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第二章 函數的概念與性質 第六節 指數式、對數式的運算（講）
第六節 指數式、對數式的運算
一.課標要求，準確定位
1．通過對有理數指數冪（a>0，m，n為正整數，且n>1）、實數指數冪ax（a>0，x∈R）含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質．
2．理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數．
3．理解指數對數的聯系與互化.
二.考情匯總，名師解讀
高考對于指數式和對數式運算的考查主要是融合他科知識以選擇、填空的形式出現，運用指、對運算性質即可解決；對于指數式、對數式比大小，大多涉及指數函數、對數函數的單調性.
【二級結論】
1.立方和差公式：;
2.;
3.;
4. ＝log ab;
5.對數換底公式：log ab＝（a>0，a≠1；b>0；c>0，且c≠1）;
6.對數恒等式：＝N（a>0，a≠1，N>0）.
核心考點1 指數式的運算
1．已知，，化簡得（ ）
A． B． C． D．
2．設，，，且，則下列等式中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．計算：①＝ .
②＝ .
核心考點2 對數式的運算
4．計算（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5． ．
核心考點3 指數式與對數式的互化
6．若，則的值為（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經過（ ）天．（參考數據：，，）
A．9 B．15 C．25 D．35
考向一 根式的化簡求值
8． ．
9．若，則 .
考向二 分數指數冪與根式的互化
10．下列各式中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
11．化簡：= ．（用分數指數冪表示）.
考向三 指數冪的運算
12．化簡的結果為（　　）
A． B． C． D．
13．若，且，當時，則一定有（ ）
A． B．
C． D．
14． .
【類題通法】
指數冪運算的一般原則
考向一 對數的判斷與求值
15．若函數f（x）是奇函數，當時，，則（ ）
A．2 B．-2 C． D．
16．已知是正項等比數列，且，則 ．
考向二 利用對數概念求參
17．函數的零點為 ．
18．已知x滿足式子，求x.
【類題通法】
1.對含字母的對數式一定要注意隱含條件：真數大于0，底數大于0且不等于1.
2.留意題意中的隱藏信息，比喻出現零點時想到.
3.并不是所有指數式都有對應的對數式.
考向一 基本運算性質化簡求值
19．設，，則　　
A． B． C． D．
20．計算：
(1);
(2)
考向二 換底公式的應用
21．已知，，，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
22．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
23．設，求證：.
【類題通法】對數式化簡與求值的策略
【微點解讀】指數式與對數式的互化（a>0且a≠1，N>0）：
對數由指數轉化而來，則底數a、指數或對數b、冪或真數N的范圍不變，只是位置和名稱發生了改變.
對數恒等式：＝N（a>0，a≠1，N>0）.
24．已知a是方程的解，b是方程的解，則為（ ）
A． B． C．3 D．
25．已知函數，，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C．，e） D．
26．設實數，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為 ．
【微點解讀】
1.生物學科細胞有絲分裂、物種繁殖；物理學科核衰變聚變；化學學科物質濃度；地理學科地震震級研究等等都涉及數學指數型與對數型數據.
2.學科融合題解題程序：讀題（文字語言） 建模（數學語言） 求解（數學應用） 反饋（檢驗作答）.
27．已知一種放射性元素最初的質量是500g，按每年10%衰減，則可求得這種元素的半衰期（質量變到原有質量一半所需的時間）為（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，結果精確到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
28．某科技研發公司2021年全年投入的研發資金為300萬元，在此基礎上，計劃每年投入的研發資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發資金開始超過600萬元的年份是（ ）（參考數據：，，，）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
29．基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數，基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：（其中是自然對數的底數）描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足.有學者基于已有數據估計出，，據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加倍需要的時間約為（ ）（參考數據：，）
A．天 B．天 C．天 D．天
30．2021年5月15日，中國首次火星探測任務天問一號探測器在火星成功著陸.截至目前，祝融號火星車在火星上留下1900多米的“中國腳印”，期待在2050年實現載人登陸火星.已知所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉周期之比約為，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約為（ ）
A． B． C． D．
31．化簡（ ）
A． B． C． D．
32．“綠水青山就是金山銀山”理念已經成為全黨全社會的共識和行動，工業廢水中的某稀有金屬對環境有污染，甲企業經過數年攻關，成功開發出了針對該金屬的“廢水微循環處理利用技術”，廢水每通過一次該技術處理，可回收20%的金屬．若當廢水中該金屬含量低于最原始的5%時，至少需要循環使用該技術的次數為（ ）（參考數據：）
A．12 B．13 C．14 D．15
33．若，則　　
A．2 B．3 C． D．1
34．已知，求
35．計算
(1) .
(2) .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據根式和實數指數冪的運算法則，即得解
【詳解】由題意：，
故選：B
2．AD
【解析】由指數冪的運算公式進行判斷
【詳解】解：由指數冪的運算公式可得，，，所以AD正確，B錯誤，
對于C，當為奇數時，，當為偶數時， ，所以C錯誤，
故選：AD
3． 1 102
【分析】根據指數冪的運算法則計算即可.
【詳解】①原式＝.
②原式=.
故答案為：1；102
4．A
【解析】先化簡，再結合換底公式即可求解
【詳解】
故選：A
【點睛】本題考查對數的化簡求值，屬于基礎題
5．13
【分析】利用對數運算公式，化簡求得所求表達式的值.
【詳解】原式
.
故答案為：13.
6．A
【分析】由已知對數式可得，從而代入可求出結果
【詳解】，，
，
故選：A
7．D
【分析】設經過x天“進步”的值是“退步”的值的2倍，則，然后利用對數的運算和題目所給的數據求出的值即可.
【詳解】設經過x天“進步”的值是“退步”的值的2倍，則，
∴，
故選：D．
8．
【分析】根據立方差公式與根式的性質可求出結果.
【詳解】
.
故答案為：
9．1
【分析】根據算術平方根可解得，代入即可求解.
【詳解】因為,
所以，
所以 .
所以.
故答案為：1
10．ABD
【分析】根據分數指數冪的定義和指數運算法則直接判斷即可.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，由根式與分數指數冪的關系可得，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD.
11．
【分析】先把根式轉化成指數冪的形式，再利用分數指數冪的運算法則，即可求出結果.
【詳解】因為
.
故答案為：.
12．C
【分析】利用同底數冪的運算法則進行計算.
【詳解】
故選：C.
13．B
【分析】特殊值法判斷A,C,D選項錯誤，根據已知條件結合式子范圍及指數冪判斷證明B選項.
【詳解】令
A,C選項錯誤;
,D選項錯誤;
,
,
,
,B選項正確.
故選:B.
14．19
【分析】根據指數冪的運算性質即可求解.
【詳解】
.
故答案為：19
15．C
【分析】根據奇函數的性質轉化后求解
【詳解】由奇函數得，而
得
故選：C
16．3
【分析】根據等比數列的下標和性質結合對數的定義與運算求解.
【詳解】.
故答案為：3.
17．4
【分析】根據對數函數的定義及函數零點的定義計算即可.
【詳解】依題意有，
所以.
故答案為：4.
18．或
【分析】根據對數函數真數大于0，底數大于0且不等式1，列出方程組，求出答案.
【詳解】因為x滿足式子.
故，解得.
19．D
【分析】利用對數的運算法則即可得出．
【詳解】，，，，
則 .
故選D.
【點睛】本題考查了對數的運算法則，考查了計算能力，屬于基礎題．
20．(1)2
(2)
【分析】（1）根據對數的運算法則，注意利用；
（2）根據對數的運算法則計算即可.
【詳解】（1）原式＝.
（2）原式
.
21．B
【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.
【詳解】由知,
結合，以及換底公式可知，
，
當且僅當，，
即時等號成立，
即時等號成立，
故的最小值為，
故選：B.
22．A
【分析】利用換底公式得到，再利用基本不等式比較即可；同理得到的大小.
【詳解】解：因為，
又因為，
所以，即；
因為，
又因為，
所以，即，
所以，
故選：A
23．證明見解析
【分析】設，則表示出，然后利用對數的運算性質計算和，即可得結論.
【詳解】證明：設，
則，，.
所以，，.
所以，
所以.
24．C
【分析】依題意，設，利用指對數互化可得，再將化簡可得，即可求出的值.
【詳解】因為是方程的解，所以，
令，則有，
所以，①
因為b是方程的解，所以，即，②
設，易知在R是單調遞增，
由①②得，，所以，
代入得，，
故選：C
25．D
【分析】由已知得，令，求導，然后分和來研究函數的取值大于零的情況.
【詳解】由已知，得，
令，
則，可得，
（1）當時，，在上單調遞增，
，成立；
（2）當時，令，則
令，則，
在上單調遞增，
①當時，
在上單調遞增，
在上單調遞增，，成立；
②當時，，，
，
當，在上單調遞減，
即在上單調遞減，
此時有，在上單調遞減，
，矛盾；
綜上.
故選：D.
26．
【分析】構造函數判定其單調性得，分離參數根據恒成立求即可.
【詳解】由，
構造函數，
在為增函數，則
即對不等式恒成立，則，
構造函數
令，得；令，得；
在上單調遞增，在上單調遞減，
，即.
故答案為：.
27．D
【分析】按每年10%衰減，得出每年剩余90%，列出方程，根據對數運算得出結果.
【詳解】最初的質量是500g，經過一年后，質量變為，
經過2年后，質量變為，
經過t年后，質量變為，
令，則，
則，.
則這種元素的半衰期年.
故選：D.
28．C
【分析】根據已知條件，可推得，再結合對數運算的公式求解即可.
【詳解】設從年后，第年該公司全年投入的研發資金為萬元，
則，
由題意得，，即，
故
，
則，
故公司全年投入的研發資金開始超過600萬元的年份是年.
故選：C
29．B
【分析】根據所給模型求得，令，求得，根據條件可得方程，然后解出即可．
【詳解】把，代入，可得，，
當時，，則，兩邊取對數得，解得．
故選：B.
30．A
【分析】根據已知先設周期再應用分數指數冪與根式的互化得出比值.
【詳解】設地球的公轉周期為，則火星的公轉周期為.
設地球 火星運行軌道的半長軸分別為，，
則，
于是.
故選: A.
31．C
【分析】由根式與有理數指數冪的關系及指數冪運算，化簡為指數冪形式即可.
【詳解】由.
故選：C
32．C
【分析】利用條件建立不等式，再轉化成，再利用對數的運算法則和條件即可求出結果.
【詳解】設至少需要循環使用該技術的次數為，則，所以，故取14.
故選：C.
33．D
【分析】首先將指數式化為對數式解出和，將換底公式與對數的加法運算性質相結合即可得到最后結果.
【詳解】∵，∴，，
∴，故選D.
【點睛】本題主要考查了指數式與對數式的互化，換底公式（當兩對數底數和真數位置互換時，兩數互為倒數）與對數加法運算法則的應用，屬于基礎題.
34．
【分析】根據絕對值、平方及二次根式的意義可求的值，從而可得答案．
【詳解】因為，
所以，解得，所以，
故答案為：．
35．(1)
(2)2
【分析】（1）（2）利用對數的運算性質和分數指數冪的運算性質求解即可.
【詳解】（1）
＝
＝
＝
＝
（2）
=2
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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