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6.2.1 排列6題型分類
一、排列概念
1.排列的定義：
從個不同元素中，任取個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從不同元素中取出個元素的一個排列.
2.要點詮釋:
（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
二、排列數
1.排列數的定義：
從個不同元素中，任取個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示.
2.要點詮釋:
“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
三、排列數公式
1..
2.要點詮釋:
公式特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數.
四、階乘
1．階乘的概念：
表示正整數到的連乘積，叫做的階乘．規定．
2.排列數公式的階乘式：
.
五、排列的常見類型與處理方法
1.相鄰元素捆綁法
2.相離問題插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
（一） 與排列數有關的運算 1、排列數： （1）排列數的定義：從個不同元素中，任取個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示. （2）排列數公式：. （3）階乘：表示正整數到的連乘積，叫做的階乘．規定． （4）排列數的階乘式： 2、排列數公式的應用 （1）排列數的第一個公式適用于具體計算以及解當較小時的含有排列數的方程和不等式． （2）排列數的第二個公式適用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等問題．在具體運用時，應注意先提取公因式，再計算，同時還要注意隱含條件“”的運用．
題型1：與排列數有關的運算 1-1．（2023·高二課時練習）等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 【答案】C 【分析】根據排列數的計算公式即可求出結果. 【詳解】根據排列數的計算公式可得， 故選：C. 1-2．（2023下·陜西·高二校聯考階段練習）可以表示為( )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據排列數的計算公式即可判斷﹒ 【詳解】＝， 故選：C﹒ 1-3．（2023下·江蘇南通·高二統考期末）若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據排列數與階乘的公式求解即可 【詳解】由，則，故． 故選：D 1-4．（2023·高二課時練習）＝ ． 【答案】36 【分析】根據排列數的計算算出答案即可. 【詳解】 故答案為：36 1-5．（2023下·山東臨沂·高二統考期中） ． 【答案】0 【分析】根據排列數的定義計算． 【詳解】. 故答案為：0. 1-6．（2023·高二課時練習）（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【答案】 【分析】利用排列數的計算公式即可求解. 【詳解】（1）由， 則， 即，解得. （2）由， 則，解得. （3）由， 則且， 解得或（舍）. 故答案為： ； ； 1-7．（2023下·寧夏銀川·高二校考期末）已知，則 ． 【答案】6 【分析】利用排列數公式求解. 【詳解】因為， 所以， 即， 解得（舍去）． 故答案為：6. 1-8．（2023·高二課時練習）求證： (1)； (2)． 【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析 【分析】（1）利用排列數公式化簡可證得等式成立； （2）利用排列數公式化簡可證得等式成立. 【詳解】（1）證明：. （2）證明：.
（二） 無限制條件的排列問題 典型的排列問題，用排列數計算其排列方法數；若不是排列問題，需用計數原理求其方法種數．排列的概念很清楚，要從“n個不同的元素中取出m個元素”．即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數原理解決的問題中，元素可以重復選取．
題型2：無限制條件的排列問題 2-1．（2023下·高二課時練習）甲 乙 丙三名同學排成一排，不同的排列方法有（ ） A．3種 B．4種 C．6種 D．12種 【答案】C 【分析】三個人排成一排，即3個元素的一個全排列，由公式即可得到答案. 【詳解】甲 乙 丙三名同學排成一排，不同的排列方法有 種 故選：C 2-2．（2023下·江西南昌·高二南昌市八一中學校考階段練習）6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為（ ） A．36 B．120 C．720 D．240 【答案】C 【分析】分兩步,第一步先排第一排,第二步再排第二排,然后利用分步乘法計數原理求解 【詳解】解：由于6人排兩排，先排第一排共有6×5×4=120(種)，再排第二排，共有3×2×1=6(種).由分步乘法計數原理可知，共有120×6=720(種)方法. 故選：C 2-3．（2023下·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）有3名大學畢業生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有 種不同的招聘方案．(用數字作答) 【答案】 【詳解】分析：根據排列定義求結果. 詳解：將5家招聘員工的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(種)． 點睛：本題考查排列定義，考查基本求解能力.
（三） 排隊問題 1．“處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則． ①元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列． ②元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素． 2．解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優先．從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．
題型3：相鄰問題 3-1．（2023·河南平頂山·汝州市第一高級中學校考模擬預測）某晚會上需要安排4個歌舞類節目和2個語言類節目的演出順序，要求語言類節目之間有且僅有2個歌舞類節目，則不同的演出方案的種數為（ ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】D 【分析】首先全排列2個語言類的節目，再從4個歌舞類節目中選出2個節目放入2個語言類的節目之間，最后與其余的兩個歌舞節目全排列即可. 【詳解】第一步：全排列2個語言類的節目，共有種情況， 第二步：從4個歌舞類節目中選出2個節目放入2個語言類的節目之間，共有種情況， 第三步：再將排好的4個節目視為一個整體，與其余的兩個歌舞節目全排列， 共有種情況，所以. 故選：D 3-2．（2023·四川攀枝花·統考二模）甲、乙、丙、丁、戊5名學生站成一排．甲、乙要相鄰．且甲不站在兩端，則不同的排法種數 ． 【答案】36 【分析】甲只能從中間三個位置選一個站，乙要與甲相鄰只有兩個位置可選擇，甲、乙站好后其他三人位置隨便站，從而即可求解. 【詳解】解：由題意，甲只能從中間三個位置選一個站，乙要與甲相鄰只有兩個位置可選擇，甲、乙站好后其他三人位置隨便站，故有種不同的排法種數， 故答案為：36. 3-3．（2023·遼寧）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為 A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！ 【答案】C 【詳解】根據題意，分2步進行： ①將每個三口之家都看成一個元素，每個家庭都有種排法； 三個三口之家共有種排法， ②、將三個整體元素進行排列，共有種排法 故不同的作法種數為 故選． 【考點】排列、組合及簡單的計數原理.
題型4：不相鄰問題 4-1．（2023下·高二課時練習）高三（一）班學生要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求2個舞蹈節目不連排，則共有 種不同的排法． 【答案】3600 【分析】先排除2個舞蹈節目外的另5個節目，再利用插空法列式計算作答. 【詳解】依題意，先排除2個舞蹈節目外的另5個節目有種，再在6個空隙中任取兩個插入2個舞蹈節目有種， 所以不同排法的種數為. 故答案為：3600 4-2．（2023下·江西·高二九江一中校考期末）5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先計算出5人隨機排列的方法總數，再利用插空法求解出甲、乙兩人不相鄰的排列方法數，然后利用古典概型的概率計算公式求解. 【詳解】將5人隨機排成一列，共有種排列方法； 當甲、乙不相鄰時，先將5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后將甲、乙插入， 故共有種排列方法， 則5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為. 故選：C. 【點睛】本題考查簡單的排列問題，考查古典概型概率的計算，較簡單. 解答時，不相鄰排列問題用插空法求解. 4-3．（2023下·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區新豐中學校考期中）三位老師和三位學生站成一排，要求任何兩位學生都不相鄰，則不同的排法種數為（ ） A．72 B．144 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根據題意利用插空法進行排列，先排三位老師，再將三位學生插進老師形成的四個空中，即可求解. 【詳解】解：因為要求任何兩位學生不站在一起， 所以可以采用插空法， 先排3位老師，有種結果， 再使三位學生在教師形成的4個空上排列，有種結果， 根據分步計數原理知共有種結果. 故選：B. 【點睛】本題考查排列組合的綜合運用：利用插空法求解不相鄰問題，不相鄰問題插空處理的策略： 先排其他元素，再將不相鄰元素插入到其他元素形成的空檔中. 4-4．（2023上·上海虹口·高二上海市復興高級中學校考期末）甲 乙 丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個位置中的3個，因疫情防控的需要（這一排沒有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（ ） A．120種 B．80種 C．64種 D．20種 【答案】A 【分析】根據題意，先排7個空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空檔，將3人連同座一起安排在空檔上，計算可得答案. 【詳解】根據題意，一并排座位有10個，3人就坐，有7個空座位，將7個空座位排成一排，中間有6個空檔，將3人連同座位一起安排空檔上，有種安排方法， 故答案為：A. 4-5．（2023下·山東濱州·高二階段練習）7人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，甲、乙相鄰，乙、丙不相鄰，則不同排法的種數是（　　） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】C 【分析】先排甲、乙、丙以外的人，再把甲、乙按甲在乙左邊捆好，與丙插兩個空位，并去掉順序，即可得解. 【詳解】先排甲、乙、丙以外的人，再把甲、乙按甲在乙左邊捆好，與丙插兩個空位，并去掉順序， 所以不同的排法種數有（種）. 故選：C． 4-6．（2023上·山西大同·高三統考階段練習）高中數學新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一 二 三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一 必修二不相鄰的排列方法種數是（ ） A．72 B．144 C．48 D．36 【答案】A 【分析】先將選擇性必修有一 二 三這三本書排成一排的方法種數, 先將選擇性必修有一 二 三這三本書排成一排的方法種數，由分步計數原理即可得出答案. 【詳解】先將選擇性必修有一 二 三這三本書排成一排，有種方法， 再將必修一 必修二這兩本書插入兩個空隙中，有種方法， 所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一 必修二不相鄰的排列方法種數是：. 故選：A. 4-7．（2023上·云南昆明·高三校考階段練習）根據新課改要求，昆明市藝卓中學對學校的課程進行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數學、英語、物理、化學、生物這六個科目進行重新編排（排某一天連續六節課的課程，其中每一節課是一個科目），編排課程要求如下：數學與物理不能相鄰，語文與生物要相鄰，則針對這六個課程不同的排課順序共有（ ） A．144種 B．72種 C．36種 D．18種 【答案】A 【分析】由題意知，語文生物相鄰用捆綁法“捆綁法”，先與不受限學科全排列，數學物理不相鄰，用“插空法”后排列，最后要考慮語文生物的順序，根據排列數公式以及分步乘法原理即可求出結果. 【詳解】語文與生物要相鄰，將語文與生物捆綁看作一個整體. 數學與物理不能相鄰，采用插空法，后排. 第一步，將語文與生物捆綁看作一個整體后，與英語、化學共3個，排列種類為； 第二步，第一步完成后共有4個位置，將物理和數學排好，排列種類為； 第三步，語文與生物的排列種類為. 所以，總的排列順序有. 故選：A.
（四） 排列中的定序問題 在有些排列問題中，某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰)，解決這類問題的基本方法有兩種： ①整體法：即若有m＋n個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，先將這m＋n個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法． ②插空法：即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中．
題型5：定序問題 5-1．（2023下·山東棗莊·高二棗莊市第三中學校考階段練習）7個人排成一隊參觀某項目，其中ABC三人進入展廳的次序必須是先B再A后C，則不同的列隊方式有多少種（ ） A．120 B．240 C．420 D．840 【答案】D 【解析】先求出7人排成一列總共多少種排法，再對ABC三人進行定序縮倍即可得解. 【詳解】根據題意，先將7人排成一列，有A77種排法， 其中ABC三人進入展廳的次序必須是先B再A后C，即ABC三人順序一定， 則不同的列隊方式有840種； 故選：D. 【點睛】本題考查了排列中的定序問題，即在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法來解決，本題就用了該方法，屬于中檔題. 5-2．（2023下·山東臨沂·高二統考期中）在某班舉行的“慶五一”聯歡晚會開幕前已排好有8個不同節目的節目單，如果保持原來的節目相對順序不變，臨時再插進去三個不同的新節目，且插進的三個新節目按順序出場，那么共有 種不同的插入方法(用數字作答)． 【答案】165. 【詳解】分析：運用插空法，分別取出個，個，個空來放置，然后再用組合計算答案即可． 詳解：①選出個空有種方法 ②選出個空有種方法 ③選出個空有種方法 綜上有種 故共有種不同的插入方法 點睛：本題主要考查了計數原理，運用了插空法選取不同的空來安排，注意在選取個空時有兩種方法，運用組合原理求解，計算出和，即可得到答案． 5-3．（2023·江蘇·高二專題練習）用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數字的七位數，若1，3，5，7的順序一定，則有 個七位數符合條件． 【答案】210 【分析】根據1，3，5，7的順序一定的排法數只占總排法數的，結合排列數公式，即可求解. 【詳解】若1，3，5，7的順序不定，有(種)排法， 所以1，3，5，7的順序一定的排法數只占總排法數的， 所以共有(個)七位數符合條件. 故答案為：
（五） 數字排列問題 數字排列的常見特殊性：(1)首位不能為0；(2)有無重復數字；(3)奇偶數；(4)某數的倍數；(5)大于(或小于)某數．
題型6：數字排列問題 6-1．（2023·湖北·統考一模）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【詳解】解：由題意知本題需要分步計數， 2和4排在末位時，共有種排法， 其余三位數從余下的四個數中任取三個有24種排法， 根據由分步計數原理得到符合題意的偶數共有2×24＝48（個）． 故選：C． 6-2．（2023·高二課時練習）一個三位數，其十位上的數字既小于百位上的數字也小于個位上的數字(如735，414等)，那么這樣的三位數共有（ ） A．240個 B．249個 C．285個 D．330個 【答案】C 【分析】分十位數字是0、1、2、3、4、5、6、7、8討論，即得解 【詳解】因為十位上的數字既小于百位上的數字也小于個位上的數字， 所以當十位數字是0時有9×9=81種結果， 當十位數字是1時有8×8=64種結果， 當十位數字是2時有7×7=49種結果， 當十位數字是3時有6×6=36種結果， 當十位數字是4時有5×5=25種結果， 當十位數字是5時有4×4=16種結果， 當十位數字是6時有3×3=9種結果， 當十位數字是7時有2×2=4種結果， 當十位數字是8時有1種結果， 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285種結果. 故選：C 6-3．（2023·四川）用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有 A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 【答案】B 【詳解】試題分析：根據題意，符合條件的五位數首位數字必須是4、5其中1個，末位數字為0、2、4中其中1個；進而對首位數字分2種情況討論，①首位數字為5時，②首位數字為4時，每種情況下分析首位、末位數字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數原理可得其情況數目，進而由分類加法原理，計算可得答案． 解：根據題意，符合條件的五位數首位數字必須是4、5其中1個，末位數字為0、2、4中其中1個； 分兩種情況討論： ①首位數字為5時，末位數字有3種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有3×24=72個， ②首位數字為4時，末位數字有2種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有2×24=48個， 共有72+48=120個． 故選B 考點：排列、組合及簡單計數問題． 6-4．（2023·高二課時練習）用0，1，2，3，…，9十個數字可組成不同的： （1）三位數 個； （2）無重復數字的三位數 個； （3）小于500且無重復數字的三位奇數 個． 【答案】 900 648 144 【分析】（1）先考慮百位上數字，然后依次考慮十位和個數數字，用分步乘法原理； （2）先考慮百位上數字，然后依次考慮十位和個數數字（注意不重復媽可），用分步乘法原理； （3）首位有4種選擇，十位和個位數字任意選擇，由乘法原理可得． 【詳解】（1）由于0不能在百位，所以百位上的數字有9種選法，十位與個位上的數字均有10種選法，所以不同的三位數共有9×10×10＝900(個)． （2）百位上的數字有9種選法，十位上的數字有除百位上的數字以外的9種選法，個位上的數字應從剩余8個數字中選取，所以共有9×9×8＝648(個)無重復數字的三位數． （3）小于500的無重復數字的三位奇數，應滿足的條件是：首位只能從1，2，3，4中選，個位必須為奇數，按首位分兩類： 第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，所以共有4×8×2＝64(種)； 第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，所以共有5×8×2＝80(種)． 由分類加法計數原理知，共有64＋80＝144(種)． 故答案為：900，648，144
一、單選題
1．（2023上·吉林四平·高二四平市第一高級中學校考階段練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法？
【答案】D
【分析】根據排列的定義逐個選項辨析即可.
【詳解】A中握手次數的計算與次序無關，不是排列問題；
B中線段的條數計算與點的次序無關，不是排列問題；
C中子集的個數與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；
D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．
故選：D
2．（2023下·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？
B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？
【答案】B
【分析】排列問題是與順序問題有關的問題，只有B選項涉及順序，由此可得結果.
【詳解】對于A，名同學中選取名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；
對于B，個人互相通信，涉及到順序問題，是排列問題，B正確；
對于C，個點中任取點，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；
對于D，個數字中任取個，根據乘法交換律知結果不涉及順序，不是排列問題，D錯誤.
故選：B.
3．（2023下·廣東茂名·高二統考期中）甲 乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數為（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先排甲，有2種方法，然后乙和丙全排列即可.
【詳解】先排甲，有2種方法，然后乙和丙全排列即可，所以共有種排法.
故選：B.
4．（2023下·湖北·高二統考期末）甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則不同站法的種數有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．60種
【答案】C
【分析】根據題意，分2步進行分析:由于老師站在正中間，易得老師的站法，將甲、乙、丙、丁全排列，安排在兩邊4個位置，由分步乘法計數原理計算可得答案.
【詳解】根據題意，若老師站在正中間，則站法只有1種，將甲、乙、丙、丁全排列，安排在兩邊4個位置，有種情況，
由分步乘法計數原理知共有種，故選：C.
【點睛】本題主要考查排列組合的應用，注意優先滿足受到限制的元素，屬于基礎題.
5．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中）將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學，每名同學至多1張，并且票必須分完，那么不同的分法的種數為（ ）
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5
【答案】D
【分析】由于參觀票只有4張，而人數為5人，且每名同學至多1張，故一定有1名同學沒有票，即可求得結果．
【詳解】由于參觀票只有4張，而人數為5人，且每名同學至多1張，故一定有1名同學沒有票，
因此從5名同學中選出1名沒有票的同學，有5種選法．
又因為4張參觀票是相同的，不加以區分，所以不同的分法有5種．
故選：D
6．（2023上·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學校考階段練習）某學習小組共5人，約定假期每兩人相互微信聊天，共需發起的聊天次數為（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【詳解】由題意，微信聊天次數沒有先后順序之分，所以共需發起的聊天次數為5×4＝10.
7．（2023下·高二課時練習）從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
【答案】C
【解析】根據題意依次列出即可.
【詳解】解：若選出的是甲、乙，
則站法有甲乙、乙甲；
若選出的是甲、丙，則站法有甲丙、丙甲；
若選出的是乙、丙，則站法有乙丙、丙乙.
故選：C.
8．（2023·高二課時練習）滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數為（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求不同的火車票的種數.
【詳解】對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種)
故選：B.
9．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶市天星橋中學校考階段練習）從5本不同的書中選兩本送給2名同學，每人一本，則不同的送書方法的種數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【答案】C
【分析】計算從5個不同元素中取出2個元素的排列數即可.
【詳解】此問題相當于從5個不同元素中取出2個元素的排列數，
即共有=20(種)不同的送書方法.
故選：C.
10．（2023·全國·高二專題練習）由1，2，3，4這四個數字組成的首位數字是1，且恰有三個相同數字的四位數的個數為( )
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】利用數形圖將滿足條件的四位數逐一列出即可.
【詳解】本題要求首位數字是1，且恰有三個相同的數字，用樹形圖表示為：
由此可知共有12個符合題意的四位數．
故選：B
11．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫院采訪，則不同的采訪順序有（ ）
A．4種 B．12種 C．18種 D．24種
【答案】D
【分析】由全排列的知識進行計算可得答案.
【詳解】解：由題意可得不同的采訪順序有種，
故選：D.
【點睛】本題主要考查排列組合中的全排列的知識，考查對基礎知識的了解，屬于基礎題.
12．（2023·高二課時練習）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排列數的計算公式即可得出結果.
【詳解】A，，
B，，
C，，
D，，
故選：C
13．（2023·高二課時練習）已知，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根據排列數的計算公式，進行計算即可.
【詳解】，
化簡得，所以.
故選：B
14．（2023下·高二課時練習）不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用排列數公式和排列數的性質，列出方程求得，結合，即可求解.
【詳解】由，可得，整理得，解得，
又因為，解得，
綜上可得，又由 所以.
故選：D.
15．（2023下·新疆喀什·高二統考期末）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有（ ）種不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
【答案】A
【分析】確定是排列問題，根據排列數的計算，可得答案.
【詳解】由題意得，從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，
共有種不同的送法，
故選:A
16．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可能的分配方法有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】C
【分析】由排列及分步乘法計數原理求解.
【詳解】司機、售票員各有種分配方法，由分步乘法計數原理知，共有種不同的分配方法.
故選：C
17．（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）現有10名學生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（ ）種.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，分3步進行分析：①，將4名男生分成1、3的兩組，②，將6名女生全排列，排好后有7個空位，③，將分好的2組安排到7個空位中，由分步計數原理計算可得答案．
【詳解】解：根據題意，分3步進行分析：
①，將4名男生分成1、3的兩組，有種分組方法，其中三人組三人之間的順序有種，
②，將6名女生全排列，有種情況，排好后有7個空位，
③，將分好的2組安排到7個空位中，有種情況，
則不同的排法有種，
故選：D．
18．（2023下·寧夏·高二階段練習）要從a，b，c，d，e 5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數是（ ）
A．20 B．16 C．10 D．6
【答案】B
【分析】利用間接法，先求總的選2人擔任正副組長的選法，再減去當副組長的情況，即為所求．
【詳解】不考慮限制條件5人中選2人擔任正副組長有種選法，若a當副組長，有種選法，
故a不當副組長，有 (種)選法.
故選：B
19．（2023·高二課時練習）五聲音階是中國古樂的基本音階，五個音分別稱為宮 商 角 徵 羽，如果將這五個音排成一排，宮 羽兩個音不相鄰，且位于角音的同側，則不同的排列順序有（ ）
A．20種 B．24種 C．32種 D．48種
【答案】C
【分析】根據角音所在的位置分兩類，根據分步乘法和分類加法計數原理即可求解.
【詳解】根據角音所在的位置按從左到右依次為位置一 二 三 四 五分兩類：
第一類，角音排在位置一或五，則不同的排列順序有（種）；
第二類，角音排在位置二或四，則不同的排列順序有（種）；
根據分類加法計數原理，可得不同的排列順序共有（種）.
故選：C.
20．（2023下·山西朔州·高二校考階段練習）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（ ）
A．60種 B．80種 C．100種 D．120種
【答案】D
【分析】利用排列的定義直接列式求解.
【詳解】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共（種）．
故選:D．
21．（2023·新疆·統考一模）如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動路線，則從數字“1”到“7”，漏掉兩個數字的移動路線條數為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】分類分步排列即可.
【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，
故選：B.
22．（2023·高二課時練習）某班有4名同學報名參加校運會的五個比賽項目，每人參加一項且各不相同，則不同的報名方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】根據題意應用排列計算求解.
【詳解】由題可知不同的報名方法數為從5個不同元素中取出4個元素的排列數，
所以不同的報名方法有種.
故選：C.
23．（2023下·山東菏澤·高二統考期中）將3張不同的奧運會門票分給6名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數是（ ）
A．240 B．120 C．60 D．40
【答案】B
【分析】由排列的定義即可求解.
【詳解】解：因為將3張不同的奧運會門票分給6名同學中的3人，每人1張，
所以不同分法的種數為，
故選：B.
24．（2023下·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯考期中）兩位同學分別從甲、乙、丙3門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法共有( )種
A．9 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根據題意，問題可看作有順序的排列問題，三門課選兩門分給兩位同學，根據排列的計算方法即可計算．
【詳解】兩位同學分別從甲、乙、丙3門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法共有種﹒
故選：B﹒
二、多選題
25．（2023下·高二課前預習）(多選)從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做以下數學運算，并分別計算它們的結果．在這些問題中，相應運算可以看作排列問題的有（ ）
A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法
【答案】BD
【詳解】因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法和乘法時，結果與兩數字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數字的位置有關，故是排列問題，故選BD.
26．（2023·高二課時練習）（多選）從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個元素，下列四個問題屬于排列問題的是（ ）.
A．相加可得多少個不同的和
B．相除可得多少個不同的商
C．作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點為x軸上的橢圓方程
D．作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程
【答案】BD
【分析】利用排列的定義對四個選項一一判斷.
【詳解】對于A：因為加法滿足交換律，所以A不是排列問題；故A錯誤；
對于B：因為除法不滿足交換律，如，所以B是排列問題；
對于C：若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關系一定.所以C不是排列問題；
對于D：在雙曲線中不管a＞b還是a＜b，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故D是排列問題.
故選：BD.
27．（2023下·安徽滁州·高二校考期末）下列各式中與排列數相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用排列數公式，逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，由排列數公式知，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：AD
28．（2023下·江蘇蘇州·高二蘇州市蘇州高新區第一中學校考階段練習）下列等式正確的是（　　）
A． B．
C．！ D．
【答案】ACD
【分析】根據階乘和排列數的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．
【詳解】對于A，，選項A正確；
對于B，，所以選項B錯誤；
對于C，，選項C正確；
對于D， ，選項D正確．
故選：ACD．
三、填空題
29．（2023·江蘇·高二專題練習）給出下列問題：
①有10位同學，每兩人互通一次電話，共通了多少次電話？
②有10位同學，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？
③有10位同學，每兩人互握一次手，共握了多少次手？
以上問題中，屬于排列問題的是 ．（寫出所有滿足要求的問題序號）
【答案】②
【分析】根據排列的定義判斷即可
【詳解】對于①，假設10位同學中含甲乙，甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區別，故不是排列問題；
對于②，假設10位同學中含甲乙，甲給乙寫一封信，跟乙給甲寫一封信，是不一樣的，是有順序區別的，故屬于排列問題；
對于③，假設10位同學中含甲乙，甲與乙握一次手，也就是乙與甲握一次手，沒有順序區別，故不是排列問題，
故答案為：②
30．（2023·高二課時練習）計算： ．
【答案】
【分析】由階乘及排列數定義可得答案.
【詳解】，
則.
故答案為：.
31．（2023·高二課時練習）學號分別為1，2，3，4的四位同學排成一排，若學號相鄰的同學不相鄰，列舉出所有不同的排列： ．
【答案】3142，2413
【分析】可以考慮先排1，2，有種方法，此時1，2之間必須插入4，有1種方法，3必須選擇與1相鄰的另一側，根據計數原理即可得答案．
【詳解】先排學號1，2的同學，有2種方法，此時1，2之間必須插入4，有1種方法，3必須選擇與1相鄰的另一側，故所有不同的排列為：3142，2413，
故答案為：3142，2413
32．（2023·江蘇·高二專題練習）從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成 個以b為首的不同的排列，它們分別是 ．
【答案】 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
【分析】根據題意首位確定為b，則只需確定后面的兩個元素即可（畫出樹狀圖得出答案）．
【詳解】畫出樹形圖如下：
可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．
故答案為：12；bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．
33．（2023·高二課時練習）3盆不同品種的花排成一排，共有 種不同的排法.
【答案】6
【分析】根據全排列的定義即可計算.
【詳解】由于花的品種不同，第一個位置有3種放法，于是第二個位置，第三個位置分別有2種，1種放法，于是共有3×2×1＝6(種)不同的排法.
故答案為：6
34．（2023·高二課時練習）有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質的4塊地里，有 種不同的種法.
【答案】1680
【分析】本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題，根據排列公式計算即可.
【詳解】解析:將4塊不同土質的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質的地里，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題，
所以不同的種法共有=8×7×6×5=1680(種).
故答案為：1680.
35．（2023·高二課時練習）王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.
（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有 種不同的帶法；
（2）若帶外語、數學、物理參考書各1本，則有 種不同的帶法；
（3）若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有 種不同的帶法.
【答案】 12 60 47
【分析】（1）根據分類加法計數原理求解即可.
（2）根據分步乘法計數原理求解即可.
（3）首先根據題意分成三類，第一類：選1本外語書和選1本數學書，第二類：選外語書、物理書各1本，第三類：選數學書、物理書各1本，分別計算其選法，再相加即可.
【詳解】（1）完成的事情是帶1本書，無論帶外語書，還是數學書、物理書，事情都已完成，
從而確定應用分類加法計數原理，結果為5+4+3=12種.
（2）完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數原理，結果為5×4×3=60種.
（3）選1本外語書和選1本數學書應用分步乘法計數原理，有5×4=20種選法；
同樣，選外語書、物理書各1本，有5×3=15種選法；
選數學書、物理書各1本，有4×3=12種選法.
即有三類情況，應用分類加法計數原理，結果為20+15+12=47種.
故答案為：12；60；47
36．（2023·浙江·校聯考模擬預測）將1，2，3，4，5，6，7，8八個數字排成一排，滿足相鄰兩項以及頭尾兩項的差均不大于2，則這樣的排列方式共有 種.（用數字作答）
【答案】
【分析】根據題意可將該排列問題看成一個圓環上有1，2，3，4，5，6，7，8八個數字使其滿足題意要求進行擺放，有兩種情形，然后再將此圓環分別從某一個數字處剪開排成一列，一個作為頭一個作為尾，由此即可求出結果.
【詳解】根據題意可將該排列問題看成一個圓環上有1，2，3，4，5，6，7，8八個數字使其滿足題意要求進行擺放，有兩種情形，如下圖所示:
然后再將此圓環分別從某一個數字處剪開排成一列，一個作為頭一個作為尾，則每一個圓環有8種剪開方式情況，故滿足題意的有種.
故答案為：.
37．（2023·高二課時練習）用排列數符號表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） （且）．
【答案】
【分析】根據排列數公式逆用即可.
【詳解】（1）；
（2），
（3）
38．（2023·廣東）某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了 條畢業留言．（用數字作答）
【答案】1560
【詳解】試題分析：通過題意，列出排列關系式，求解即可．
解：某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了=40×39=1560條．
故答案為1560．
點評：本題考查排列數個數的應用，注意正確理解題意是解題的關鍵．
39．（2023下·廣西玉林·高二校考期中）七位同事（四男三女）輪值辦公室每周的清潔工作，每人輪值一天，其中男同事甲必須安排周日清潔，且三位女同事任何兩位的安排不能連在一起，則不同的安排方法種數是 （用數字作答）
【答案】144
【分析】優先安排男同事甲在星期日輪值有1種，再安排其余3位男同事作全排列有，最后安排女同事插在三個男同事中有，最后根據分步用乘法的原理得：.
【詳解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日輪值有1種，
第二步：其余3位男同事作全排列有，
第三步：因為三位女同事任何兩位的安排不能連在一起，所以后3位女同事插空安排有，
分步完成共有方法種數為：.
故答案為：144.
【點睛】本題主要考查分步計數原理與排列，屬于中檔題.
40．（2023上·陜西渭南·高三校聯考階段練習）生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“五經”是儒家典籍《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經”知識講座，每經排1節，連排5節，則滿足《詩經》必須排在后2節，《周易》和《禮記》必須分開安排的情形共有 ．
【答案】28
【分析】對《詩經》的位置分兩種情況（位于第4節和第5節）討論，利用間接法列式計算得解.
【詳解】當《詩經》位于第5節時，《周易》和《禮記》相鄰有3種情形，且《周易》和《禮記》排序有種，剩下的排序也有種，因此滿足條件的情形有種；
當《詩經》位于第4節時，《周易》和《禮記》相鄰有2種情形，《周易》和《禮記》排序有種，剩下的排序也有種，此時滿足條件的情形有種．
所以滿足條件的情形共有種．
故答案為：28
41．（2023下·天津·高三天津一中階段練習）由組成沒有重復數字且都不與相鄰的六位偶數的個數是
【答案】108
【分析】根據分步計數原理與分類計數原理分類討論列式求解.
【詳解】先確定個位數為偶數，有3種方法，再討論：若5在首位或十位，則1，3有三個位置可選，其排列數為;若5在百位、千位或萬位，則1，3有兩個位置可選，其排列數為;從而所求排列數為
【點睛】本題考查排列組合應用，考查基本分析求解能力，屬基本題.
42．（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）西湖龍井茶素來有“綠茶皇后”“十大名茶之首”的稱號，按照產地品質不同，西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅”五個字號．某茶文化活動給西湖龍井茶留出了三個展臺的位置，現在從五個字號的產品中任意選擇三個字號的茶參加展出活動，如果三個字號中有“獅、梅”，則“獅”字號茶要排在“梅”字號茶前（不一定相鄰），則不同的展出方法有 種．（用數字作答）
【答案】51
【分析】分當選出的字號中沒有“獅、梅”，有“獅梅”中的一種，“獅、梅”都有，三種情況討論分別求解，然后再求和即得.
【詳解】當選出的字號中沒有“獅、梅”時，共有種展出的方法；
當選出的字號中有“獅梅”中的一種時，共有種展出的方法；
當選出的字號中“獅、梅”都有時，共有種展出的方法,
所以共有種不同的展出方法．
故答案為：51.
43．（2023下·北京大興·高二統考期中）從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，則不同的安排方法數是 .（結果用數字作答）
【答案】
【分析】根據題意，結合排列數的公式，即可求解.
【詳解】從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，
則不同的安排方法數是.
故答案為：.
44．（2023下·天津紅橋·高二天津三中校考期末）在A，B，C，D四位學生中，選出兩人擔任正、副班長，共有選法 種．
【答案】12
【分析】先從A，B，C，D四位學生中，選出兩人，再安排正、副班長即可.
【詳解】先從A，B，C，D四位學生中，選出兩人，再安排正、副班長即可，
共有：中選法.
故答案為：12.
四、解答題
45．（2023·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互打電話．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)不是
(5)是
(6)是
【分析】根據排列定義分別判斷即可.
【詳解】(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．
46．（2023下·高二課時練習）計算：和
【答案】2730；720
【分析】根據排列數的計算公式計算即可
【詳解】，
.
47．（2023·高二課時練習）寫出所有由1，2，3，4這四個數字排成的沒有重復數字的四位數．
【答案】答案見詳解
【分析】直接寫出即可
【詳解】由1，2，3，4這四個數字排成的沒有重復數字的四位數有：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.
48．（2023·高二課時練習）某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？
【答案】30
【分析】安排一場比賽，可先安排一支主隊，再剩余的中安排一支客隊即可，由分步乘法計數原理求解，也可直接轉化為排列問題求解.
【詳解】法一，可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊．按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為．
法二，根據主客場比賽，一場比賽就是在6個隊中選兩個隊的一個排列，
故有種安排方法，即每組共進行30場比賽.
49．（2023·高二課時練習）（1）從四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？
（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．
【答案】（1）12；（2）答案見解析
【分析】用樹形圖列出所有的排列，即可得答案.
【詳解】（1）由題意作“樹形圖”，如下．
故組成的所有兩位數為，共有12個．
（2）由題意作“樹形圖”，如下．
故所有的排列為：，.
50．（2023·高二課時練習）請列出下列排列：
(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；
(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）（2）根據排列的定義將所求排列逐一列出，做到不多不漏即可.
【詳解】（1）根據題意，從4個不同元素中任取3個元素的所有排列共有如下種：
.
（2）從7個不同元素中任取2個元素的所有排列共有如下種：
.
51．（2023·高二課時練習）某藥品研究所研制了5種消炎藥，，，，，4種退熱藥，，，，現從中取2種消炎藥和1種退熱藥同時進行療效試驗，但，兩種藥或同時用或同時不用，，兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同的試驗方法.
【答案】答案見詳解．
【分析】根據題意直接寫出所有試驗方法即可．
【詳解】寫出所有不同的試驗方法如下：
，，，，，，，，，
，，，，，共14種.
52．（2023·高二課時練習）從甲、乙、丙三名學生中任意安排2名學生參加數學、外語兩個課外小組的活動，共有多少種不同的安排方案？請畫出相應的樹狀圖，并解答．
【答案】共6種安排方案，樹狀圖見解析
【分析】根據題意畫出樹狀圖即可求解
【詳解】樹狀圖如圖所示
，
由樹狀圖可知，共有6種不同的安排方案
53．（2023·全國·高二專題練習）將A，B，C，D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹形圖列出所有可能的排法．
【答案】答案見解析
【分析】依題意分類討論，按樹形圖要求羅列即可.
【詳解】樹形圖(如圖)：
由樹形圖知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
54．（2023·高二課時練習）寫出下列問題的所有排列：
（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？
（2）兩名老師和兩名學生合影留念，寫出老師不在左端且相鄰的所有可能的站法，并回答共有多少種？
【答案】（1）12種；（2）站法見解析，8種．
【分析】（1）根據每一個起點和終點情況畫圖即可得結果；
（2）由于老師不站左端，故左端位置上只能安排學生，畫樹狀圖即可得結果．
【詳解】（1）列出每一個起點和終點情況，如圖所示．
故符合題意的機票種類有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種；
（2）由于老師不站左端，故左端位置上只能安排學生．設兩名學生分別為A，B，兩名老師分別為M，N，此問題可分兩類：
由此可知，所有可能的站法為AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8種．
55．（2023高一數學）用一顆骰子連擲三次，投擲出的數字順序排成一個三位數，此時：
（1）各位數字互不相同的三位數有多少個？
（2）可以排出多少個不同的三位數？
【答案】（1）120；（2）216．
【分析】根據排列定義及分步乘法的計算原理即可求解結果．
【詳解】（1）三位數的每位上數字均為1，2，3，4，5，6之一．
第一步，得首位數字，有6種不同結果；
第二步，得十位數字，有5種不同結果；
第三步，得個位數字，有4種不同結果．
故可得各位數字互不相同的三位數有6×5×4＝120(個)；
（2）三位數，每位上數字均可從1，2，3，4，5，6六個數字中得一個，共有這樣的三位數有6×6×6＝216(個)．
56．（2023·高二課時練習）從0，1，2，3這四個數字中，每次取出三個不同的數字排成一個三位數.
（1）能組成多少個不同的三位數，并寫出這些三位數.
（2）若組成這些三位數中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數共有多少個，并寫出這些三位數.
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.
【分析】（1）根據分步乘法計數原理分步排列，結合樹狀圖即可求解；
（2）結合樹狀圖即可求解；
【詳解】(1)組成三位數分三個步驟：
第一步：選百位上的數字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；
第二步：選十位上的數字，有3種不同的排法；
第三步：選個位上的數字，有2種不同的排法.
由分步乘法計數原理得共有3×3×2＝18(個)不同的三位數.
畫出下列樹形圖：
由樹形圖知，所有的三位數為：
102，103，120，123，130，132，201，203，210，
213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接畫出樹形圖：
由樹形圖知，符合條件的三位數有8個：
201，210，230，231，301，302，310，312.
57．（2023·高二課時練習）（1）有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？
（2）有7種不同的書（每種不少于3本），要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多 少種不同的送法？
【答案】(1)210 (2)343
【分析】（1）7本書選3本送給3名同學，每名同學不能取同一本書，進而根據排列公式得到答案；
（2）7種不同的書選3本送給3名同學，每名同學可以選同一類書，進而按照分步乘法計數原理求得答案.
【詳解】（1）從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有(種)不同的送法.
（2）從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，每一次有7種選法，根據分步乘法計數原理，共有不同的送法7×7×7＝343(種).
58．（2023上·陜西渭南·高二渭南市華州區咸林中學校考階段練習）從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．
【答案】答案見解析
【分析】給“語文、數學、英語、物理”編號，依次1，2，3，4，畫出樹形圖，然后根據樹形圖一一列舉．
【詳解】解：從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應著一種分法，所以共有（種）不同的分法．不妨給“語文、數學、英語、物理”編號，依次1，2，3，4，畫出樹形圖如圖．
由樹形圖可知，按甲、乙、丙的順序分的分法為：
語數英 語數物 語英數 語英物 語物數 語物英
數語英 數語物 數英語 數英物 數物語 數物英
英語數 英語物 英數語 英數物 英物語 英物數
物語數 物語英 物數語 物數英 物英語 物英數
59．（2023下·高二課時練習）三個女生和五個男生排成一排．
(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
【答案】(1)4320
(2)14400
(3)14400
(4)36000
【分析】（1）捆綁法求解；（2）插空法解決；（3）可用位置分析法、間接法或者元素分析法解決； （4）可用位置分析法或者間接法解決.
【詳解】（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有種不同的排法，對于其中的每一種排法，三個女生之間又有種不同的排法．
因此共有＝4320（種）不同的排法．
（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有種排法.
因此共有＝14 400（種）不同的排法．
（3）方法一：（位置分析法）因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有種不同的排法.所以共有＝14400（種）不同的排法．
方法二：（間接法）三個女生和五個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有種不同的排法.
所以共有＝14400（種）不同的排法．
方法三：（元素分析法）從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有種不同的排法.
所以共有＝14400（種）不同的排法．
（4）方法一：（位置分析法）因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有種不同的排法.
因此共有＝36000（種）不同的排法．
方法二：（間接法）三個女生和五個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法種，就得到兩端不都是女生的排法種數．
因此共有＝36000（種）不同的排法．
60．（2023下·高二課時練習）（1）用排列數表示且；
（2）化簡：．
【答案】（1） ；（2）.
【分析】根據排列數的計算公式，結合題意，即可求解.
【詳解】（1）因為中最大的數為，共有個數，
根據排列數公式，可得；
（2）由排列數公式，可得.
61．（2023下·高二課時練習）解不等式：
【答案】
【分析】利用排列數的計算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意可知，且，
因為，，，
所以原不等式可化為，
整理得，解得，所以原不等式的解集為.
62．（2023·高二課時練習）求證：．
【答案】證明見詳解
【分析】利用排列數的計算公式即可證明.
【詳解】左邊，
右邊，
所以，即證.
63．（2023·江蘇·高二專題練習）證明：.
【答案】見解析
【詳解】
,.
64．（2023下·廣東佛山·高二南海中學校考階段練習）（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求和：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.
【分析】按照階乘的定義即可求解.
【詳解】（1）證明：．
（2）證明：．
（3）由（2）知，
所以；
綜上，.
65．（2023下·高二課時練習）7人站成一排．
(1)甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方法？
【答案】(1)2520
(2)840
【分析】（1）7人站成一排，甲在乙前面的排法種數占全體排列種數的一半可得.
（2）7人站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰）占全排列種數的，可得.
【詳解】（1）甲在乙前面的排法種數占全體排列種數的一半，故有（種）不同的排法．
（2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數占全排列種數的，故有（種）不同的排法．
66．（2023下·高二課時練習）從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題．
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
【答案】(1)2160
(2)1800
(3)1200
(4)1860
【分析】（1）方法一：分含甲和不含甲，含甲優先安排利用分步乘法原理可得；方法二：先對首位安排人，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；方法三：間接法，先求出總的排列數，然后去掉甲在首位的即可求得；
（2）先安排首尾兩個位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；
（3）先安排首尾兩個位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；
（4）間接法，總的排列數減去甲在首位排列數，再減去乙在末位的排列數，最后加上甲在首位同時乙在末位的排法數.
【詳解】（1）方法一：把元素作為研究對象：
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名放在5個位置上，有種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在沒有甲的位置上，有種排法．根據分步乘法計數原理，有4×種排法．
由分類加法計數原理知，共有＋4×＝2160（種）排法．
方法二：把位置作為研究對象，
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有種方法；
第二步，從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有種方法；由分步乘法計數原理知，共有＝2160（種）排法.
方法三：（間接法）先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉，不考慮甲在首位的要求，總的可能情況有種，甲在首位的情況有種，所以符合要求的排法有－＝2160（種）.
（2）把位置作為研究對象，先考慮特殊位置.
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有種方法；
根據分步乘法計數原理，共有＝1800（種）方法.
（3）把位置作為研究對象.
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有種方法．
根據分步乘法計數原理，共有＝1200（種）方法.
（4）總的可能情況有種，減去甲在首位的種排法，再減去乙在末位的種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數被減去了兩次，所以還需補回一次種排法，所以共有－2＋＝1860（種）排法.
67．（2023下·海南·高二校考期中）用0、1、2、3、4五個數字:
(1)可組成多少個五位數；
(2)可組成多少個無重復數字的五位數；
(3)可組成多少個無重復數字的且是3的倍數的三位數；
(4)可組成多少個無重復數字的五位奇數．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】四個問題是同一類型題根據已知討論各個位置上的數字情況，然后利用分步乘法計數原理進行計算即可求解.
【詳解】（1）用0、1、2、3、4五個數字組成五位數,相當于從1、2、3、4四個數字中抽取一個放在萬位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在千位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在百位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在十位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在個位，有種情況，
所以可組成個五位數.
（2）用0、1、2、3、4五個數字組成無重復數字的五位數,相當于先從1、2、3、4四個數字中抽取一個放在萬位，有種情況，再把剩下的三個數字和0全排列，有種情況，所以可組成個無重復數字的五位數.
（3）無重復數字的3的倍數的三位數組成它的三個數字之和必須是3的倍數，
所以三個數字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三個數字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數字和0全排列，有種情況；
若三個數字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數字和0全排列，有種情況；
若三個數字是1、2、3，則相當于對這三個數字全排列，有種情況;
若三個數字是2、3、4，則相當于對這三個數字全排列，有種情況.
所以根據分類計數原理，共可組成
個無重復數字的且是3的倍數的三位數.
（4）由數字0、1、2、3、4五個數字組成無重復數字的五位奇數，則放在個位的數字只能是奇數，所以放在個位數字只能是1或3，所以相當于先從1、3兩個數字中抽取一個放在個位，有種情況，再從剩下的四個數字中除去0抽取一個放在萬位，有種情況，再對剩下的三個數字全排列，有種情況，
所以可組成個無重復數字的五位奇數.
68．（2023下·安徽安慶·高二安徽省懷寧中學校考期中）已知10件不同的產品中有4件次品，現對它們一一測度，直至找到所有4件次品為止．
（1）若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
（2）若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？
【答案】（1）86400；（2）8520.
【分析】（1）首先考慮第2次和第8次的可能情況，再分析第3到7次的可能情況，結合分步計數原理即可求出結果；
（2）分別三類：檢測4次可測出4件次品，檢測5次可測出4件次品，以及檢測6次測出4件次品或6件正品，然后結合分類計數原理即可求出結果.
【詳解】（1）若恰在第2次測試時，才測到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐個抽取測試，
第2次測到第一件次品有4種方法；
第8次測到最后一件次品有3種方法；
第3至第7次抽取測到最后兩件次品共有種方法；剩余4次抽到的是正品，共有＝86400種抽法．
（2）檢測4次可測出4件次品，不同的測試方法有種，
檢測5次可測出4件次品，不同的測試方法有種；
檢測6次測出4件次品或6件正品，則不同的測試方法共有種．
由分類計數原理，知滿足條件的不同測試方法的種數為＝8520種.
69．（2023·全國·高三專題練習）現有8個人男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？
(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？
(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）利用捆綁法，然后將內部和整體全排列即可；
（2）直接將剩下的7人全排列即可；
（3）先安排甲乙，然后將剩下的人全排列即可；
（4）先將出甲乙之外的6人全排列，然后將甲乙插入即可；
（5）直接全排列，然后除二即可；
（6）先將出甲乙丙之外的5人全排列，然后插入甲乙丙即可；
（7）將3名女生和5名男生分別看成一個整體，然后對內部和整體全排列即可；
（8）先在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，剩下的人全排列即可；
（9）先將甲乙兩人安排在后面的5個位置，剩下的人全排列即可；
（10）將5名男生全排列，然后將女生插入空隙即可.
【詳解】（1）根據題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，
將這個整體與5名男生全排列，有種情況，
則女生必須排在一起的排法有種；
（2）根據題意，甲必須站在排頭，有1種情況，
將剩下的7人全排列，有種情況，
則甲必須站在排頭有種排法；
（3）根據題意，將甲乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，
將剩下的6人全排列，有種情況，
則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；
（4）根據題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有種情況，排好后有7個空位，
則7個空位中，任選2個，安排甲乙二人，有種情況，
則甲、乙兩人不相鄰有種排法；
（5）根據題意，將8人全排列，有種情況，
其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數目相同，
則甲在乙的左邊有種不同的排法；
（6）根據題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有種情況，排好后有6個空位，
則6個空位中，任選3個，安排甲乙丙三人，有種情況，
其中甲乙丙不能彼此相鄰有種不同排法；
（7）根據題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，
再將5名男生看成一個整體，考慮5人之間的順序，有種情況，
將男生、女生整體全排列，有種情況，
則男生在一起，女生也在一起，有種不同排法；
（8）根據題意，在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，有種情況，
將剩下的6人全排列，有種情況，
則第3和第6個排男生，有種不同排法；
（9）根據題意，將甲乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，
將剩下的6人全排列，有種情況，
甲乙不能排在前3位，有種不同排法；
（10）根據題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，
在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，
則女生兩旁必須有男生，有種不同排法.
70．（2023下·高二課時練習）求證：（1）；
（2）.
【答案】見詳解.
【分析】（1）根據排列數的計算公式展開，通過計算即可證明式子成立；
（2）利用階乘的計算公式進行展開，通分，通過計算即可證明式子成立.
【詳解】（1）左邊
右邊，
∴結論成立，即；
（2）當時，
左邊
右邊，
∴結論成立，即.6.2.1 排列6題型分類
一、排列概念
1.排列的定義：
從個不同元素中，任取個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從不同元素中取出個元素的一個排列.
2.要點詮釋:
（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
二、排列數
1.排列數的定義：
從個不同元素中，任取個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示.
2.要點詮釋:
“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
三、排列數公式
1..
2.要點詮釋:
公式特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數.
四、階乘
1．階乘的概念：
表示正整數到的連乘積，叫做的階乘．規定．
2.排列數公式的階乘式：
.
五、排列的常見類型與處理方法
1.相鄰元素捆綁法
2.相離問題插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
（一） 與排列數有關的運算 1、排列數： （1）排列數的定義：從個不同元素中，任取個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示. （2）排列數公式：. （3）階乘：表示正整數到的連乘積，叫做的階乘．規定． （4）排列數的階乘式： 2、排列數公式的應用 （1）排列數的第一個公式適用于具體計算以及解當較小時的含有排列數的方程和不等式． （2）排列數的第二個公式適用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等問題．在具體運用時，應注意先提取公因式，再計算，同時還要注意隱含條件“”的運用．
題型1：與排列數有關的運算 1-1．（2023·高二課時練習）等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 1-2．（2023下·陜西·高二校聯考階段練習）可以表示為( )． A． B． C． D． 1-3．（2023下·江蘇南通·高二統考期末）若，則（ ） A． B． C． D． 1-4．（2023·高二課時練習）＝ ． 1-5．（2023下·山東臨沂·高二統考期中） ． 1-6．（2023·高二課時練習）（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 1-7．（2023下·寧夏銀川·高二校考期末）已知，則 ． 1-8．（2023·高二課時練習）求證： (1)； (2)．
（二） 無限制條件的排列問題 典型的排列問題，用排列數計算其排列方法數；若不是排列問題，需用計數原理求其方法種數．排列的概念很清楚，要從“n個不同的元素中取出m個元素”．即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數原理解決的問題中，元素可以重復選取．
題型2：無限制條件的排列問題 2-1．（2023下·高二課時練習）甲 乙 丙三名同學排成一排，不同的排列方法有（ ） A．3種 B．4種 C．6種 D．12種 2-2．（2023下·江西南昌·高二南昌市八一中學校考階段練習）6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為（ ） A．36 B．120 C．720 D．240 2-3．（2023下·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）有3名大學畢業生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有 種不同的招聘方案．(用數字作答)
（三） 排隊問題 1．“處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則． ①元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列． ②元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素． 2．解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優先．從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．
題型3：相鄰問題 3-1．（2023·河南平頂山·汝州市第一高級中學校考模擬預測）某晚會上需要安排4個歌舞類節目和2個語言類節目的演出順序，要求語言類節目之間有且僅有2個歌舞類節目，則不同的演出方案的種數為（ ）． A．72 B．96 C．120 D．144 3-2．（2023·四川攀枝花·統考二模）甲、乙、丙、丁、戊5名學生站成一排．甲、乙要相鄰．且甲不站在兩端，則不同的排法種數 ． 3-3．（2023·遼寧）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為 A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！
題型4：不相鄰問題 4-1．（2023下·高二課時練習）高三（一）班學生要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求2個舞蹈節目不連排，則共有 種不同的排法． 4-2．（2023下·江西·高二九江一中校考期末）5人隨機排成一排，其中甲、乙不相鄰的概率為（ ） A． B． C． D． 4-3．（2023下·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區新豐中學校考期中）三位老師和三位學生站成一排，要求任何兩位學生都不相鄰，則不同的排法種數為（ ） A．72 B．144 C．36 D．12 4-4．（2023上·上海虹口·高二上海市復興高級中學校考期末）甲 乙 丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個位置中的3個，因疫情防控的需要（這一排沒有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（ ） A．120種 B．80種 C．64種 D．20種 4-5．（2023下·山東濱州·高二階段練習）7人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，甲、乙相鄰，乙、丙不相鄰，則不同排法的種數是（　　） A．60 B．120 C．240 D．360 4-6．（2023上·山西大同·高三統考階段練習）高中數學新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一 二 三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一 必修二不相鄰的排列方法種數是（ ） A．72 B．144 C．48 D．36 4-7．（2023上·云南昆明·高三校考階段練習）根據新課改要求，昆明市藝卓中學對學校的課程進行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數學、英語、物理、化學、生物這六個科目進行重新編排（排某一天連續六節課的課程，其中每一節課是一個科目），編排課程要求如下：數學與物理不能相鄰，語文與生物要相鄰，則針對這六個課程不同的排課順序共有（ ） A．144種 B．72種 C．36種 D．18種
（四） 排列中的定序問題 在有些排列問題中，某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰)，解決這類問題的基本方法有兩種： ①整體法：即若有m＋n個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，先將這m＋n個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法． ②插空法：即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中．
題型5：定序問題 5-1．（2023下·山東棗莊·高二棗莊市第三中學校考階段練習）7個人排成一隊參觀某項目，其中ABC三人進入展廳的次序必須是先B再A后C，則不同的列隊方式有多少種（ ） A．120 B．240 C．420 D．840 5-2．（2023下·山東臨沂·高二統考期中）在某班舉行的“慶五一”聯歡晚會開幕前已排好有8個不同節目的節目單，如果保持原來的節目相對順序不變，臨時再插進去三個不同的新節目，且插進的三個新節目按順序出場，那么共有 種不同的插入方法(用數字作答)． 5-3．（2023·江蘇·高二專題練習）用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數字的七位數，若1，3，5，7的順序一定，則有 個七位數符合條件．
（五） 數字排列問題 數字排列的常見特殊性：(1)首位不能為0；(2)有無重復數字；(3)奇偶數；(4)某數的倍數；(5)大于(或小于)某數．
題型6：數字排列問題 6-1．（2023·湖北·統考一模）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 6-2．（2023·高二課時練習）一個三位數，其十位上的數字既小于百位上的數字也小于個位上的數字(如735，414等)，那么這樣的三位數共有（ ） A．240個 B．249個 C．285個 D．330個 6-3．（2023·四川）用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有 A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 6-4．（2023·高二課時練習）用0，1，2，3，…，9十個數字可組成不同的： （1）三位數 個； （2）無重復數字的三位數 個； （3）小于500且無重復數字的三位奇數 個．
一、單選題
1．（2023上·吉林四平·高二四平市第一高級中學校考階段練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法？
2．（2023下·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？
B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？
3．（2023下·廣東茂名·高二統考期中）甲 乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數為（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
4．（2023下·湖北·高二統考期末）甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則不同站法的種數有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．60種
5．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中）將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學，每名同學至多1張，并且票必須分完，那么不同的分法的種數為（ ）
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5
6．（2023上·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學校考階段練習）某學習小組共5人，約定假期每兩人相互微信聊天，共需發起的聊天次數為（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
7．（2023下·高二課時練習）從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
8．（2023·高二課時練習）滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數為（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
9．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶市天星橋中學校考階段練習）從5本不同的書中選兩本送給2名同學，每人一本，則不同的送書方法的種數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
10．（2023·全國·高二專題練習）由1，2，3，4這四個數字組成的首位數字是1，且恰有三個相同數字的四位數的個數為( )
A．9 B．12 C．15 D．18
11．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫院采訪，則不同的采訪順序有（ ）
A．4種 B．12種 C．18種 D．24種
12．（2023·高二課時練習）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·高二課時練習）已知，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2023下·高二課時練習）不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
15．（2023下·新疆喀什·高二統考期末）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有（ ）種不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
16．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可能的分配方法有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
17．（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）現有10名學生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（ ）種.
A． B． C． D．
18．（2023下·寧夏·高二階段練習）要從a，b，c，d，e 5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數是（ ）
A．20 B．16 C．10 D．6
19．（2023·高二課時練習）五聲音階是中國古樂的基本音階，五個音分別稱為宮 商 角 徵 羽，如果將這五個音排成一排，宮 羽兩個音不相鄰，且位于角音的同側，則不同的排列順序有（ ）
A．20種 B．24種 C．32種 D．48種
20．（2023下·山西朔州·高二校考階段練習）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（ ）
A．60種 B．80種 C．100種 D．120種
21．（2023·新疆·統考一模）如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動路線，則從數字“1”到“7”，漏掉兩個數字的移動路線條數為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
22．（2023·高二課時練習）某班有4名同學報名參加校運會的五個比賽項目，每人參加一項且各不相同，則不同的報名方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
23．（2023下·山東菏澤·高二統考期中）將3張不同的奧運會門票分給6名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數是（ ）
A．240 B．120 C．60 D．40
24．（2023下·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯考期中）兩位同學分別從甲、乙、丙3門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法共有( )種
A．9 B．6 C．8 D．4
二、多選題
25．（2023下·高二課前預習）(多選)從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做以下數學運算，并分別計算它們的結果．在這些問題中，相應運算可以看作排列問題的有（ ）
A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法
26．（2023·高二課時練習）（多選）從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個元素，下列四個問題屬于排列問題的是（ ）.
A．相加可得多少個不同的和
B．相除可得多少個不同的商
C．作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點為x軸上的橢圓方程
D．作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程
27．（2023下·安徽滁州·高二校考期末）下列各式中與排列數相等的是（　　）
A． B．
C． D．
28．（2023下·江蘇蘇州·高二蘇州市蘇州高新區第一中學校考階段練習）下列等式正確的是（　　）
A． B．
C．！ D．
三、填空題
29．（2023·江蘇·高二專題練習）給出下列問題：
①有10位同學，每兩人互通一次電話，共通了多少次電話？
②有10位同學，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？
③有10位同學，每兩人互握一次手，共握了多少次手？
以上問題中，屬于排列問題的是 ．（寫出所有滿足要求的問題序號）
30．（2023·高二課時練習）計算： ．
31．（2023·高二課時練習）學號分別為1，2，3，4的四位同學排成一排，若學號相鄰的同學不相鄰，列舉出所有不同的排列： ．
32．（2023·江蘇·高二專題練習）從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成 個以b為首的不同的排列，它們分別是 ．
33．（2023·高二課時練習）3盆不同品種的花排成一排，共有 種不同的排法.
34．（2023·高二課時練習）有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質的4塊地里，有 種不同的種法.
35．（2023·高二課時練習）王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.
（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有 種不同的帶法；
（2）若帶外語、數學、物理參考書各1本，則有 種不同的帶法；
（3）若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有 種不同的帶法.
36．（2023·浙江·校聯考模擬預測）將1，2，3，4，5，6，7，8八個數字排成一排，滿足相鄰兩項以及頭尾兩項的差均不大于2，則這樣的排列方式共有 種.（用數字作答）
37．（2023·高二課時練習）用排列數符號表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） （且）．
38．（2023·廣東）某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了 條畢業留言．（用數字作答）
39．（2023下·廣西玉林·高二校考期中）七位同事（四男三女）輪值辦公室每周的清潔工作，每人輪值一天，其中男同事甲必須安排周日清潔，且三位女同事任何兩位的安排不能連在一起，則不同的安排方法種數是 （用數字作答）
40．（2023上·陜西渭南·高三校聯考階段練習）生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“五經”是儒家典籍《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經”知識講座，每經排1節，連排5節，則滿足《詩經》必須排在后2節，《周易》和《禮記》必須分開安排的情形共有 ．
41．（2023下·天津·高三天津一中階段練習）由組成沒有重復數字且都不與相鄰的六位偶數的個數是
42．（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）西湖龍井茶素來有“綠茶皇后”“十大名茶之首”的稱號，按照產地品質不同，西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅”五個字號．某茶文化活動給西湖龍井茶留出了三個展臺的位置，現在從五個字號的產品中任意選擇三個字號的茶參加展出活動，如果三個字號中有“獅、梅”，則“獅”字號茶要排在“梅”字號茶前（不一定相鄰），則不同的展出方法有 種．（用數字作答）
43．（2023下·北京大興·高二統考期中）從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，則不同的安排方法數是 .（結果用數字作答）
44．（2023下·天津紅橋·高二天津三中校考期末）在A，B，C，D四位學生中，選出兩人擔任正、副班長，共有選法 種．
四、解答題
45．（2023·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互打電話．
46．（2023下·高二課時練習）計算：和
47．（2023·高二課時練習）寫出所有由1，2，3，4這四個數字排成的沒有重復數字的四位數．
48．（2023·高二課時練習）某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？
49．（2023·高二課時練習）（1）從四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？
（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．
50．（2023·高二課時練習）請列出下列排列：
(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；
(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．
51．（2023·高二課時練習）某藥品研究所研制了5種消炎藥，，，，，4種退熱藥，，，，現從中取2種消炎藥和1種退熱藥同時進行療效試驗，但，兩種藥或同時用或同時不用，，兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同的試驗方法.
52．（2023·高二課時練習）從甲、乙、丙三名學生中任意安排2名學生參加數學、外語兩個課外小組的活動，共有多少種不同的安排方案？請畫出相應的樹狀圖，并解答．
53．（2023·全國·高二專題練習）將A，B，C，D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹形圖列出所有可能的排法．
54．（2023·高二課時練習）寫出下列問題的所有排列：
（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？
（2）兩名老師和兩名學生合影留念，寫出老師不在左端且相鄰的所有可能的站法，并回答共有多少種？
55．（2023高一數學）用一顆骰子連擲三次，投擲出的數字順序排成一個三位數，此時：
（1）各位數字互不相同的三位數有多少個？
（2）可以排出多少個不同的三位數？
56．（2023·高二課時練習）從0，1，2，3這四個數字中，每次取出三個不同的數字排成一個三位數.
（1）能組成多少個不同的三位數，并寫出這些三位數.
（2）若組成這些三位數中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數共有多少個，并寫出這些三位數.
57．（2023·高二課時練習）（1）有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？
（2）有7種不同的書（每種不少于3本），要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多 少種不同的送法？
58．（2023上·陜西渭南·高二渭南市華州區咸林中學校考階段練習）從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．
59．（2023下·高二課時練習）三個女生和五個男生排成一排．
(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
60．（2023下·高二課時練習）（1）用排列數表示且；
（2）化簡：．
61．（2023下·高二課時練習）解不等式：
62．（2023·高二課時練習）求證：．
63．（2023·江蘇·高二專題練習）證明：.
64．（2023下·廣東佛山·高二南海中學校考階段練習）（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求和：．
65．（2023下·高二課時練習）7人站成一排．
(1)甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方法？
66．（2023下·高二課時練習）從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題．
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
67．（2023下·海南·高二校考期中）用0、1、2、3、4五個數字:
(1)可組成多少個五位數；
(2)可組成多少個無重復數字的五位數；
(3)可組成多少個無重復數字的且是3的倍數的三位數；
(4)可組成多少個無重復數字的五位奇數．
68．（2023下·安徽安慶·高二安徽省懷寧中學校考期中）已知10件不同的產品中有4件次品，現對它們一一測度，直至找到所有4件次品為止．
（1）若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
（2）若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？
69．（2023·全國·高三專題練習）現有8個人男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？
(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？
(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
70．（2023下·高二課時練習）求證：（1）；
（2）.

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