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§10.2　事件的相互獨立性(一)
[學習目標]　
1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念.
2.能利用相互獨立事件同時發生的概率公式解決一些簡單的實際問題．
一、相互獨立事件的概念
問題1　分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”．計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發現？
知識梳理　
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
例1　判斷下列事件是否為相互獨立事件：
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”．
反思感悟　兩個事件是否相互獨立的判斷
(1)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A，B為相互獨立事件．
跟蹤訓練1　一個不透明的口袋內裝有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍的3個球．
(1)從口袋內有放回地抽取2個球，記事件A＝“第一次抽到紅球”，B＝“第二次抽到黃球”；
(2)從口袋內無放回地抽取2個球，記事件A＝“第一次抽到紅球”，B＝“第二次抽到黃球”．
試分別判斷(1)(2)中的事件A，B是否為相互獨立事件．
二、相互獨立事件的性質
問題2　互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關系. 如果事件A 與事件B 相互獨立， 那么它們的對立事件是否也相互獨立？ 以課本實驗2有放回摸球試驗為例， 分別驗證A與，與B，與是否獨立，你有什么發現？
知識梳理　
1．如果事件A與事件B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的乘積．
例2　(多選)設M，N為兩個隨機事件，給出以下命題正確的是(　　)
A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，則M，N為相互獨立事件
B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，則M，N為相互獨立事件
C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，則M，N為相互獨立事件
D．若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，則M，N為相互獨立事件
反思感悟　互斥事件與相互獨立事件都描述了兩個事件間的關系，但互斥事件強調不可能同時發生，相互獨立事件則強調一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響．
跟蹤訓練2　若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則事件A與B的關系是(　　)
A．事件A與B互斥
B．事件A與B對立
C．事件A與B相互獨立
D．事件A與B既互斥又相互獨立
三、相互獨立事件概率的計算
例3　某校團委舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．
(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？
(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．
反思感悟　(1)求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的．
②求出每個事件的概率，再求積．
(2)使用相互獨立事件同時發生的概率公式計算時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．
跟蹤訓練3　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，兩人能否破譯密碼相互獨立，求兩人破譯時，以下事件發生的概率：
(1)兩人都能破譯的概率；
(2)恰有一人能破譯的概率；
(3)至多有一人能破譯的概率．
1．知識清單：
(1)相互獨立事件的判斷．
(2)相互獨立事件概率的計算．
2．方法歸納：列舉法、定義法．
3．常見誤區：對事件是否相互獨立判斷錯誤．
1．擲一枚正方體骰子一次，設事件A＝“出現偶數點”，事件B＝“出現3點或6點”，則事件A，B的關系是(　　)
A．互斥但不相互獨立
B．相互獨立但不互斥
C．互斥且相互獨立
D．既不相互獨立也不互斥
2．一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，則兩根保險絲都熔斷的概率為(　　)
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
3．甲、乙去同一家藥店購買一種醫用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫用外科口罩，甲、乙購買A，B，C三種醫用口罩的概率分別如表：
購買A種醫用外科口罩 購買B種醫用外科口罩 購買C種醫用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
則甲、乙購買同一種醫用外科口罩的概率為(　　)
A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32
4．加工某一零件需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為，，，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．
§10.2　事件的相互獨立性(一)
問題1　用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4個等可能的樣本點．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得
P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝.
于是P(AB)＝P(A)P(B)．
例1　解　(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生對“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發生沒有影響，所以它們是相互獨立事件．
(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發生，則后一事件發生的概率為，可見，前一事件是否發生對后一事件發生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件．
跟蹤訓練1　解　(1)有放回地抽取小球，事件A是否發生對事件B是否發生沒有影響，它們是相互獨立事件．
(2)無放回地抽取小球，記紅、黃、藍球的號碼分別為1,2,3，則樣本空間
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，共包含6個樣本點，
A＝{(1,2)，(1,3)}，
B＝{(1,2)，(3,2)}．
因為P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不是相互獨立事件．
問題2　對于A與，因為A＝AB∪A，而且AB與A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，
所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事件的獨立性定義，A與相互獨立．類似地，可以證明事件與B，與也都相互獨立．
例2　ABD　[若P(M)＝，
P(N)＝，P(MN)＝，
則P(MN)＝P(M)P(N)，
則M，N為相互獨立事件，故A正確；
若P()＝，P(N)＝，
P(MN)＝，
則P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)P(N)，
則M，N為相互獨立事件，故B正確；
若P(M)＝，P()＝，
則P(N)＝1－P()＝，
P(MN)＝×＝≠，
則M，N不是相互獨立事件，故C錯誤；
若P(M)＝，P(N)＝，
P()＝，
則P(MN)＝1－P()＝
＝P(M)P(N)，
則M，N為相互獨立事件，故D正確．]
跟蹤訓練2　C
例3　解　(1)記事件A1表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件A2表示“甲在第二輪比賽中勝出”，
事件B1表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件B2表示“乙在第二輪比賽中勝出”，
所以A1A2表示“甲贏得比賽”，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)
＝×＝，
B1B2表示“乙贏得比賽”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，
因為<，所以派乙參賽贏得比賽的概率更大．
(2)記C表示“甲贏得比賽”，D表示“乙贏得比賽”，
由(1)知P()＝1－P(A1A2)
＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
所以C∪D表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，
P(C∪D)＝1－P( )
＝1－P()P()＝1－×＝，
所以兩人中至少有一人贏得比賽的概率為.
跟蹤訓練3　解　記事件A為“甲獨立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨立地破譯出密碼”．
(1)兩個人都破譯出密碼的概率為
P(AB)＝P(A)P(B)
＝×＝.
(2)恰有一人破譯出密碼分為兩類：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝.
(3)至多有一人破譯出密碼的對立事件是兩人都破譯出密碼，
∴其概率為
1－P(AB)＝1－＝.
隨堂演練
1．B　2.B　3.B　4.

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