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第七節 指數函數（講）（2）
第七節 指數函數（講）（2）
考向一 指數型函數圖象的判斷
1．已知，，，，則在同一平面直角坐標系內，它們的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【類題通法】識別與指數函數圖象有關問題的策略
考向 二指數型函數圖象過定點問題
3．函數（其中，）的圖象恒過的定點是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】指數類函數的圖象過定點
解指數類函數的圖象過定點的步驟：
①令指數，解出x，即為定點橫坐標.
②將①中解出的x代入函數中解出函數值，即為定點縱坐標.
考向 三指數函數圖象應用
5．已知定義在R上的偶函數滿足，當時，，函數（），則函數與函數的圖象的所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（多選）已知函數（且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）

A． B． C． D．
7．函數的圖象與直線有兩個不同的交點，則的取值范圍為 .
【類題通法】指數函數圖象的應用問題的求解方法
【微點解讀】求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.有時需要用換元法將內外層函數分開來依次分析函數的性質.
8．已知為偶函數，為奇函數，且滿足.若存在，使得不等式有解，則實數的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．-1
9．已知函數，若關于的方程至少有8個不等的實根，則實數的取值不可能為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．函數的最小值為 ．
11．設，當時，恒成立，則實數的取值范圍是 .
【微點解讀】對于生活中像物種繁殖、GDP變化、存款利率等這種隨著自變量的增大，函數值變化速度越來越快的現象都可以用指數函數模型來模擬，進而追溯過往或分析未來.
12．要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內都含有微量的放射性．動植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產生，且原來的會自動衰變．經過5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現用放射性碳法測得某古物中含量占原來的，推算該古物約是年前的遺物（參考數據：），則實數的值為（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
13．我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇．在室內二氧化碳含量的多少也會對人體健康帶來影響．下表是室內二氧化碳濃度與人體生理反應的關系：
室內二氧化碳濃度（單位：） 人體生理反應
不高于 空氣清新，呼吸順暢
空氣渾濁，覺得昏昏欲睡
感覺頭痛，嗜睡，呆滯，注意力無法集中
大于 可能導致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死亡
《室內空氣質量標準》和《公共場所衛生檢驗辦法》給出了室內二氧化碳濃度的國家標準為：室內二氧化碳濃度不大于（即為），所以室內要經常通風換氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標準值．經測定，某中學剛下課時，一個教室內二氧化碳濃度為，若開窗通風后二氧化碳濃度與經過時間（單位：分鐘）的關系式為，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要開窗通風時間至少約為（參考數據：，）（ ）
A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘
14．凈水機常采用分級過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質．假設每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，過濾前水中大顆粒雜質含量為，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過，則PP棉濾芯層數最少為（ ）（參考數據：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度應小于等于．經測定，剛下課時，某教室空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度，且隨時間（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數據：）（ ）
A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘
16．當x>0時，函數的值總大于1，則實數a的取值范圍是（　　）
A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|<
17．在同一坐標系內，函數的圖象關于
A．原點對稱 B．x軸對稱 C．y軸對稱 D．直線y=x對稱
18．已知函數，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．(多選)若函數(,且)的圖像經過第一、三、四象限，則下列選項中正確的有
A． B． C． D．
20．函數y=ax+2-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據指數函數的單調性及圖像特征進行比較，即可判斷.
【詳解】與是增函數，與是減函數，在第一象限內作直線，
該直線與四條曲線交點的縱坐標的大小對應各底數的大小，易知：選A．
故選：A
2．A
【分析】函數為奇函數，排除BD，計算，排除C，得到答案.
【詳解】由題可得，的定義域為，，
故函數為奇函數，排除BD；
，，，排除C，
故選：A．
3．B
【分析】令可得定點.
【詳解】令，即，得，
函數（其中，）的圖象恒過的定點是.
故選：B.
4．D
【分析】根據指數型函數的定點求解，代入后再求解一元二次不等式.
【詳解】當時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.
故選：D
5．B
【分析】由函數的性質可得：的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數（）的圖像也關于對稱，由函數圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.
【詳解】由偶函數滿足，
可得的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，
函數（）的圖像也關于對稱，
函數的圖像與函數（）的圖像的位置關系如圖所示，
可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，
則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.
故選：B
【點睛】本題主要考查了函數的性質，考查了數形結合的思想，掌握函數的性質是解題的關鍵，屬于中檔題.
6．ABD
【分析】根據函數圖象可得出、的取值范圍，利用指數函數的基本性質可判斷ACD選項，利用不等式的基本性質可判斷B選項.
【詳解】由圖象可知，函數（且）在上單調遞增，則，
且當時，，可得.
對于A選項，，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，由題意可知，，則，所以，，D對.
故選：ABD.
7．（0,1）
【分析】根據解析式可得到圖象，利用數形結合即可得到結果.
【詳解】圖象如下圖所示：

由圖象可知，若與有兩個不同的交點，則
本題正確結果：
【點睛】本題考查根據交點個數求解參數范圍的問題，常采用數形結合的方式來進行求解.
8．A
【解析】由題意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分離參數法，可得轉化為求函數的最值，求出函數的最大值即可.
【詳解】為偶函數，為奇函數，且①
②
①②兩式聯立可得，.
由得，
∵在為增函數，
∴，
故選：A.
【點睛】本題主要考查函數奇偶性的應用、考查了不等式存在有解問題以及函數的單調性求最值，注意分離參數法的應用，此題屬于中檔題.
9．AD
【分析】對方程變形，因式分解得到或，畫出的圖象，結合圖象特點，對進行分類討論，求出答案.
【詳解】由，得，
解得或，
作出的圖象如圖所示，
若，則或，
設，由，得，此時或.
當時，，有2個不等的實根;
當時，，有2個不等的實根，所以有4個不等的實根，
若原方程至少有8個不等的實根，則必須有且至少有4個不等實根，
若，由，得或有1個根，有3個不等的實根，此時有4個不等的實根，滿足題意;
若，由，得有1個根，不滿足題意;
若，由，得有1個根，不滿足題意;
若，由，得或或，
當有1個根，
當時，有3個不等的實根，
當時，有3個不等的實根，
此時共有7個不等的實根，滿足題意.
綜上實數的取值范圍為
.故選：AD.
【點睛】復合函數零點個數問題處理思路：①利用換元思想，設出內層函數；②分別作出內層函數與外層函數的圖象，分別探討內外函數的零點個數或范圍；③內外層函數相結合確定函數交點個數，即可得到復合函數在不同范圍下的零點個數.
10．##0.5
【分析】對函數變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】定義域為，
因為，
由基本不等式可得：，
當且僅當，即時，等號成立，
在同一坐標系內畫出與，可知，使得，
故的最小值為.
故答案為：
11．
【分析】根據題意把不等式轉化為即，結合函數的單調性和奇偶性，得到在上恒成立，根據二次函數的性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數，
根據指數函數的圖象與性質，可得函數是上的單調遞增函數，
且滿足，所以函數為奇函數，
因為，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
則滿足，即，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
12．B
【分析】設每年的衰變率為，古物中原的含量為，然后根據半衰期，建立方程，將已知條件帶入取對數，利用對數性質運算即可.
【詳解】設每年的衰變率為，古物中原的含量為，
由半衰期，得．
所以，即．
由題意，知，即．
于是．
所以．
故選：B．
13．A
【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得結果.
【詳解】由題意可知，當時，，可得，則，
由，可得，
故該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要開窗通風時間至少約為分鐘.
故選：A.
14．B
【分析】根據題意建立函數模型，解函數不等式即可.
【詳解】設過濾后水中大顆粒雜質含量為，則經過層過濾后，滿足，，
若要滿足過濾后水中大顆粒雜質含量不超過，
則，即，
∵在區間上單調遞增，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴的最小值為，
∴PP棉濾芯層數最少為.
故選：B.
15．C
【分析】當時，可求得的值，然后解不等式，求出的范圍，即可得解.
【詳解】由題意可知，當時，由，可得，所以，，
由可得，解得（分鐘），
因此，該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為分鐘.
故選：C.
16．C
【分析】根據x>0時，函數的值總大于1，求解.
【詳解】解：因為當x>0時，函數的值總大于1，
所以，則，
解得，
故選：C.
17．C
【詳解】因為，所以兩個函數的圖象關于y軸對稱，故選C．
18．B
【解析】先將函數化成分段函數的形式，再根據函數在不同范圍上的性質可得正確的選項.
【詳解】易知函數的圖象的分段點是，且過點，，又，
故選：B．
【點睛】本題考查函數圖象的識別，此類問題一般根據函數的奇偶性、單調性、函數在特殊點處的函數的符號等來判別，本題屬于基礎題.
19．AD
【分析】根據指數型函數的圖象分布列式可解得.
【詳解】因為函數 (,且)的圖像經過第 一、三、四象限，所以其大致圖像如圖所示:

由圖像可知函數為增函數，所以.當時，，
故選AD.
【點睛】本題考查了指數函數的圖象,屬于基礎題.
20．(-2,0)
【詳解】分析：利用即可得出.
詳解：令，則函數，
函數的圖象必過定點.
故答案為.
點睛：本題考查了指數函數的性質和，屬于基礎題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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