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§10.3　頻率與概率
[學習目標]　
1.理解概率的意義以及頻率與概率的區別與聯系.
2.能初步利用概率知識解釋現實生活中的概率問題.
3.了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬估計概率．
一、頻率的穩定性
問題1　利用計算機模擬拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，在重復試驗次數為20,100,500時各做5組試驗，得到事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A)，結果如表所示：
序號 n＝20 n＝100 n＝500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
你能計算出事件A發生的概率嗎？頻率與概率有什么關系？
知識梳理　
1．一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸________于事件A發生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的________性．因此，我們可以用頻率fn(A)________概率P(A)．
2．概率是一個確定的數，與每次的試驗無關．
例1　(1)(多選)下列說法中正確的有(　　)
A．任何事件發生的概率總是在[0,1]之間
B．概率是隨機的，在試驗前不能確定
C．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關
D．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值
(2)對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測的數據如下：
抽取臺數 50 100 200 300 500 1 000
優等品數 40 92 192 285 478 954
①根據表中數據分別計算6次試驗中抽到優等品的頻率；
②該廠生產的電視機為優等品的概率約是多少？
反思感悟　(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率．
(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定．
(3)概率是一個確定的常數，是客觀存在的，在試驗前已經確定，與試驗次數無關．
跟蹤訓練1　某射擊選手在同一條件下進行射擊，結果如表所示：
射擊次數n 10 20 50 100 200 500
擊中靶心次數m 8 19 44 92 178 455
擊中靶心的頻率
(1)填寫表中擊中靶心的頻率；
(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約為多少？
二、游戲公平性的判斷
例2　某校高二年級(1)(2)班準備聯合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行，每個節目開始時，兩班各派一人先進行轉盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節目．(1)班的文娛委員利用分別標有數字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉盤(如圖所示)，設計了一種游戲方案：兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數字相加，和為偶數時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公平？為什么？
跟蹤訓練2　下面有兩個游戲規則，袋子中分別裝有紅球和白球，從袋中無放回地取球，分別計算甲獲勝的概率，并說明哪個游戲是公平的？
游戲一 游戲二
2個紅球和2個白球 3個紅球和1個白球
取1個球，再取1個球 取1個球，再取1個球
取出的兩個球同色→甲勝 取出的兩個球同色→甲勝
取出的兩個球不同色→乙勝 取出的兩個球不同色→乙勝
三、用隨機模擬估計概率
問題2　用頻率估計概率，需要做大量的重復試驗，有沒有其他方法可以替代試驗呢？
知識梳理　
1．利用隨機模擬試驗，只適用于試驗結果是有限個的情形．
2．利用隨機模擬試驗，關鍵是建立好適當的模型．
3．利用隨機模擬的方法估算概率的步驟：一是建立概率模型；二是進行模擬試驗；三是統計計算，隨著模擬的數量的不斷增加，模擬結果就越來越接近概率．
例3　天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1,2,3,4,5,6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數為180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　用隨機模擬法求事件概率的方法
在使用整數隨機數進行模擬試驗時，首先要確定隨機數的范圍和用哪個代表試驗結果．
(1)試驗的基本結果是等可能的時，樣本空間即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點．
(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數．
跟蹤訓練3　袋子中裝有四個小球，分別寫有“中”“華”“民”“族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止．用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產生0到3之間的整數隨機數，分別用0,1,2,3代表“中”
“華”“民”“族”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為________．
1．知識清單：
(1)概率與頻率的關系．
(2)用頻率估計概率．
(3)用隨機模擬估計概率．
2．常見誤區：頻率與概率的關系易混淆．
1．“某彩票的中獎概率為”意味著(　　)
A．買1 000張彩票就一定能中獎
B．買1 000張彩票中一次獎
C．買1 000張彩票一次獎也不中
D．購買一張彩票中獎的可能性是
2．用隨機模擬方法估計概率時，其準確程度取決于(　　)
A．產生的隨機數的大小
B．產生的隨機數的個數
C．隨機數對應的結果
D．產生隨機數的方法
3．在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質地均勻的硬幣做了1 000次試驗，發現正面朝上出現了560次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為(　　)
A．0.56,0.56
B．0.56,0.5
C．0.5,0.5
D．0.5,0.56
4．已知隨機事件A發生的頻率是0.02，事件A出現了10次，那么共進行了________次試驗．
§10.3　頻率與概率
問題1　(1)試驗次數n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性．
(2)從整體來看，頻率在概率0.5附近波動．當試驗次數較少時，波動幅度較大；當試驗次數較多時，波動幅度較小，但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大．
知識梳理
1．穩定　穩定　估計
例1　(1)AD
(2)解　①抽到優等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96，0.95,0.956，0.954.
②由表中數據可估計優等品的概率約為0.95.
跟蹤訓練1　解　(1)表中依次填入的數據為：0.8,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于頻率穩定在常數0.9附近，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.
例2　解　該方案是公平的，理由如下：
各種情況如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知該游戲可能出現的情況共有12種，其中兩數字之和為偶數的有6種，為奇數的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝＝，(2)班代表獲勝的概率P2＝＝，即P1＝P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的．
跟蹤訓練2　解　在游戲一中，取出的兩個球同色的概率為
×＋×＝，
取出的兩個球不同色的概率為×＋×＝，所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，因此游戲一中的規則不公平．
游戲二中，取出的兩個球同色的概率為×＝，
取出的兩個球不同色的概率為×＋×＝，所以甲、乙獲勝的概率均為，因此游戲二中的規則是公平的．
問題2　利用計算器或計算機軟件可以產生隨機數．實際上，我們也可以根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了．
例3　B　跟蹤訓練3　
隨堂演練
1．D　2.B　3.B　4.500

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