資源簡介

§10.2　事件的相互獨立性(二)
[學習目標]　
1.掌握事件相互獨立的定義.
2.會求相互獨立事件的概率．
一、相互獨立事件乘法公式的應用
例1　甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是.
(1)分別求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙中恰有一個人做對這道題的概率．
跟蹤訓練1　甲、乙、丙三人打靶，他們的命中率分別為p1，p2，，若三人同時射擊一個目標，甲、丙擊中目標而乙沒有擊中目標的概率為，乙擊中目標而丙沒有擊中目標的概率為.設事件A表示“甲擊中目標”，事件B表示“乙擊中目標”，事件C表示“丙擊中目標”．已知A，B，C是相互獨立事件．
(1)求p1，p2；
(2)寫出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C發生的概率．
二、相互獨立事件的綜合應用
例2　某籃球場有A，B兩個定點投籃位置，每輪投籃按先A后B的順序各投1次，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分．設球員甲在A點投中的概率為p，在B點投中的概率為q，其中0(1)求p，q的值；
(2)求甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率．
反思感悟　求較復雜事件的概率的一般步驟
(1)列出題中涉及的各個事件，并且用適當的符號表示．
(2)理清事件之間的關系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立的)，列出關系式．
(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算．
(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
跟蹤訓練2　11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．已知甲、乙兩位同學進行11分制乒乓球比賽，雙方10∶10平后，甲先發球，甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．
(1)求事件“兩人又打了2個球比賽結束”的概率；
(2)求事件“兩人又打了4個球比賽結束且甲獲勝”的概率．
三、統計與事件相互獨立性的綜合應用
例3　某中學在2022年高考分數公布后對高三年級各班的成績進行分析．經統計，某班有50名同學，總分都在區間[600,700]內，將得分區間平均分成5組，統計頻數、頻率后，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計該班級的平均分；
(2)經過相關部門的計算，本次高考總分不低于680分的同學可以獲得高校T的“強基計劃”入圍資格．高校T的“強基計劃”校考分為兩輪．第一輪為筆試，所有入圍同學都要參加，考試科目分為數學和物理，每科的筆試成績從高到低依次有A＋，A，B，C四個等級，兩科中至少有一科得到A＋，且兩科均不低于B，才能進入第二輪面試．已知入圍的同學參加第一輪筆試時，總分高于690分的同學在每科筆試中取A＋，A，B，C的概率分別為，，，；總分不高于690分的同學在每科筆試中取得A＋，A，B，C的概率分別為，，，；進入第二輪面試的同學，若兩科筆試成績均為A＋，則免面試，并被高校T提前錄取；若兩科筆試成績只有一個A＋，則要參加面試，總分高于690分的同學面試“通過”的概率為，總分不高于690分的同學面試“通過”的概率為，面試“通過”的同學也將被高校T提前錄取．若該班級本次高考總分不低于680分的同學都報考了高校T的“強基計劃”，且恰有1人成績高于690分．求：
①總分高于690分的這位同學進入第二輪面試的概率P1；
②該班恰有1名同學通過“強基計劃”被高校T提前錄取的概率P2.
反思感悟　(1)用恰當的字母表示題中的事件．
(2)根據題設條件，分析事件間的關系．
(3)利用公式求出事件的概率．
跟蹤訓練3　某學校為了解高一新生的體質健康狀況，對學生的體質進行了測試．現從男、女生中各隨機抽取20人，把他們的測試數據按照《國家學生體質健康標準》整理成下表．規定：總分大于等于60，體質健康等級為合格．
等級 總分 男生人數 男生平均分 女生人數 女生平均分
優秀 [90,100] 5 91.3 2 91
良好 [80,89.9] 4 83.9 4 84.1
合格 [60,79.9] 8 70 11 70.2
不合格 60以下 3 49.6 3 49.1
總計 — 20 — 20 —
(1)從樣本中隨機選取一名學生，求這名學生體質健康等級是合格的概率；
(2)從男生樣本和女生樣本中各隨機選取一人，求恰有一人的體質健康等級是優秀的概率．
1．知識清單：
(1)相互獨立事件概率的計算．
(2)相互獨立事件的綜合應用．
(3)相互獨立事件與統計的綜合應用．
2．方法歸納：構造方程(組)、正難則反思想．
3．常見誤區：相互獨立事件與互斥事件易混淆．
1．從高中應屆生中選飛行員，已知這批學生體形合格的概率為，視力合格的概率為，其他綜合標準合格的概率為，三項標準互不影響，從中任選一學生，則三項均合格的概率為(　　)
A. B. C. D.
2．對于兩個相互獨立的事件A與B，若P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，則P(A)等于(　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.12 D．0.18
3．一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產品的正品率為(　　)
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
4．某天上午，李明要參加“青年文明號”活動．為了準時起床，他用A，B兩個鬧鐘叫醒自己．假設A鬧鐘準時響的概率是0.8，B鬧鐘準時響的概率是0.9，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________．
§10.2　事件的相互獨立性(二)
例1　解　(1)設甲、乙、丙三人各自做對這道題分別為事件A，B，C，
則P(A)＝，由題意得
解得或
所以乙、丙兩人各自做對這道題的概率分別為和或和.
(2)設“甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題”為事件D，
則P(D)＝P(A)P()P()＋
P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝＋＋＝.
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為.
跟蹤訓練1　解　(1)由題意知
P(A)＝p1，P(B)＝p2，P(C)＝，
因為A，B，C為相互獨立事件，
所以甲、丙擊中目標而乙沒有擊中目標的概率為
P(AC)＝P(A)P()P(C)
＝p1(1－p2)＝，①
乙擊中目標而丙沒有擊中目標的概率為
P(B)＝P(B)P()＝p2＝，②
聯立①②，解得p1＝，p2＝.
(2)事件A∪B∪C包含的互斥事件有ABC，BC，AC，AB，C，
A，B，
P(A∪B∪C)＝1－P()
＝1－××＝1－＝.
例2　解　(1)由題意得解得
(2)每輪投籃結束后，甲得分可能為0,2,3,5.
記甲第一輪投籃得i分為事件Ci(i＝0,2,3,5)，第二輪投籃得i分為事件Di(i＝0,2,3,5)，則P(Ci)＝P(Di)，Ci，Di相互獨立，
記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，
則E＝C3D5＋C5D3＋C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥．
易得P(C3)＝P(D3)
＝×＝，
P(C5)＝P(D5)＝×＝，
所以P(E)＝P(C3D5＋C5D3＋C5D5)＝P(C3D5)＋P(C5D3)＋P(C5D5)
＝×＋×＋×＝.
所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.
跟蹤訓練2　解　設雙方10∶10平后的第k個球甲獲勝為事件Ak(k＝1,2,3，…)，又打了X個球比賽結束，
(1)P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12)＝P(A1)P(A2)＋P(1)P(2)
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)P(X＝4且甲獲勝)＝P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4)
＝P(A1)P(2)P(A3)P(A4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
例3　解　(1)根據頻率分布直方圖，可知平均分為
＝(610×0.004＋630×0.01＋650×0.02＋670×0.014＋690×0.002)×20＝650.
(2)總分不低于680分的同學有50×0.04＝2(人)，由已知，其中有1人總分不高于690分，1人總分高于690分．
①P1＝P(A＋A＋＋A＋A＋A＋B)＝2＋2××＋2××＝＋＋＝，
因此，總分高于690分的這位同學進入第二輪面試的概率P1＝.
②設總分高于690分的同學被高校T提前錄取為事件M，總分不高于690分的同學被高校T提前錄取為事件N，則
P(M)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B)＝2＋×
＝，
P(N)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B)＝2＋×
＝＋×＝，
P2＝×＋×
＝，
因此該班恰有1名同學通過“強基計劃”被高校T提前錄取的概率
P2＝.
跟蹤訓練3　解　(1)樣本中體質健康等級是合格的學生人數為5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，樣本總數為20＋20＝40，
所以這名學生體質健康等級是合格的概率為＝.
(2)設事件A為“從男生樣本中隨機選出一人，其體質健康等級是優秀”，事件B為“從女生樣本中隨機選出一人，其體質健康等級是優秀”，
則P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因為A，B為相互獨立事件，
所以所求概率為
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)
＝×＋×
＝.
隨堂演練
1．B　2.D　3.C　4.0.98

展開更多......

收起↑