資源簡介

第十章　概率 章末復習課
一、隨機事件的概率
1．通過具體實例，了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性．了解概率的意義及頻率與概率的區別．
2．掌握隨機事件概率的應用，提升數學抽象和數學運算素養．
例1　隨機抽取一個年份，對某市4月份的天氣情況進行統計，結果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估計該市在該天不下雨的概率；
(2)該市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．
反思感悟　(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率．
(2)概率是一個確定的常數，是客觀存在的，在實驗前已經確定，與試驗次數無關，可以用頻率估計概率．
跟蹤訓練1　電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；
(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化．假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，可以使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大(只需寫出結論)
二、互斥事件、對立事件與相互獨立事件
1．互斥事件是不可能同時發生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者必須有一個發生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況．
2．若事件A，B滿足P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨立，且當A與B相互獨立時，A與，與B，與也相互獨立．
3．掌握互斥事件和對立事件的概率公式、相互獨立事件的判斷方法及應用，提升邏輯推理和數學運算素養．
例2　(多選)甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再從乙罐中隨機取出1個球，以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是(　　)
A．事件A1，A2互斥
B．事件B與事件A1相互獨立
C．P(A1B)＝
D．P(B)＝
反思感悟　事件間的關系的判斷方法
(1)判斷事件間的關系時，可把所有的試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而斷定所給事件間的關系．
(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法．判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發生與否都是對于同一次試驗而言的，不能在多次試驗中判斷．
(3)判斷兩事件是否相互獨立，有兩種方法：①直接法；②看P(AB)與P(A)P(B)是否相等，若相等，則A，B相互獨立，否則不相互獨立．
跟蹤訓練2　有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
三、古典概型
1．古典概型是一種最基本的概率模型，是學習其他概率模型的基礎，解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應用公式P(A)＝時，關鍵在于正確理解試驗的發生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點總數n和事件A的樣本點個數k.
2．掌握古典概型的概率公式及其應用，提升數學抽象、數據分析的數學素養．
例3　某地教育研究中心為了調查該地師生對“高考使用全國統一命題的試卷”這一看法，對該市區部分師生進行調查，先將調查結果統計如下：
贊成 反對 合計
教師 120
學生 40
合計 280 120
(1)請將表格補充完整，若該地區共有教師30 000人，用頻率估計概率，試估計該地區教師反對“高考使用全國統一命題的試卷”這一看法的人數；
(2)先按照比例分配的分層隨機抽樣從“反對”的人中抽取6人，再從中隨機選出3人進行深入調研，求深入調研中恰有1名學生的概率．
反思感悟　在古典概型中，計算概率的關鍵是準確找到樣本點的數目，這就需要我們能夠熟練運用圖表和樹狀圖，把樣本點一一列出．而有許多試驗，它們的可能結果非常多，以至于我們不可能將所有結果全部列出，這時我們不妨找找其規律，算出樣本點的數目．
跟蹤訓練3　某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如表：(單位：人)
參加書法社團 未參加書法社團
參加演講社團 8 5
未參加演講社團 2 30
(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；
(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．
四、相互獨立事件概率的計算
1．相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經出現一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解．
2．掌握相互獨立事件的概率公式的應用，提升數學抽象和邏輯推理的數學素養．
例4　我國的乒乓球運動領先世界水平，被國人稱為“國球”，在某次團體選拔賽中，甲乙兩隊進行比賽，采取五局三勝制(即先勝三局的團隊獲得比賽的勝利)，假設在一局比賽中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．
(1)求這場選拔賽三局結束的概率；
(2)若第一局比賽乙隊獲勝，求這場選拔賽五局結束的概率．
反思感悟　解此類題的步驟如下
(1)標記事件．
(2)判斷事件的獨立性．
(3)分清所涉及的事件及事件狀態(互斥還是對立)．
(4)套用公式．
跟蹤訓練4　設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.
(1)分別求甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率；
(2)計算這一小時內至少有一臺機器需要照顧的概率．
章末復習課
例1　解　(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，在4月份任取一天，該市不下雨的概率約為P＝＝.
(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，
以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率約為.
跟蹤訓練1　解　(1)由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝
2 000，
第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25＝50.
故所求概率為＝0.025.
(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝372.
故所求概率估計為1－＝0.814.
(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率．
例2　ACD　[根據題意畫出樹狀圖，得到有關事件的樣本點數，
所以事件A1，A2不可能同時發生，故彼此互斥，故A正確；
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，P(A1B)＝＝，故C正確，D正確；
因為P(A1B)＝，
P(A1)P(B)＝×＝，
則P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B與事件A1不獨立，故B錯誤．]
跟蹤訓練2　B　[事件甲發生的概率P(甲)＝，事件乙發生的概率P(乙)＝，事件丙發生的概率P(丙)＝＝，事件丁發生的概率P(丁)＝＝.事件甲與事件丙同時發生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發生的概率為＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發生的概率為＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．]
例3　解 　(1)表格補充如下：
贊成 反對 合計
教師 120 80 200
學生 160 40 200
合計 280 120 400
故可以估計該地區教師反對“高考使用全國統一命題的試卷”這一看法的人數為30 000
×＝12 000.
(2)由比例分配的分層隨機抽樣可知，所抽取的6人中有2名學生，記為a，b；4名教師記為1,2,3,4.隨機選出3人進行深入調研，不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20種，
恰有1名學生的選法有(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共12種，
故深入調研中恰有1名學生的概率
P＝＝.
跟蹤訓練3　解　(1)由調查數據可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，
故至少參加上述一個社團的有
45－30＝15(人)，
所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率
P＝＝.
(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共包含15個樣本點．
根據題意，這些樣本點出現的可能性相等．事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的樣本點有A1B2，A1B3，共2個．
所以其概率P＝.
例4　解　(1)設“第i局甲勝”為事件Ai，“第j局乙勝”為事件Bj(i，j＝1,2,3,4,5)，
記M1＝“三局結束比賽”，
則M1＝A1A2A3＋B1B2B3，
∴P(M1)＝P(A1A2A3)＋P(B1B2B3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(B1)P(B2)P(B3)
＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4
＝0.28.
(2)記M2＝“五局結束比賽”，則M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋B2A3A4，
∴P(M2)＝P(A2A3B4)＋P(A2B3A4)＋P(B2A3A4)
＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6
＝0.432.
跟蹤訓練4　解　記甲、乙、丙三臺機器在某一小時內需要照顧分別為事件A，B，C，則A，B，C相互獨立．
(1)由題意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，
P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率分別為0.2,0.25,0.5.
(2)∵A，B，C相互獨立，
∴，，相互獨立，
∴甲、乙、丙每臺機器在一個小時內都不需要照顧的概率為
P()＝P()P()P()＝0.8×0.75×0.5＝0.3，
∴這一小時內至少有一臺機器需要照顧的概率為
P＝1－P()＝1－0.3＝0.7.

展開更多......

收起↑