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第十節(jié) 函數(shù)與方程 （講）
第十節(jié) 函數(shù)與方程
一.課標(biāo)要求，準(zhǔn)確定位
1．結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系．
2．結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用．
3．了解用二分法求方程的近似解的步驟．
二.考情匯總，名師解讀
函數(shù)零點(diǎn)問題是一個考查學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到基本初等函數(shù)的圖象、導(dǎo)數(shù)等知識，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法.
【二級結(jié)論】
1.零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程的解.
2.若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點(diǎn)；
3.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號；
4.連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號；
5.函數(shù)有零點(diǎn)方程有實數(shù)解函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；
6.函數(shù)有零點(diǎn)方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)
，其中為常數(shù).
核心考點(diǎn)1 函數(shù)零點(diǎn)
1．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A． B．，0 C． D．0
2．函數(shù)和存在公共點(diǎn)，則的范圍為（ ）．
A． B． C． D．
核心考點(diǎn)2 函數(shù)零點(diǎn)的判斷
3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是
A． B． C． D．
4．若函數(shù)滿足，且時，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為 .
核心考點(diǎn)3 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
5．已知三個函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為a，b，c，則（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函數(shù)恰有個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考向一 函數(shù)零點(diǎn)與方程的根
7．函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．定義域和值域均為[﹣a，a]（常數(shù)a＞0）的函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的圖象如圖所示，方程g[f（x）]＝0解得個數(shù)不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【類題通法】
函數(shù)有零點(diǎn)方程有實數(shù)解函數(shù)與的圖象有交點(diǎn).
考向二 求函數(shù)的零點(diǎn)
9．函數(shù)的零點(diǎn)是
A． B． C． D．
10．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（ ）．
A． B．
C． D．
【類題通法】函數(shù)的零點(diǎn)是相應(yīng)方程的解，也是函數(shù)圖象與橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)是數(shù).
考向一 零點(diǎn)存在定理求零點(diǎn)
11．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
12．若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
考向二 二分法求零點(diǎn)
13．某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時，計算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（ ）
A．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) B．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)
C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.5
14．若函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：
那么方程的一個近似根（精確度）可以是（ ）
A． B． C． D．
15．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【類題通法】給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下
（1）確定區(qū)間，驗證，給定精確度；
（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；
（3）計算：
①若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若，則令（此時零點(diǎn)）；
③若，則令（此時零點(diǎn) ）；
④判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)步驟②~④.
注意：“精確度”與“精確到”的不同.
考向三 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷
16．函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是
A． B． C． D．
17．函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【類題通法】
1．確定函數(shù)f （x）的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法
（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f （x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f （a）·f （b）<0.若有，則函數(shù)y＝f （x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有零點(diǎn)．
（2）數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．
2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn)，不滿足條件時，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．
考向四 函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷
18．函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是
A．0 B．1
C．2 D．3
19．已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定方法
（1）直接求零點(diǎn)：令f （x）＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(diǎn)．
（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f （a）·f （b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．
（3）把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)有幾個，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
考向一 根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)
20．已知函數(shù).若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
21．函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函數(shù)，若有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
考向二 比較零點(diǎn)大小
23．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（ ）
A． B． C． D．
24．若，則下列不等關(guān)系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【類題通法】比較零點(diǎn)的大小方法
（1）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為多個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象觀察交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小即可.
（2）當(dāng)出現(xiàn)多種可能性時，注意對函數(shù)y=m的圖象進(jìn)行動態(tài)討論.
考向三 零點(diǎn)求和
26．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
27．已知M是函數(shù)的所有零點(diǎn)之和.則M的值為 .
28．已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是 .
【類題通法】求函數(shù)的多個零點(diǎn)（或方程的根以及直線y＝m與函數(shù)圖象的多個交點(diǎn)橫坐標(biāo)）的和時，常借助函數(shù)的性質(zhì)（如函數(shù)本身關(guān)于點(diǎn)的對稱、直線的對稱等）求和．
【微點(diǎn)解讀】對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．
對于嵌套函數(shù)y＝f （g（x））的零點(diǎn)個數(shù)問題，求解思路如下：
（1）確定內(nèi)層函數(shù)u＝g（x）和外層函數(shù)y＝f （u）；
（2）確定外層函數(shù)y＝f （u）的零點(diǎn)u＝ui（i＝1，2，3，…，n）；
（3）確定直線u＝ui（i＝1，2，3，…，n）與內(nèi)層函數(shù)u＝g（x）圖象交點(diǎn)個數(shù)分別為a1，a2，a3，…，an，則函數(shù)y＝f （g（x））的零點(diǎn)個數(shù)為a1＋a2＋a3＋…＋an.
29．設(shè)定義域為的函數(shù)則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（ ）
A．3 B．7 C．5 D．6
30．已知，若關(guān)于x的方程僅有一解，則a的取值范圍是 ．
31．已知函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為 ．
32．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有8個不等的實數(shù)根，則a的取值范圍是 ．
【微點(diǎn)解讀】新定義問題是高考常考題型，考查學(xué)生的理解能力與轉(zhuǎn)化能力.與零點(diǎn)相關(guān)的新定義問題，可以結(jié)合圖象的直觀想象與邏輯推理轉(zhuǎn)化成零點(diǎn)問題，從而化棘手問題為常規(guī)問題.
33．若函數(shù)的圖象上存在兩個不同點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱A，B為函數(shù)的一對友好點(diǎn)，記作，規(guī)定和是同一對友好點(diǎn)．已知，則函數(shù)的友好點(diǎn)共有( )
A．3對 B．5對 C．7對 D．14對
34．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點(diǎn)定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù).下列為“不動點(diǎn)”函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
35．已知，，若存在，，使得，則稱函數(shù)與互為“度零點(diǎn)函數(shù)”.若與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為 .
、、
36．設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中使得有零點(diǎn)的是
A． B． C． D．
37．方程的實數(shù)解的個數(shù)為　　
A．2 B．3 C．1 D．4
38．若是奇函數(shù)，且是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則一定是下列哪個函數(shù)的零點(diǎn)（　　）
A． B．
C． D．
39．已知函數(shù)的零點(diǎn)為1，則實數(shù)a的值為 ．
40．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和等于 ．
41．已知函數(shù)
①當(dāng)時，函數(shù)的值域是 ；
②若函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】函數(shù)的零點(diǎn)，即令分段求解即可.
【詳解】函數(shù)
當(dāng)時，
令，解得
當(dāng)時，
令，解得（舍去）
綜上函數(shù)的零點(diǎn)為0.
故選：D.
2．B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可選出正確答案.
【詳解】解：由題意知，有解，，
因為在上連續(xù)且在上單調(diào)遞增，有，則解的范圍為，
故選:B.
3．B
【分析】由于連續(xù)函數(shù)f（x）滿足 f（1）＜0，f（2）＞0，從而得到函數(shù)y＝x﹣4 （）x的零點(diǎn)所在區(qū)間．
【詳解】∵y＝x﹣4 （）x為R上的連續(xù)函數(shù)，
且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，
∴f（1） f（2）＜0，
故函數(shù)y＝x﹣4 （）x的零點(diǎn)所在區(qū)間為：（1，2），
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題．
4．10
【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個數(shù)求解作答.
【詳解】因為，則有，即函數(shù)是R上以2為周期的周期函數(shù)，
令，則，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖：
觀察圖象得：函數(shù)與在上的圖象有10個交點(diǎn)，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)有10個.
故答案為：10
5．D
【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷零點(diǎn)所在范圍，即可比較得出答案.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，
故的零點(diǎn)，
令，解得，即；
由在上單調(diào)遞增，得，，
因此的零點(diǎn)，則，
故選：D．
6．A
【解析】畫出圖象，通過移動結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的判斷即可得結(jié)果.
【詳解】由題意，函數(shù)，的圖象如圖：
方程的解為，方程的解為或；
①當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，3；
②當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn)，5；
則實數(shù)m的取值范圍是：．
故選：A.
7．B
【分析】將題意轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍即可得到答案
【詳解】解：由題意得在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，
設(shè)，所以
令，解得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，因為
所以，
所以實數(shù)a的取值范圍是，
故選：B
8．D
【分析】由圖象知有一個上的正根，結(jié)合圖象可知根的個數(shù).
【詳解】因為時，有唯一解，
不妨設(shè)唯一解為，由圖象可知，
則由g[f（x）]＝0可得，
因為，由圖象可知，可能有1根，2根，3個根，不可能又4個根，
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
9．A
【分析】令，解方程求得的值，也即是零點(diǎn).
【詳解】令，即，故選A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，考查指數(shù)式和對數(shù)式互化，屬于基礎(chǔ)題.
10．C
【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.
【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，
作出與，，的圖象，

如圖所示，可知
故選：C
11．A
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理確定正確選項.
【詳解】在上遞增，
，
，所以的零點(diǎn)在區(qū)間.
故選：A
12．
【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，單調(diào)遞增，
因此，函數(shù)有零點(diǎn)，只需，
解得.
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，熟記指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的概念即可，屬于常考題型.
13．BC
【分析】根據(jù)二分法基本原理判斷即可.
【詳解】解：易知是增函數(shù)，因為，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，所以A錯誤，B正確，
又1.4375和1.375精確到0.1的近似數(shù)都是1.4，所以C正確，D錯誤．
故選：BC.
14．C
【解析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度；
因為，，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
因為，所以滿足精確度，
所以方程的一個近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個選項可知選C.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度的概念是解題關(guān)鍵.
15．C
【分析】由于長度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄敲唇?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋粢缶_度為時則，解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).
【詳解】因為開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>所以經(jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋?br/>令，解得，且，
故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.
故選：C.
16．B
【分析】零點(diǎn)所在單調(diào)區(qū)間滿足，依次判定，即可．
【詳解】，，故其中一個零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，故選B．
【點(diǎn)睛】考查了函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定，關(guān)鍵抓住零點(diǎn)所在區(qū)間滿足，即可，難度中等．
17．B
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可得到所求的區(qū)間．
【詳解】函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的定義域為(0,＋∞)，并且f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線．
又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)．
故選B．
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種：一是用零點(diǎn)存在性定理，二是解方程，三是用函數(shù)的圖象．值得說明的是，零點(diǎn)存在性定理是充分條件，而并非是必要條件．
18．B
【詳解】試題分析：,在范圍內(nèi)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．又，，，故在區(qū)間存在零點(diǎn)，又函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故零點(diǎn)只有一個．
考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)．
19．B
【分析】作出圖象，由圖可得有個交點(diǎn)．
【詳解】零點(diǎn)個數(shù)就是圖象交點(diǎn)個數(shù)，
作出圖象，如圖：
由圖可得有個交點(diǎn)，
故有個零點(diǎn)．
故選：B ．

20．B
【解析】由可得出，令，其中，由題意可知，實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，求出函數(shù)在上的值域即可得解.
【詳解】由，可得，令，其中，
由于存在，使得，則實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域.
由于函數(shù)、在區(qū)間上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù).
當(dāng)時，，又，
所以，函數(shù)在上的值域為.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
21．A
【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.
【詳解】因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)得，
解得，
故選：A
22．B
【分析】設(shè)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.
【詳解】解：設(shè)，
令，令，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
所以.
令有三個零點(diǎn).作出函數(shù)和的圖象如圖所示，
所以a的取值范圍為.
故選：B

23．B
【分析】在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】解：在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，
由圖象知：，
故選：B
24．D
【分析】將條件轉(zhuǎn)化為，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，判斷它們與有交點(diǎn)時各交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小情況.
【詳解】由，得．
由，得，，
作函數(shù)，，的圖象，再作直線．
變換m的值發(fā)現(xiàn)：，，均能夠成立， D不可能成立.
故選：D．
25．B
【分析】在同一坐標(biāo)系中分別畫出，，，的圖象， 轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即得解
【詳解】在同一坐標(biāo)系中分別畫出，，，的圖象，

與 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，與 的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．
故選：B
26．B
【分析】令，則函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)與交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】令，則，
畫出，的圖象如下圖所示，
由圖可知兩圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，故零點(diǎn)之和為.
故選：B.
27．
【分析】根據(jù)和的函數(shù)圖像的對稱點(diǎn)和交點(diǎn)個數(shù)得出答案.
【詳解】令可得，
作出和的函數(shù)圖像如圖所示：

由圖像可知兩函數(shù)圖像有個交點(diǎn)，
又兩函數(shù)圖像均關(guān)于直線對稱，
的個零點(diǎn)之和為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)之和，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.
28．
【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由圖可得，由、為的兩根可得，由二次函數(shù)的對稱性可得即可求解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，
由圖知當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，
若存在，使得，由圖可得，
由即，所以，
因為函數(shù)的對稱軸為，所以，
所以，
故答案為：.

29．B
【分析】問題轉(zhuǎn)化為要求方程的解的個數(shù)，對應(yīng)于函數(shù)或的解的個數(shù)．故先根據(jù)題意作出的簡圖，由圖可知，函數(shù)或的解的個數(shù)，可以得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，令，
得或．
作出的簡圖：
由圖象可得當(dāng)或時，分別有3個和4個交點(diǎn)，
故關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為 7．
故選：．

30．
【分析】可判斷a≠0,從而由分段函數(shù)判斷方程的解的個數(shù)即可.
【詳解】若，則方程有無數(shù)個解，故；
或（舍去）
,
或
或
關(guān)于x的方程僅有一解，
在上無解，
綜_上所述, a的取值范圍是.
故答案為：
31．2
【分析】先畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像，即可求解.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．

的零點(diǎn)即為方程，
令，則，
當(dāng)時，無解，
當(dāng)時，，解得，
結(jié)合圖象可知函數(shù)有個零點(diǎn)．
故答案為：2.
32．
【分析】令，結(jié)合的圖象將問題轉(zhuǎn)化為“方程在上有兩不等實根”，利用韋達(dá)定理結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解出的取值范圍.
【詳解】作出的圖象如下圖所示，
令，因為關(guān)于x的方程有8個不等的實數(shù)根，
結(jié)合圖象可知，關(guān)于的方程有兩不等實根，記為，且，
因為，，所以，
又因為，，即，
所以的取值范圍是，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
33．C
【分析】結(jié)合題意，將函數(shù)的友好點(diǎn)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，然后利用圖像求解即可.
【詳解】因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)的友好點(diǎn)的對數(shù)即方程，的解的個數(shù)，
即函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，
作出函數(shù)與的圖象，如圖所示:

可知共有7個交點(diǎn)，即函數(shù)的友好點(diǎn)共有7對.
故選:C．
34．BC
【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成方程有解問題，再逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】對于選項A，令，則，所以，當(dāng)時，，時，，
故，即時，恒有，
所以無解，所以該函數(shù)不是“不動點(diǎn)”函數(shù)；
對于選項B，令，得，因為，所以方程有兩個不等的實數(shù)根，所以該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)；
對于選項C，當(dāng)時，令，得或，從而該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)；
對于選項D，令，得，無解，因而該函數(shù)不是“不動點(diǎn)”函數(shù).
故選：BC.
35．
【分析】先確定有唯一零點(diǎn)2，得到，得到，設(shè)求導(dǎo)得到單調(diào)性得到，得到答案.
【詳解】且在R上單調(diào)遞減，所以有唯一零點(diǎn)2.
設(shè)為函數(shù)的一個零點(diǎn)，則，
故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)；由，
令，，，在單增，在單減
，，，，從而.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
36．D
【分析】由題意得，，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得出答案．
【詳解】由，得，，
，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)．
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
37．A
【分析】結(jié)合題意,構(gòu)造兩個函數(shù),繪制圖像,將解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個數(shù),即可.
【詳解】令,繪制這兩個函數(shù)的函數(shù)圖像,可得
故有2個交點(diǎn),故選A.
【點(diǎn)睛】考查了數(shù)形結(jié)合思想,關(guān)鍵將函數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的問題,難度中等.
38．C
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)可得，因為是的一個零點(diǎn)，代入得，利用這個等式對A、B、C、D四個選項進(jìn)行一一判斷可得答案.
【詳解】因為是的一個零點(diǎn)，所以，
又因為f（x）為奇函數(shù)，所以，
所以，即.
所以，
故一定是的零點(diǎn).
故選：C.
39．
【分析】利用求得的值.
【詳解】由已知得，即，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題.
40．
【分析】令，利用換元法可解得方程的根，即得函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】令，則.
設(shè)，則，解得(舍去)或.
所以，解得或.
所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，它們之和等于
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，通過解方程來求函數(shù)的零點(diǎn).
41．
【解析】（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；
（2）轉(zhuǎn)化為f（x）＝在上與直線只有一個公共點(diǎn)，分離a求值域可得實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)a＝1時，即當(dāng)x≤1時，f（x）＝，
當(dāng)x＞1時，f（x）＝2-x<1，
綜上所述當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）的值域是，
（2）由無解，故f（x）＝在上與直線只有一個公共點(diǎn)，則有一個零點(diǎn)，即實數(shù)的取值范圍是
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題，
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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