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第二章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 第八節(jié) 對數(shù)函數(shù)
第八節(jié) 對數(shù)函數(shù)
一.課標要求，準確定位
1.了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象.
2.理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點等性質(zhì)，并能簡單應用.
3.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.
4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1）互為反函數(shù)．
二.考情匯總，名師解讀
近年高考對數(shù)函數(shù)試題的類型主要有:比較大小、解對數(shù)型不等式;對數(shù)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性、最值、值域；對數(shù)型復合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性問題；給出對數(shù)型函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象；對數(shù)函數(shù)模型在生活實際中的應用.這些都對學生關(guān)于對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)準確掌握和靈活運用提出較高的要求.
【二級結(jié)論】
1.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法
畫對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）的圖象時，應抓住三個關(guān)鍵點：且函數(shù)圖象只在第一、四象限．
2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0由此我們可得到此規(guī)律：在第一象限內(nèi)與y＝1相交的對數(shù)函數(shù)從左到右底數(shù)逐漸增大．
3.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究．
4.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）的圖象與對數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）的圖象關(guān)于x軸對稱.
5.指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，圖象關(guān)于直線對稱．
6.對數(shù)型函數(shù)需要變形時，必須先解定義域，再變形.
7.對于函數(shù)，若，則必有.
核心考點1 對數(shù)函數(shù)的概念
1．使式子有意義的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．,且
2．函數(shù)的值域為（ ）
A． B．
C． D．
核心考點2 對數(shù)函數(shù)的圖象
3．函數(shù)的大致圖象為
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
核心考點3 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用
5．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域是
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
6．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
7．函數(shù)f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
考向一 對數(shù)型函數(shù)的定義域
8．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
9．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【類題通法】對數(shù)型函數(shù)定義域解法
求對數(shù)型函數(shù)的定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1.若底數(shù)真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義.
考向二 對數(shù)型函數(shù)的解析式
10．設(shè)a與b均為實數(shù)，且，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則時， ．
12．寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù) .
①的定義域為；
②；
③當時，.
【類題通法】對數(shù)型函數(shù)的解析式的求解
1．設(shè)函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法；
2．知函數(shù)奇偶性，運用奇偶性定義解函數(shù)解析式；
3．抽象函數(shù)符合，有可能是對數(shù)型函數(shù).
考向三 對數(shù)型函數(shù)的值域
13．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
14．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】對數(shù)型函數(shù)的值域的求解
1.充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象是求函數(shù)值域的常用方法.
2.形如的型函數(shù)，其值域的求解步驟如下:
①利用換元法，設(shè)，則；
②求的定義域；
③求的解集，并與②中集合求交集;
④利用單調(diào)性求解值域.
3.形如型函數(shù)，利用換元法，設(shè) .則函數(shù)的值域就是函數(shù)的值域.
注意:（1）若對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式（或單獨一個字母），要考查其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進行分類討論.
（2）求對數(shù)函數(shù)的值域時，一定要注意定義域?qū)λ挠绊?當對數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時，有時需討論參數(shù)的取值范圍.
考向一 比大小
15．設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
16．已知對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點與點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】比較對數(shù)值大小的方法
考向二 解對數(shù)不等式
17．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集為 ．
18．若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【類題通法】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式的求解策略
考向三 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
19．對于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．是偶函數(shù)
B．是奇函數(shù)
C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)
D．沒有最小值
20．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象與兩坐標軸圍成圖形的面積是（ ）
A．4 B． C．6 D．
21．已知函數(shù)（且）的圖象過點．
(1)求a的值．
(2)若．
（ⅰ）求的定義域并判斷其奇偶性；
（ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【類題通法】解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的三點提醒
（1）要分清函數(shù)的底數(shù)a∈（0，1），還是a∈（1，＋∞）．
（2）確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行．
（3）轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性.
考向一 對數(shù)型函數(shù)圖象的判斷
22．函數(shù)的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
23．已知且，函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】研究對數(shù)型函數(shù)圖象的兩種策略
考向二 對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題
24．函數(shù)的圖象恒過定點（ ）
A． B． C． D．
25．已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，點在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
26．已知函數(shù)的圖像恒過定點A，若點A在直線 上，其中 ，則的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．8
【類題通法】對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點
解對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點的步驟：
①令真數(shù)，解出x，即為定點橫坐標.
②將①中解出的x代入函數(shù)中解出函數(shù)值，即為定點縱坐標.
考向三 對數(shù)函數(shù)圖象的應用
27．正實數(shù)滿足，則實數(shù)之間的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
28．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
29．設(shè)函數(shù)，則 ，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 .
【類題通法】對數(shù)函數(shù)圖象的應用技巧
（1）對于一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)區(qū)間、值域、零點等問題時，可利用數(shù)形結(jié)合的思想.
（2）對于一些與對數(shù)型方程、不等式等內(nèi)容有關(guān)的問題，通常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解.
【微點解讀】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)，涉及值域、單調(diào)性、最值等問題時，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復合函數(shù)的構(gòu)成，即是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，分別判斷內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性，借助復合函數(shù)“同增異減”原則來研究復合函數(shù)各性質(zhì).
30．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
31．函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
32．已知函數(shù)的值域為，那么的取值范圍是 .
33．設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)），且，且，則不等式的解集為 .
【微點解讀】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，圖象關(guān)于直線y＝x對稱．
注意：只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).
34．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）
A．－1 B．1
C．12 D．2
35．已知（且，且），則函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知函數(shù)（且）的反函數(shù)過點，設(shè)，則不等式的解集是 ．
【微點解讀】 三種函數(shù)模型的性質(zhì)
補充：①“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小．
②注意確定實際問題中自變量的取值范圍，求出結(jié)果后要驗證其對實際問題的合理性．
③可應用于回歸分析中線性回歸的函數(shù)模型.
37．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.8，衰減速度為12，且當訓練迭代輪數(shù)為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．36 B．37 C．38 D．39
38．一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)如下表所示：
溫度 21 23 25 27 29 32 35
產(chǎn)卵個數(shù)個 7 11 21 24 66 115 325
(1)畫出散點圖，根據(jù)散點圖判斷與哪一個適宜作為產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程類型（給出判斷即可 不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).建立關(guān)于的回歸方程.
（附：可能用到的公式，可能用到的數(shù)據(jù)如下表所示：
27.430 81.290 3.612 147.700 2763.764 705.592 40.180
（對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.）
39．某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價（單位：元）和上座率（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下的散點圖：
(1)由散點圖判斷與哪個模型能更好地對與的關(guān)系進行擬合（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；
(2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預測票價為多少時，劇場的門票收入最多．
參考數(shù)據(jù)：，，；設(shè)，則，，；，，．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．
40．若函數(shù)的圖象過點，則（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
41．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域為（ ）
A． B． C． D．
42．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為
A． B． C． D．
43．已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)在(a，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
44．若為奇函數(shù)，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
45．函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【解析】根據(jù)對數(shù)的定義得到不等式組解得.
【詳解】解：
解得，即且.
故選：
【點睛】本題考查對數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】利用換元法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的值域．
【詳解】令，則，
又在上單調(diào)遞增，
所以，
故函數(shù)的值域為．
故選：B．
3．A
【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項C和D，再利用函數(shù)的特殊點排除選項B即可.
【詳解】，解得
函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱.
函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)，排除C和D.
當時，，排除B.
故選A.
【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，常利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及特殊值進行判斷.
4．A
【詳解】本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小．
由圖易得，；取特殊點，
，．選A．
5．BD
【分析】求出函數(shù)定義域為，A選項錯誤；利用定義證明函數(shù)是偶函數(shù)，B選項正確；函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C選項錯誤；可以證明f (x)的圖象關(guān)于直線對稱，故D選項正確.
【詳解】解：函數(shù)，
由可得，故函數(shù)定義域為，A選項錯誤；
的定義域為，設(shè)所以
即是偶函數(shù)，B選項正確；
，
當時，是減函數(shù)，外層也是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C選項錯誤；
由，可得f (x)的圖象關(guān)于直線對稱，故D選項正確.
故選：BD
6．
【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，及對數(shù)型函數(shù)的定義域即可得出答案.
【詳解】解：由函數(shù)，則，即，
故定義域為，
令，為增函數(shù)，
且也是增函數(shù)，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.
故答案為：.
7．(3，＋∞).
【分析】根據(jù)題意得且，由已知可得當時，恒成立，且內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性一致，即可得實數(shù)的范圍
【詳解】由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3為增函數(shù)，∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)，因此a＞1.又y＝ax－3在[1，3]上恒為正，∴a－3＞0，即a＞3，a的取值范圍是(3，＋∞).
故答案為
【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的定義域等，難度中檔．在遇到對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與真數(shù)含有參數(shù)問題，要保證真數(shù)恒大于0，并進行分類討論，是解答此類問題的關(guān)鍵．
8．D
【解析】直接根據(jù)可得解
【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得，
所以函數(shù)的定義域為：.
故選：D.
9．D
【分析】列出使函數(shù)有意義的不等式組求解即可.
【詳解】有意義滿足，即，，
解得，
故選：D
10．C
【解析】根據(jù)函數(shù)過的點即可求出，進而求出的值.
【詳解】解：令，
由圖可知：，，
即，
解得：，
故，
故選：C.
11．
【分析】由偶函數(shù)的定義求解．
【詳解】時，，是偶函數(shù)，
∴，
故答案為：．
12．（答案不唯一）
【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域、函數(shù)的法則和單調(diào)性即可求解，滿足題意的答案不唯一.
【詳解】由①②知，對數(shù)函數(shù)形式的函數(shù)滿足要求，又由③知，在定義域上是增函數(shù)，故符合題意，
故答案為：（答案不唯一）.
13．C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域以及三函數(shù)的值域得出真數(shù)的取值范圍，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)果即可.
【詳解】已知函數(shù)，則，
所以，
所以函數(shù)的值域為.
故選：C.
14．D
【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【詳解】當時，，
當時， ，
因為函數(shù)的值域為，
所以，得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：D.
15．A
【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：A.
【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.
16．C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)可以解得，，再結(jié)合中間值法比較大小．
【詳解】設(shè)，由題意可得：，則
∴
，，
∴
故選：C．
17．{x| ＜x＜3}
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域列出不等式組求解即可.
【詳解】解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集為{x|＜x＜3}．
故答案為：{x| ＜x＜3}
18．
【分析】由基本不等式可得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求解.
【詳解】由，可得，結(jié)合，可得，
由，得，所以.
【點睛】本題主要考查了基本不等式和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于基礎(chǔ)題.
19．AD
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定A,B.再去絕對值將寫成分段函數(shù)判斷C,D即可.
【詳解】對A,B,因為,故,
又,故為偶函數(shù).故A正確,B錯誤.
對C.因為.
當時,因為在為減函數(shù),故為減函數(shù),所以在區(qū)間為減函數(shù).故C錯誤.
對D,因為當時, 為減函數(shù).故且當時, .
故沒有最小值.故D正確.
故選：AD
【點睛】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的判定,需要根據(jù)奇偶性的定義以及函數(shù)圖像變換與單調(diào)性的結(jié)合分析,屬于中檔題.
20．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及函數(shù)的單調(diào)性，即可確定與坐標軸圍成的面積.
【詳解】已知函數(shù)，定義域為，
又.
因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，
又，且點與點也關(guān)于點成中心對稱，
由基本初等函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因此與坐標軸圍成圖形的面積是.
故選：A.
21．(1)
(2)（ⅰ）定義城為，偶函數(shù)；（ⅱ）．
【分析】（1）將點的坐標代入函數(shù)中化簡可得a的值；
（2）先求出的解析式，（ⅰ）由，可求出定義域，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷其奇偶性；（ⅱ）利用復合函數(shù)“同增異減”的方法求其增區(qū)間.
【詳解】（1）由條件知，即，
又且，所以．
（2）．
（ⅰ）由，得，故的定義城為．
因為，故是偶函數(shù)．
（ⅱ），
因為函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為．
22．A
【分析】以函數(shù)的定義域、奇偶性去排除錯誤選項即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，可以排除選項B、C；
由，
可知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像應關(guān)于y軸軸對稱，可以排除選項D.
故選：A
23．D
【分析】先由函數(shù)的圖象可判斷出.利用圖像變換和單調(diào)性即可得到周期答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象可判斷出.
當時，經(jīng)過定點（1，0），為增函數(shù).
因為與關(guān)于y軸對稱，所以經(jīng)過定點（-1，0），為減函數(shù).
而可以看作的圖像向右平移一個單位得到的.
所以的圖像經(jīng)過定點（0，0），為減函數(shù).
故選：D.
24．A
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點即可.
【詳解】當時，即函數(shù)圖象恒過.
故選：A
25．B
【分析】令對數(shù)的真數(shù)等于0，求得x、y的值，可得圖象經(jīng)過的定點坐標．再根據(jù)在冪函數(shù)y＝f（x）的圖象上，求出函數(shù)f（x）的解析式，從而求出的值．
【詳解】∵已知a＞0且a≠1，對于函數(shù)，令x﹣1＝1，求得x＝2，y，
可得它的圖象恒過定點P（2，4），
∵點P在冪函數(shù)y＝f（x）＝xn 的圖象上，∴2n，∴n，∴f（x）
則f（2）,故
故選B．
【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
26．C
【分析】先求出定點A的坐標，再代入直線的方程得到m+n=2,再利用基本不等式求最小值.
【詳解】由題得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,
所以=.
當且僅當時取到最小值.
故答案為C
【點睛】(1)本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定點問題，考查基本不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 本題的解題關(guān)鍵是常量代換，即把化成，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值. 利用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”，三個條件缺一不可.
27．A
【分析】由，得，而與的圖象在只有一個交點，從而可得在只有一個根，令，然后利用零點存在性定理可求得，同理可求出的范圍，從而可比較出的大小
【詳解】，即，即，與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，
，，，則；
，即，即，由與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，，
，，故；
，即，
即，由與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，，
，，則；
故選：A.
28．A
【分析】依題意作出函數(shù)的大致圖象，不等式或，進而可解得結(jié)果.
【詳解】由題意知函數(shù)的大致圖象如圖所示，
則不等式或，
解得，或.
故選：A.
29． 1
【分析】(1)先求出的值，再求即得解；
(2) 作出函數(shù)的圖像，再作出直線，數(shù)形結(jié)合分析即得解.
【詳解】（1）由題得，所以. 所以1.
（2）作出函數(shù)的圖像，再作出直線，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：1；.
30．A
【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，分別求出函數(shù)和在區(qū)間的值域，再結(jié)合題意即可得到答案.
【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即.
，則的值域為，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，的值域為，
因為，，使得成立，
所以，解得.
故選：A
31．
【分析】求函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題求解即可.
【詳解】由函數(shù)的定義域為，
得，恒成立．
當時，，成立；
當時，需滿足于是．
綜上所述，m的取值范圍是．
故答案為：.
32．
【分析】根據(jù)函數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為定義域的問題，對參數(shù)是否為0進行分類討論，即可求出的取值范圍
【詳解】解：由題意
在中，值域為
當時，，
∴解得：
當時，
則解得
綜上，
故答案為：.
33．
【分析】先通過求出，然后分和分別解不等式即可.
【詳解】因為，所以，則，
所以
①當時，，解得；
②當時，，解得，
綜上所述，的解集為．
故答案為：.
34．A
【分析】法一，解出反函數(shù)，代值即可；法二，應用互為反函數(shù)的兩函數(shù)的對應關(guān)系求解.
【詳解】解法1：由，得，所以函數(shù)的反函數(shù)為，則
解法2：設(shè)，則函數(shù)過點，由于函數(shù)的反函數(shù)為，因此有，故.
故選：A.
35．B
【分析】由（且，且），得，從而得到與互為反函數(shù)，根據(jù)互為反函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果．
【詳解】∵（且，且），
∴，∴，
∴，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
∴函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且具有相同的單調(diào)性.
故選：B．
36．
【分析】根據(jù)反函數(shù)定義得到反函數(shù)解析式，根據(jù)題中所給點解出a的取值，得到解析式，根據(jù)單調(diào)性得到最后解集.
【詳解】根據(jù)反函數(shù)定義可知，由題可知
故，，即，根據(jù)解析式可知在為增函數(shù)，
可列不等式
故答案為：
37．A
【分析】由已知求得衰減系數(shù)，然后根據(jù)已知模型列不等式求解．
【詳解】由已知，得，所以，
則有，即，即，
即，因此G至少為36.
故選：A.
38．(1)散點圖答案見解析，
(2)
【分析】（1）按照表格作圖即可，并根據(jù)散點圖判定回歸方程類型；
（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)線性回歸方程的計算公式結(jié)合數(shù)據(jù)，得出，從而得出結(jié)果.
【詳解】（1）散點圖如圖所示，
根據(jù)散點圖可以判斷，適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型.
（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由數(shù)據(jù)得
.
所以關(guān)于的線性回歸方程為
因此，關(guān)于的回歸方程為
39．(1)能更好地對y與x的關(guān)系進行擬合，；
(2)預測票價為元時，劇場的門票收入最多．
【分析】（1）由散點圖知，能更好地對與的關(guān)系進行擬合，設(shè)，由公式求出，再將代入求出，可得關(guān)于的線性回歸方程，進而得出關(guān)于的回歸方程；
（2）設(shè)函數(shù)，對函數(shù)求導，判斷出單調(diào)性和極值，可預測劇場的門票收入最多時的票價．
【詳解】（1）能更好地對與的關(guān)系進行擬合．
設(shè)，先求關(guān)于的線性回歸方程．
由已知得，
所以，
，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
所以關(guān)于的回歸方程為；
（2）設(shè)該劇場的總座位數(shù)為，由題意得門票收入為，
設(shè)函數(shù)，則，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以在處取最大值，
所以預測票價為元時，劇場的門票收入最多．
40．A
【分析】因為函數(shù)圖象過一點，代入該點的坐標解方程即得解.
【詳解】解：由已知得，所以，解得：，
故選：A．
41．A
【分析】根據(jù)的單調(diào)性求得正確答案.
【詳解】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增，
，
即.
故選：A
42．D
【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.
詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：
，，，
據(jù)此可得：.
本題選擇D選項.
點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．
43．D
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，進而求得的取值范圍.
【詳解】由題意，函數(shù)滿足，解得或，
設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
44．C
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域的對稱性求解.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點對稱，
顯然當時，沒意義，所以當時，也沒意義，但是有意義的，所以必定是，即，
，，
即，
則，是奇函數(shù)，
；
故選：C.
45．A
【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判斷即可.
【詳解】因為，則，解得且，
所以函數(shù)的定義域為，
令，則，即為偶函數(shù)，
又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除D，
又，故排除B、C；
故選：A
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