，
因此，P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)
＝＋＋＝.
(2)x＝1的事件概率為P(x＝1)＝＝，x＝2的事件的對立事件是x＝1的事件與x≥3的事件的和，它們互斥，
則有P(x＝2)＝1－[P(x＝1)＋P(x≥3)]
＝1－－＝，
而P(x＝2)＝，
即有＝，
解得a＋b＝3，
所以x＝2的概率是，a＋b的值是3.
跟蹤訓練3　解　(1)設任取一張，中一等獎、二等獎、三等獎與不中獎的事件分別為A，B，C，D，它們是互斥事件．
由條件可得P(D)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
由對立事件的概率公式知
P(A)＝1－P(B∪C∪D)
＝1－P(B∪C)－P(D)
＝1－－＝，
∴任取一張，中一等獎的概率為.
(2)由題意得P(A∪B)＝，
而P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝－＝，
又P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
∴P(C)＝，
∴任取一張，中三等獎的概率為.
隨堂演練
1．A　2.D　3.A　4.

展開更多......

收起↑