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第二章 函數的概念與性質 第五節 冪函數
第五節 冪函數
一．課標要求，準確定位
1．了解冪函數的概念．
2．結合函數的圖象，了解它們的變化情況．
二．考情匯總，名師解讀
冪函數作為常見的函數模型，可以和許多問題聯系在一起，是重要的知識交匯點，也是高考易考的考點．
【二級結論】
1．冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限．
2．冪函數的圖象過定點(1，1)，如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．
3．若冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，則α>0；若在(0，＋∞)上單調遞減，則α<0．
核心考點1 冪函數的概念
1．下列函數是冪函數的是（ ）
A． B． C． D．
2．函數，和的圖像都通過同一個點，則該點坐標為（ ）
A． B． C． D．
核心考點2 冪函數的圖象
3．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p為奇數，且 B．p為奇數，且 C．p為偶數，且 D．p為偶數，且
4．圖中，，分別為冪函數，，在第一象限內的圖象，則，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
核心考點3 冪函數的應用
5．已知函數為偶函數且在區間上單調遞減，則實數m的值可以為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知集合，，若，則實數的取值范圍是 .
考向一 冪函數系數為1
7．已知冪函數的圖象過點，則 .
8．在函數，中，冪函數的個數為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
考向二 求冪函數的值
9．已知冪函數的圖象經過點，則的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
考向三 求冪函數的解析式
10．冪函數的圖象恒過點 ，若冪函數的圖象過點，則此函數的解析式是 ．
考向四 根據函數是冪函數求參
11．已知函數為冪函數，則實數的可能性取值為（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
【類題通法】判斷一個函數是不是冪函數的依據是該函數是不是的形式；反過來，若一個函數為冪函數，則該函數也必須符合的形式．
考向一 求與冪函數有關的定義域或值域
12．已知點（n，8）在冪函數的圖象上，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
13．若冪函數y＝xα的圖像經過點(8，4)，則函數y＝xα的值域是 .
考向二 冪函數單調性應用(比大小、求參、解不等式)
14．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
15．已知冪函數在上是減函數，則的值為（ ）
A．3 B． C．1 D．
16．已知冪函數的圖象過點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考向三 冪函數奇偶性應用
17．已知冪函數為偶函數，則實數的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
18．結合圖中的五個函數圖象回答問題：
(1)哪幾個是偶函數，哪幾個是奇函數？
(2)寫出每個函數的定義域、值域；
(3)寫出每個函數的單調區間；
(4)從圖中你發現了什么？
【類題通法】比較冪值大小
①當冪指數不同時，轉化成相同冪指數，借助單調性進行比較;
②當底數和冪指數都不同時，可選適當的中間值進行比較．
考向一 冪函數圖象的判斷
19．如圖，下列3個冪函數的圖象，則其圖象對應的函數可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
20．若點在冪函數的圖象上，則的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
考向二 冪函數圖象的應用
21．若冪函數與在第一象限內的圖像如圖所示，則（ ）
A．； B．，；
C．，； D．，．
22．如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（ ）
A． B． C． D．
考向三 冪函數圖象過定點問題
23．當時，函數的圖象恒過定點A，則點A的坐標為 ．
24．已知函數，則無論取何值，圖象恒過的定點坐標 .
【類題通法】對于冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
【微點解讀】參考冪函數性質，探究對勾函數的圖象與性質．
（1）定義域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函數，函數圖象整體呈兩個“對勾”的形狀，且函數圖象關于原點呈中心對稱，即；
（4）圖象在一、三象限，當時，，（當且僅當取等號），即在時，取最小值；由奇函數性質知：當時，在時，取最大值；
（5）單調性：增區間為，減區間是．當時，類同．
25．已知（雙勾函數）．
（1）利用函數的單調性證明在上的單調性；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）畫出的簡圖，并直接寫出它單調區間．
26．已知勾函數在和內均為增函數，在和 內均為減函數．若勾函數在整數集合內為增函數，則實數的取值范圍為 ．
【微點解讀】高次不等式穿針引線解法操作步驟
①移項，把不等式右邊變為0且最高次項的系數為正；
②把不等式左邊分解因式，分解到不能再分為止；
③把對應的方程的根在數軸上按從小到大的順序標出；
④從右上方開始，遇到奇數次的根穿軸而過，遇到偶數次的根不穿軸；
⑤按從小到大的順序依次寫出不等式的解集．
⑥位于數軸上方對應的x的范圍為不等式>0的解；位于數軸下方對應的x的范圍是不等式<0的解．
27．解不等式
28．下列函數中，其定義域和值域不同的函數是（ ）
A． B． C． D．
29．函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
30．已知為冪函數，則（ ）．
A．在上單調遞增 B．在上單調遞減
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
31．冪函數在區間上單調遞增，則（ ）
A．27 B． C． D．
32．冪函數在區間（0，+∞）上單調遞增，且，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
33．已知冪函數的圖象過點，則 ，的解集為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據冪函數的定義判斷可得出結論.
【詳解】由冪函數的定義可知，B選項中的函數為冪函數，ACD選項中的函數都不是冪函數.
故選：B.
2．C
【分析】根據冪函數的定義判斷得這三個函數為冪函數，根據冪函數圖像所過定點可判斷.
【詳解】根據冪函數的定義可知，函數，與均為冪函數，
因為冪函數圖像所過定點為，所以可得這三個函數圖像均過點.
故選：C
3．D
【分析】從圖象的奇偶性與在第一象限的單調性判斷解析式的特征
【詳解】因為函數的圖象關于y軸對稱，
所以函數為偶函數，即p為偶數，
又函數的定義域為，
且在上單調遞減，
則有，
所以．
故選：D．
4．D
【分析】根據冪函數的圖象，結合冪函數的性質判斷參數的大小關系，即可得答案.
【詳解】由題圖知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故選：D
5．BC
【分析】根據冪函數單調性求得范圍，再驗證奇偶性可得.
【詳解】因為函數在區間上單調遞減，所以，解得，
因為，所以或3，
當時，函數為偶函數，符合題意；
當時，函數為偶函數，符合題意，
綜上，或.
故選：BC.
6．
【分析】化簡集合，根據子集關系列式可求出結果.
【詳解】依題意得，，
若，則.
故答案為：
7．
【分析】根據冪函數可得，將點代入解析式可得的值，即可求解.
【詳解】因為函數是冪函數，所以，所以
因為冪函數的圖象過點，
所以，所以，
所以，
故答案為：.
8．B
【分析】根據冪函數的定義即可求解．
【詳解】∵冪函數y＝xa，
∴是冪函數，不是冪函數，不是冪函數，
不是冪函數，比冪函數的圖象多一個點，
∴冪函數的個數為1．
故選：B.
9．D
【分析】設冪函數，由題設條件可求，從而可求的值.
【詳解】設冪函數，冪函數的圖象經過點，所以，
解得，所以，則．
故選：D.
10．
【分析】由冪函數的性質判斷圖象所過的定點坐標，根據冪函數所過的點求解析式.
【詳解】由冪函數的性質知：在第一象限恒過，
設冪函數，則，即，故.
故答案為：，.
11．AD
【分析】根據冪函數定義得到方程，求出實數，檢驗后得到答案.
【詳解】由題意得，解得或，
當時，，當時，，均滿足要求.
故選：AD
12．D
【分析】由為冪函數可求m，由點（n，8）在冪函數的圖象上可求n，再根據函數的單調性求函數的值域.
【詳解】由題可得m－2＝1，解得m＝3，所以，則，因此，定義域為[2，3]，因為函數和函數在[2，3]上單調遞減，所以函數g（x）在[2，3]上單調遞減，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域為[－2，1]．
故選:D.
13．[0，＋∞)
【詳解】冪函數圖象經過點，解得函數的值域為.
14．A
【分析】先利用冪函數的性質比較的大小，再利用指數函數的性質比較的大小，即得解.
【詳解】由題得，，
所以.
故選：A.
15．C
【分析】先根據是冪函數，由求得，再根據函數在上是減函數，確定的值求解.
【詳解】由函數為冪函數知，
，解得或.
∵在上是減函數，而當時，，在是增函數，不符合題意，
當時，，符合題意，
∴，，
∴.
故選：C.
16．C
【解析】先根據題意得冪函數解析式為，再根據函數的單調性解不等式即可得答案.
【詳解】解：因為冪函數的圖像過點，
所以，所以，所以，
由于函數在上單調遞增，
所以，解得：．
故的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】本題考查冪函數的定義，根據冪函數的單調性解不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據冪函數的系數為待定系數求得解析式，進而根據單調性解不等式.
17．C
【分析】由題意利用冪函數的定義和性質，得出結論．
【詳解】冪函數為偶函數，
，且為偶數，
則實數，
故選：C
18．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析.
【分析】根據已知函數圖象，數形結合即可求得結果.
【詳解】（1）數形結合可知，的圖象關于軸對稱，故其為偶函數；
的圖象關于原點對稱，故都為奇函數.
（2）數形結合可知：的定義域是，值域為；
的定義域都是，值域也是；
的定義域為，值域也為；
的定義域為，值域為.
（3）數形結合可知：的單調增區間是：，無單調減區間；
的單調增區間是：，無單調減區間；
的單調減區間是：和，無單調增區間；
的單調減區間是，單調增區間是.
（4）數形結合可知：
冪函數均恒過點；冪函數在第一象限一定有圖象，在第四象限一定沒有圖象.
對冪函數，當，其一定在是單調增函數；當，在是單調減函數.
19．A
【分析】根據冪函數的圖象與性質，逐個判定，即可求解.
【詳解】由函數是反比例函數，其對應圖象為①；
函數的定義域為，應為圖②；
因為的定義域為且為奇函數，故應為圖③.
故選：A.
20．B
【分析】利用待定系數法求出冪函數的解析式，再進行判斷即可得出答案．
【詳解】設冪函數，將點代入，得，解得，
所以，定義域為，且在定義域內單調遞增，大致圖像為B，
故選：B．
21．B
【分析】利用冪函數的圖象和性質判斷.
【詳解】由圖象知；在上遞增，
所以，
由的圖象增長的越來越慢，
所以，
在上遞減，
所以，
又當時，的圖象在的下方，
所以，
故選：B
22．D
【分析】根據函數圖象求出冪函數的指數取值范圍，得到正確答案.
【詳解】根據函數圖象可得：①對應的冪函數在上單調遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項符合要求.
故選：D
23．
【分析】根據冪函數恒過定點即可求解.
【詳解】由于對任意的，恒經過點，所以函數的圖象恒過定點,
故答案為：
24．
【分析】根據對數函數及冪函數的性質即可得解.
【詳解】因為函數恒過點，
且函數恒過點，
所以函數的圖象恒過的定點.
故答案為：.
25．（1）證明見解析（2）證明見解析（3）圖像見解析，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，
【分析】（1）根據函數單調性的定義進行證明即可；（2）結合三角函數的奇偶性進行判斷即可；（3）根據函數的奇偶性和單調性，作出函數的圖象進行判斷即可.
【詳解】（1）設，
則，
則，
當時，，則，則，
即，
此時函數為減函數，
當時，，則，則，
即，
此時函數為增函數．
（2），
則函數為奇函數．
（3）由（1）知結合函數奇偶性和單調性作出函數的圖象如圖：
由圖象和性質知的單調遞增區間為，，
單調遞減區間為，．
【點睛】本題主要考查對勾函數的圖象和性質，結合函數單調性和奇偶性的定義以及利用數形結合是解決本題的關鍵，屬于中檔題.
26．
【詳解】根據題意在，內為增函數；要使在整數集合內為增函數，則即解得，∴實數的取值范圍為，故答案為.
點睛：本題主要考查函數單調性的定義，能夠根據的單調性得出函數的單調增區間，理解在整數集合內為增函數的含義是正確解題的關鍵，最容易忽視定義域為點集，而錯把臨界位置和1比較，即錯表達為，得到錯誤結果.
27．
【分析】分解因式，分六種情況討論，分別判斷各因式的正負，從而可得答案.
【詳解】因式分解得
；
；
；
；
；
綜上可得不等式的解集為．
28．D
【分析】由冪函數性質可得解.
【詳解】A中定義域和值域都是；
B中 ,定義域和值域都是；
C中定義域和值域都是；
D中定義域為R，值域為
故選：D
【點睛】本題考查冪函數的性質，屬于基礎題.
29．B
【分析】利用特殊值法即可排除錯誤選項.
【詳解】由，排除A，D，
當時，，所以，排除C．
故選：B．
30．B
【分析】首先根據冪函數的定義求出參數的值，即可得到函數解析式，再分析其性質.
【詳解】因為是冪函數，所以，解得或，
所以或，
對于，函數在上單調遞增，在上單調遞減；
對于，函數在上單調遞減，且為奇函數，故在上單調遞減；
故只有B選項“在上單調遞減”符合這兩個函數的性質．
故選：B
31．A
【分析】根據冪函數的概念及性質，求得實數的值，得到冪函數的解析式，即可求解.
【詳解】由題意，令，即，解得或，
當時，可得函數，此時函數在上單調遞增，符合題意；
當時，可得，此時函數在上單調遞減，不符合題意，
即冪函數，則.
故選：A.
32．A
【分析】先根據冪函數的定義和函數單調性求出m的值，再判斷函數的單調性，根據單調性和奇偶性即可判斷．
【詳解】冪函數在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴，解得m＝2，
∴，
∴在R上為奇函數，
由，得，
∵在R上為單調增函數，
∴，
∴恒成立．
故選：A．
33．
【分析】設出冪函數的解析式，再由給定條件列式計算，然后借助函數性質列出不等式，求解即得.
【詳解】依題意，設，則，解得，于是得，
顯然是偶函數，且在上單調遞增，而，
即有，解得或，
所以的解集為.
故答案為：；
【點睛】思路點睛：解涉及奇偶性的函數不等式，一般先利用函數的奇偶性得出區間上的單調性，再利用其單調性
脫去函數的符號“f”，轉化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數，則f(-x)=f(x)=f(|x|).
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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