資源簡介

6.2.2 組合4題型分類
一、組合概念
一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.
二、組合數(shù)
從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元
素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．其中
三、排列與組合的區(qū)別
1.排列是講“順序”，而組合不講“順序”．
2.從個元素中取出個元素的排列(排列數(shù))，可以理解為分為兩步：
第一步，從個元素中取出個元素組合，得到組合數(shù)；
第二步，再對個元素進行排列，得到排列數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到．
四、組合數(shù)的性質(zhì)
1.規(guī)定:．
2.．
3.．
4.．
（一） 組合的概念 1、組合概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示． 2、有順序，排列問題；無順序，組合問題．
題型1：組合的判斷 1-1．（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題： (1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？ (2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？ (3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？ (4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？ 1-2．（2023·高二課時練習）下列問題中，組合問題的個數(shù)是（ ） ①從全班50人中選出5人組成班委會； ②從全班50人中選出5人分別擔任班長、副班長、團支部書記、學習委員、生活委員； ③從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求積； ④從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 1-3．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）以下四個問題，屬于組合問題的是（ ） A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列 B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌 C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星 D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地
（二） 組合數(shù)運算 組合數(shù)公式：． 組合數(shù)的性質(zhì)：1.規(guī)定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具體數(shù)字的用公式C＝＝計算． 2.涉及字母的可以用階乘式C＝計算． 3.計算時常用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①；②.
題型2：組合數(shù)運算 2-1．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）計算： ． 2-2．（2023·高二課時練習）求值： （1）； （2）. 2-3．（2023·高二課時練習）解不等式； 2-4．（2023·高二課時練習）證明： 2-5．（2023·高二課時練習）證明：． 2-6．（2023·江蘇·高二專題練習）證明：.
（三） 簡單組合問題 1．解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關． 2．要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用．在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏．
題型3：簡單組合問題 3-1．（2023下·黑龍江·高二大慶市東風中學校考期中）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有 3-2．（2023·上海）8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有 場比賽． 3-3．（2023·浙江·三模）從4男2女共6名學生中選出1人吃原味薯片，2人吃黃瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有 種選法；如果男生不吃原味薯片，共有 種選法．（用數(shù)字作答） 3-4．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球． (1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？ (2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ (3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 3-5．（2023下·陜西渭南·高二校考階段練習）課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答） （1）至少有一名隊長當選． （2）至多有兩名女生當選． （3）既要有隊長，又要有女生當選． 3-6．（2023上·高二單元測試）如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4． （1）以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個？其中含點C1的有多少個？ （2）以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？ 3-7．（2023下·陜西西安·高二校考階段練習）200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（　　） A．種 B．＋種 C．種 D．種
（四） 分堆分配問題 分堆問題：①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．
題型4：分堆分配問題 4-1．（2023下·廣西南寧·高二南寧三中校考階段練習）國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有 種不同的分派方法． 4-2．（2023下·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第三高級中學校考期末）把6個學生分配到3個班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有 種. 4-3．（2023下·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考期末）教育部于2023年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市4所高校的校長計劃拜訪當?shù)氐募住⒁覂杉移髽I(yè)，若每名校長拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（ ） A．8種 B．10種 C．14種 D．20種 4-4．（2023下·湖南長沙·高二長郡中學校考期末）為了宣傳2023年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4-5．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期末）北京2023年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2023年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4-6．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二校考期中） 12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有種. A． B．3 C． D． 4-7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為 A． B． C． D． 4-8．（2023下·廣西桂林·高二校考階段練習）某中學高二年級共有6個班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級，且每班安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山東濰坊·高三校考階段練習）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（ ）
A．； B．； C．； D．
3．（2023下·上海浦東新·高二上海市進才中學校考期中）設n為正整數(shù)，則關于，下列說法正確的是（ ）
A．該代數(shù)式的值唯一確定 B．該代數(shù)式的值有兩種情況
C．該代數(shù)式的值有三種情況 D．該代數(shù)式的值有無數(shù)種情況
4．（2023下·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）已知，則的值是（ ）
A．9 B．7 C．9或 D．8
6．（2023下·江蘇蘇州·高二蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學校考期中）下列等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023下·陜西西安·高二校考階段練習）已知，則的值為（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
8．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）下列有關排列數(shù) 組合數(shù)的計算，正確的是（ ）
A． B．
C． D．是一個常數(shù)
9．（2023下·江西撫州·高二校聯(lián)考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．20條 B．21條 C．22條 D．23條
10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（ ）
A．228 B．132 C．180 D．96
11．（2023上·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考階段練習）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學、生物、地理、政治、歷史六門學科中隨機選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種 B．15種 C．16種 D．17種
12．（2023上·廣東珠海·高三統(tǒng)考階段練習）8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個單位做核酸檢測，甲、乙兩個單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有（ ）
A．280種 B．350種 C．70種 D．80種
13．（2023下·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．1
14．（2023·高二課時練習）以下四個問題中，屬于組合問題的是（ ）
A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列
B．老師在排座次時將甲 乙兩位同學安排為同桌
C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲 乙兩地
15．（2023下·高二課時練習）計算：等于（　　）
A．120 B．240 C．60 D．480
16．（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習）不等式的解為（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023下·高二課前預習）某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為（ ）
A．4 B．8 C．28 D．64
18．（2023下·山東濰坊·高二階段練習）從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有
A．60種 B．48種 C．30種 D．10種
19．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少兩人觀看，則不同的觀影方案共有（ ）種.
A．30 B．40 C．50 D．80
20．（2023下·高二課時練習）空間中有個點，其中有個點在同一個平面內(nèi)且無三點共線，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
21．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習）某單位準備從新入職的4名男生和3名女生中選2名男生和1名女生分配到某部門3個不同的崗位，不同的分配方案有（ ）
A．18種 B．36種 C．60種 D．108種
22．（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，
每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有
A．種 B．種 C．種 D．種
23．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考三模）某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有
A．72種 B．36種 C．24種 D．18種
24．（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學校考階段練習）某市決定派出6個醫(yī)療小組馳援某地甲、乙、丙三個地區(qū)，每個地區(qū)分配2個醫(yī)療小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
25．（2023·四川·統(tǒng)考一模）將標號為的個小球放入個不同的盒子中，若每個盒子放個，其中標為的小球放入同一個盒子中，則不同的方法共有
A．12種 B．16種 C．18種 D．36種
26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）新冠來襲，湖北告急！有一支援鄂醫(yī)療小隊由3名醫(yī)生和6名護士組成，他們?nèi)恳峙涞饺裔t(yī)院.每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有（ ）種
A．252 B．540 C．792 D．684
27．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）隨機將6個人（含甲乙兩人）平均分成2組，分別去完成2個不同的任務，則甲乙兩人在不同任務組的概率為（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成. 某班級從3名男生和3名女生中各隨機選出兩名，把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
29．（2023·全國·高二專題練習）下面問題中，是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調(diào)查
D．從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合
30．（2023·高二課時練習）（多選）給出下列問題，屬于組合問題的有（ ）
A．從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法
B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法
C．某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種
D．從2，3，5，7，11中任選兩個數(shù)相乘，可以得到多少個不同的積
31．（2023·江蘇·高二專題練習）下列問題中，屬于組合問題的是（ ）
A．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少次比賽
B．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能
C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂活動，有多少種選派方法
D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂活動，有多少種選派方法
32．（2023·高二單元測試）下列問題中是組合問題的有（ ）.
A．某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票
B．從7本不同的書中取出5本給某同學
C．3個人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法
33．（2023·高二課時練習）給出下列問題，其中是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3，4構成的含3個元素的集合
B．從7名班委中選2人擔任班長和團支書
C．從數(shù)學組的10名教師中選3人去參加市里新課程研討會
D．由1，2，3，4組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)
34．（2023下·山東青島·高二青島大學附屬中學校考期中）對于，，，關于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）（多選）（ ）
A． B． C． D．
36．（2023下·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）下列四個關系式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2023下·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）下列有關排列數(shù) 組合數(shù)計算正確的有（ ）
A．
B．從中任取兩個數(shù)相乘可得個積
C．
D．
38．（2023下·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）對且，下列等式一定恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
39．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州市第二十八中學校考期末）某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（ ）
A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35
B．若物理和化學至少選一門，則選法種數(shù)為30
C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30
D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20
40．（2023·高二課時練習）（多選）若，則n的可能取值有（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空題
41．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末） ．
42．（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）求值： ．
43．（2023下·湖北襄陽·高二統(tǒng)考期末） ．（用數(shù)字作答）
44．（2023下·河北·高二校聯(lián)考期中）已知，則 ．
45．（2023下·天津河西·高二天津市新華中學校考期中）若，則x的值為
46．（2023下·江蘇蘇州·高二校考期中）若，則正整數(shù) .
47．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）已知則x＝ .
48．（2023·高二課時練習）已知，，成等差數(shù)列，則＝ .
49．（2023下·江蘇南通·高二金沙中學校考階段練習）（1）若，則的取值集合是 .（2） .
50．（2023下·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知，則方程的解是 ．
51．（2023下·江蘇無錫·高二江蘇省太湖高級中學校考階段練習）已知，則 ．
52．（2023下·湖北黃石·高二校考期中）已知 ， 則 .
53．（2023·高二課時練習）計算： ．
54．（2023·上海）平面上，四條平行直線與另外五條平行直線互相垂直，則它的矩形共有 個（結(jié)果用數(shù)值表示）．
55．（2023下·江蘇南通·高二校聯(lián)考期中）將某商場某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個的長方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有 ．（結(jié)果用數(shù)字作答）
56．（2023·全國·高二專題練習）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則該重卦可以有 種.(用數(shù)字作答)
57．（2023·全國）從1，2，…，10這十個數(shù)中取出四個數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有 種取法（用數(shù)字作答）．
58．（2023·高二課時練習）從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相
除，有n個不同的商，則m∶n＝ .
四、解答題59．（2023下·甘肅白銀·高二甘肅省會寧縣第一中學校考期中）2023年4月，新型冠狀病毒疫情牽動著全國人民的心，某市根據(jù)上級要求，在本市某人民醫(yī)院要選出護理外科、心理治療方面的專家4人與省專家組一起趕赴上海參加救助工作，該醫(yī)院現(xiàn)有3名護理專家，，，5名外科專家，，，，，2名心理治療專家，.
(1)求4人中有1位外科專家，1位心理治療師的選法有多少種
(2)求至少含有2位外科專家，且外科專家和護理專家不能同時被選的選法有多少種
60．（2023下·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？
61．（2023下·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期末）如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中的一點．今在道路網(wǎng)處的甲、乙兩人分別要到處，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲從到達處的走法總數(shù)；
(2)求甲乙兩人在相遇的方法數(shù)．
62．（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．
63．（2023下·高二課時練習）已知，求．
64．（2023下·高二課時練習）從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．
65．（2023下·天津·高二天津市薊州區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）從包含甲、乙2人的8人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；
(2)甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；
(3)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；
(4)甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；
(5)甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.6.2.2 組合4題型分類
一、組合概念
一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.
二、組合數(shù)
從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元
素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．其中
三、排列與組合的區(qū)別
1.排列是講“順序”，而組合不講“順序”．
2.從個元素中取出個元素的排列(排列數(shù))，可以理解為分為兩步：
第一步，從個元素中取出個元素組合，得到組合數(shù)；
第二步，再對個元素進行排列，得到排列數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到．
四、組合數(shù)的性質(zhì)
1.規(guī)定:．
2.．
3.．
4.．
（一） 組合的概念 1、組合概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示． 2、有順序，排列問題；無順序，組合問題．
題型1：組合的判斷 1-1．（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題： (1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？ (2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？ (3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？ (4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？ 【答案】(1)組合問題 (2)排列問題 (3)排列問題 (4)組合問題 【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)排列和組合的特征：是否有順序即可求解. 【詳解】（1）單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題． （2）冠、亞軍是有順序的，是排列問題． （3）3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題． （4）3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題． 1-2．（2023·高二課時練習）下列問題中，組合問題的個數(shù)是（ ） ①從全班50人中選出5人組成班委會； ②從全班50人中選出5人分別擔任班長、副班長、團支部書記、學習委員、生活委員； ③從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求積； ④從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根據(jù)組合的定義逐一分析即可得出答案. 【詳解】解：對于①，從50人中選出5人組成班委會，不考慮順序是組合問題.②為排列問題.對于③，從1，2，3，…，9中任取兩個數(shù)求積是組合問題.因為乘法滿足交換律，而減法和除法不滿足，故④為排列問題. 所以組合問題的個數(shù)是2個. 故選：B. 1-3．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）以下四個問題，屬于組合問題的是（ ） A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列 B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌 C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星 D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地 【答案】C 【分析】根據(jù)組合的定義即可得到答案. 【詳解】只有從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題，而A,B,D均與順序有關. 故選：C.
（二） 組合數(shù)運算 組合數(shù)公式：． 組合數(shù)的性質(zhì)：1.規(guī)定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具體數(shù)字的用公式C＝＝計算． 2.涉及字母的可以用階乘式C＝計算． 3.計算時常用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①；②.
題型2：組合數(shù)運算 2-1．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）計算： ． 【答案】490 【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡即可求值. 【詳解】, 故原式， 故答案為：490 2-2．（2023·高二課時練習）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）148；（2）466. 【分析】（1）利用組合數(shù)的定義式，直接求解； （2）根據(jù)組合數(shù)有意義，列不等式組，求出n＝10，再利用組合數(shù)的定義式和性質(zhì)，直接求解. 【詳解】（1）＝3×－2×＝148； （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴. 2-3．（2023·高二課時練習）解不等式； 【答案】 【分析】根據(jù)給定條件利用組合的意義及組合數(shù)計算公式化簡不等式，再解不等式即可. 【詳解】在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈， 原不等式化為：， 即，解得，則m=7或8， 所以不等式的解集為. 2-4．（2023·高二課時練習）證明： 【答案】證明見解析 【分析】根據(jù)組合數(shù)公式證明即可. 【詳解】證明：. 2-5．（2023·高二課時練習）證明：． 【答案】證明見解析 【分析】直接利用組合數(shù)公式計算即可得證. 【詳解】證明：因為， ， 所以． 2-6．（2023·江蘇·高二專題練習）證明：. 【答案】證明見解析 【分析】根據(jù)組合數(shù)的運算公式和運算性質(zhì)，準確化簡，即可求解. 【詳解】根據(jù)組合數(shù)的運算性質(zhì)得：右邊， 又因為左邊， 所以.
（三） 簡單組合問題 1．解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關． 2．要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用．在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏．
題型3：簡單組合問題 3-1．（2023下·黑龍江·高二大慶市東風中學校考期中）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有 【答案】92 【分析】結(jié)合已知條件，通過討論既會劃左舷又會劃右舷的2人中去參加比賽的人數(shù)，并結(jié)合組合和乘法原理即可求解. 【詳解】不妨設既會劃左舷又會劃右舷的2人為、， ①若和兩人均不去參加比賽，則選派方法有種； ②若和兩人只去一人參加比賽， (i)若只會劃左舷的去兩人，則選派方法為種； (ii)若只會劃右舷的去兩人，則選派方法為種； ③若和兩人均去參加比賽， (i)若只會劃左舷的去1人，則和兩人均去劃左舷，則選派方法為種； (ii)若只會劃左舷的去2人，則和兩人中有一人去劃左舷，另一人去劃右舷， 則選派方法為種； (iii)若只會劃左舷的去3人，則和兩人均去劃右舷，則選派方法為種， 綜上所述，不同的選派方法共有種. 故答案為：92. 3-2．（2023·上海）8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有 場比賽． 【答案】16 【分析】按照比賽賽程分類計算． 【詳解】按比賽賽程分類，第一類單循環(huán)賽場次，第二類淘汰賽場次2，第三類決賽場次2， 總場次為． 故答案為：16. 3-3．（2023·浙江·三模）從4男2女共6名學生中選出1人吃原味薯片，2人吃黃瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有 種選法；如果男生不吃原味薯片，共有 種選法．（用數(shù)字作答） 【答案】 60 20 【分析】先從6人中選1人吃原味薯片，再從剩下的5人種選2人吃黃瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法計數(shù)原理即可求解；先從2名女生中選1人吃原味薯片，再從剩下的5人種選2人吃黃瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法計數(shù)原理即可求解； 【詳解】先選1人吃原味薯片有種選擇，再從剩下的5人種選2人吃黃瓜味薯片有種選擇，剩下3人吃番茄味薯片，則共有種選擇； 先從2名女生中選1人吃原味薯片有種選擇，再從剩下的5人種選2人吃黃瓜味薯片有種選擇，剩下3人吃番茄味薯片，則共有種選擇. 故答案為：60；20. 3-4．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球． (1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？ (2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ (3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【分析】（1）（2）（3）先判斷是不是組合問題，再用組合數(shù)公式計算即可. 【詳解】（1）從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是. （2）從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是. （3）由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是. 3-5．（2023下·陜西渭南·高二校考階段練習）課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答） （1）至少有一名隊長當選． （2）至多有兩名女生當選． （3）既要有隊長，又要有女生當選． 【答案】（1）825；（2）966；（3）790. 【分析】（1）分有一名隊長和兩名隊長情況討論得解； （2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，即得解； （3）分兩種情況討論，第一類：女隊長當選；第二類：女隊長不當選，即得解. 【詳解】（1）至少有一名隊長含有兩種情況：有一名隊長和兩名隊長，故共有種．或采用排除法有種． （2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故共有種． （3）分兩種情況：第一類：女隊長當選，有種；第二類：女隊長不當選，有種． 故共有種． 3-6．（2023上·高二單元測試）如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4． （1）以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個？其中含點C1的有多少個？ （2）以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？ 【答案】（1）116(個)；36(個)；（2）360(個)． 【解析】（1）可以分成三類即在C1，C2，…，C6這六個點任取三點，在C1，C2，…，C6中任取一點，D1，D2，D3，D4中任取兩點和C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取一點，將三類情況加到一起即可； （2）需要四個點，且無三點共線，類似于（1）可分三種情況討論得四邊形個數(shù)為 【詳解】（1）可分三種情況處理： ①C1，C2，…，C6這六個點任取三點可構成一個三角形,有種； ②C1，C2，…，C6中任取一點，D1，D2，D3，D4中任取兩點可構成一個三角形，有種； ③C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取一點可構成一個三角形，有． 所以共有=116(個)． 其中含C1點的三角形有=36(個)． （2）構成一個四邊形，需要四個點，且無三點共線， C1，C2，…，C6這六個點中任意三點都不共線. ①C1，C2，…，C6這六個點任取四點可構成一個四邊形，有種； ②C1，C2，…，C6中任取三點，D1，D2，D3，D4中任取一點可構成一個四邊形，有種； ③C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取兩點可構成一個四邊形，有種． 所以共有=360(個)． 【點睛】關鍵點睛：本題考查解決組合的實際問題，解答本題的關鍵是將問題分為三類，即以在C1，C2，…，C6和取點的個數(shù)情況進行分類討論，屬于中檔題. 3-7．（2023下·陜西西安·高二校考階段練習）200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（　　） A．種 B．＋種 C．種 D．種 【答案】B 【分析】根據(jù)分步加法計算原理，結(jié)合組合數(shù)的計算即可求解. 【詳解】至少2件次品包含兩類：（1）2件次品，3件正品，共種抽法， （2）3件次品，2件正品，共種抽法，由分類加法計數(shù)原理得，抽法共有＋種． 故選:B
（四） 分堆分配問題 分堆問題：①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．
題型4：分堆分配問題 4-1．（2023下·廣西南寧·高二南寧三中校考階段練習）國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有 種不同的分派方法． 【答案】90 【分析】根據(jù)題意得到，先分組再全排列即：. 【詳解】6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，每個學校去2個人，先平均分組，再全排列即可：. 故答案為90. 【點睛】不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解． 4-2．（2023下·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第三高級中學校考期末）把6個學生分配到3個班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有 種. 【答案】9 【分析】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，由分步計數(shù)原理計算可得答案． 【詳解】根據(jù)題意，分3步分析： ①、讓甲分到一班，只有1種方法； ②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，有C32＝3種安排方法； ③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，有C32＝3種安排方法； 則不同的分法有1×3×3＝9種； 故答案為9． 【點睛】本題考查分步計數(shù)原理的應用，關鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排． 4-3．（2023下·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考期末）教育部于2023年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市4所高校的校長計劃拜訪當?shù)氐募住⒁覂杉移髽I(yè)，若每名校長拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（ ） A．8種 B．10種 C．14種 D．20種 【答案】C 【分析】先分情況談論，甲、乙兩家企業(yè)可能分別接待2名校長，或一家企業(yè)接待1名，一家企業(yè)接到3名校長的情況，然后再用排列組合即可. 【詳解】分兩種情況，第一種：1家企業(yè)接待1名校長，1家企業(yè)接待3名校長，共有種方法；第二種：每家企業(yè)均接待2名校長，共有種方法，所以共有8+6=14種. 故選：C. 4-4．（2023下·湖南長沙·高二長郡中學校考期末）為了宣傳2023年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先分步：第一步把5人分組，第二步安裝吉祥物．分組時按與小明同組的人數(shù)確定分組方法，最后由計數(shù)原理計算． 【詳解】按除去小明和小李后，剩余3人與小明同組的人數(shù)確定分組方法，即種方法，這兩組安裝吉祥物的方法為，故按要求這五人共有種方法. 故選：C. 4-5．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期末）北京2023年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2023年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先將剩下的3名志愿者分為兩組，再把小明和小李分別放在兩組中，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可. 【詳解】先將剩下的3名志愿者分為兩組有種，再把小明和小李分別放在兩組中有2種， 最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”有2種，則共有種. 故選：C. 4-6．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二校考期中） 12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有種. A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】首先把12個人平均分成3組，這是一個平均分組.從12個中選4個，從8個中選4個，最后余下4個，這些數(shù)相乘再除以3的全排列.再把這3個小組作為3個元素分到3個路口，這樣就有一個全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果. 【詳解】屬于平均分組且排序型，共有種. 故選：A. 【點睛】本題考查了平均分組分配問題，屬于基礎題. 4-7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題 只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種， 故不同的分配方案為：， 故選A. 4-8．（2023下·廣西桂林·高二校考階段練習）某中學高二年級共有6個班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級，且每班安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，先將四名學生分成兩組，再分配到6個班中的兩個班求解即可. 【詳解】先將四名學生分成兩組，共種情況，再分配到6個班中的兩個班，故共種方案. 故選：B 【點睛】本題主要考查了排列組合的實際運用，注意分組時會有重復，所以要乘以.屬于基礎題.
一、單選題
1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)組合數(shù)公式直接求解即可.
【詳解】.
故選: B.
2．（2023上·山東濰坊·高三校考階段練習）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（ ）
A．； B．； C．； D．
【答案】C
【分析】據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計算可得
【詳解】解：對于A，，故正確；
對于B，因為，所以，故正確；
對于C，因為n，m為正整數(shù)，且，
所以令，則，，此時，故錯誤；
對于D，，故正確；
故選：C
3．（2023下·上海浦東新·高二上海市進才中學校考期中）設n為正整數(shù)，則關于，下列說法正確的是（ ）
A．該代數(shù)式的值唯一確定 B．該代數(shù)式的值有兩種情況
C．該代數(shù)式的值有三種情況 D．該代數(shù)式的值有無數(shù)種情況
【答案】C
【分析】根據(jù)組合數(shù)中，且均為正整數(shù)列式可求出結(jié)果.
【詳解】依題意得，得，
因為為正整數(shù)，所以或或，
當時，原式；
當時，原式；
當時，原式.
所以該代數(shù)式的值有三種情況.
故選：C
4．（2023下·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用組合數(shù)的運算公式計算，得到答案.
【詳解】，其中，，，.
故選：B
5．（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）已知，則的值是（ ）
A．9 B．7 C．9或 D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算公式得到結(jié)果.
【詳解】由可得，即，即，
所以，化簡可得，解得（負值舍去）．
故選：A
6．（2023下·江蘇蘇州·高二蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學校考期中）下列等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按照排列數(shù)和組合數(shù)的運算依次判斷4個選項即可.
【詳解】，故A錯誤；
，C正確；
，B正確；
，D正確.
故選：A.
7．（2023下·陜西西安·高二校考階段練習）已知，則的值為（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
【答案】B
【分析】由組合公式可得或,解方程即可得答案.
【詳解】解：因為，
所以或，
解得：或.
故選：B.
8．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）下列有關排列數(shù) 組合數(shù)的計算，正確的是（ ）
A． B．
C． D．是一個常數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)排列組合計算公式即可求解．
【詳解】對于A，∵，∴A不正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，
，故C不正確；
對于D，n應滿足解得.
所以，故D正確．
故選：D
9．（2023下·江西撫州·高二校聯(lián)考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．20條 B．21條 C．22條 D．23條
【答案】D
【分析】先算出從A到的最短路徑共有幾條，再計算出徑過段的走法有幾種，相減即可求得答案.
【詳解】由題意知從A到的最短路徑要通過7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路，共有種，又因為經(jīng)過段的走法有種，故不經(jīng)過段的最短路徑有條.,
故選:D
10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（ ）
A．228 B．132 C．180 D．96
【答案】B
【分析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得到所有情況即可.
【詳解】4人去3個省份，且每個省至少一個人則必會有兩人去同一省份，
若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進行捆綁，則共有種，
②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有種，接下來若甲和另1人去同一省份，則共有種，若甲單獨一人去一個省份，則共有種，根據(jù)加法和乘法原理可得共有，此類情況共有種
綜上共有種.
故選：B.
11．（2023上·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考階段練習）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學、生物、地理、政治、歷史六門學科中隨機選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種 B．15種 C．16種 D．17種
【答案】C
【分析】分兩種情況即物理或歷史中選一門和物理和歷史都選兩種情況分類求解即可.
【詳解】解：由題意得：
物理或歷史中選一門：種選法；
物理和歷史都選：種選法；
物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有種選法；
故選：C
12．（2023上·廣東珠海·高三統(tǒng)考階段練習）8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個單位做核酸檢測，甲、乙兩個單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有（ ）
A．280種 B．350種 C．70種 D．80種
【答案】B
【分析】對醫(yī)生a去乙、丙醫(yī)院進行討論，分別按要求選派，即得結(jié)果.
【詳解】若醫(yī)生a去乙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個單位選派得；
若醫(yī)生a去丙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個單位選派得；
所以不同的選派方式共有種.
故選：B.
【點睛】本題考查了組合的應用，分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.
13．（2023下·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)組合的概念，即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)組合的概念，從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是種.
故選：B.
14．（2023·高二課時練習）以下四個問題中，屬于組合問題的是（ ）
A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列
B．老師在排座次時將甲 乙兩位同學安排為同桌
C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲 乙兩地
【答案】C
【解析】根據(jù)組合的概念即可判斷.
【詳解】只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題.
故選：C.
15．（2023下·高二課時練習）計算：等于（　　）
A．120 B．240 C．60 D．480
【答案】A
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】
故選：A
16．（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習）不等式的解為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計算公式，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果.
【詳解】由，得且，
化簡整理得，解得，又因為，所以.
故選：C.
17．（2023下·高二課前預習）某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為（ ）
A．4 B．8 C．28 D．64
【答案】C
【詳解】由于“村村通”公路的修建，是組合問題，故共需要建C＝＝＝28(條)公路．
18．（2023下·山東濰坊·高二階段練習）從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有
A．60種 B．48種 C．30種 D．10種
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，分步進行：①從名志愿者中選派人參加活動，有種選法；②將人分為組，有種分法；③將組進行全排列，對應星期六和星期日，有種情況，則共有，
故選C.
19．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少兩人觀看，則不同的觀影方案共有（ ）種.
A．30 B．40 C．50 D．80
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知事件包含喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人三種情況，求出對應的方案后相加即可.
【詳解】喜劇片和動作片至少兩人觀看的情況有：
喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人，
當喜劇片2人且動作片2人時，共有種觀看方案，
當喜劇片3人且動作片2人時，共有種觀看方案，
當喜劇片2人且動作片3人時，共有種觀看方案，
所以一共有種觀看方案.
故選：C.
20．（2023下·高二課時練習）空間中有個點，其中有個點在同一個平面內(nèi)且無三點共線，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：分成從共面的個點中取個來討論求解即可；
方法二：采用間接法來進行求解.
【詳解】方法一：從共面的個點中取個，則可構成個四面體；
從共面的個點中取個，則可構成個四面體；
從共面的個點中取個，則可構成個四面體；
從共面的個點中取個，則可構成個四面體；
共可構成個四面體；
方法二：從個點中任取個點的情況有種；其中無法構成四面體的情況有種；
共可構成個四面體.
故選：A.
21．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習）某單位準備從新入職的4名男生和3名女生中選2名男生和1名女生分配到某部門3個不同的崗位，不同的分配方案有（ ）
A．18種 B．36種 C．60種 D．108種
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到不同的分配方案有種情況.
【詳解】首先選出2名男生和1名女生，共有種情況，
再把選出來的人進行全排列，共有種情況.
所以不同的分配方案有種.
故選：D
22．（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，
每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【詳解】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個學生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．
考點：排列組合的應用．
23．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考三模）某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有
A．72種 B．36種 C．24種 D．18種
【答案】B
【分析】根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，根據(jù)排列組合進行計算即可．
【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，
3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，
若甲村有1外科,2名護士,則有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名護士,則有，其余的分到乙村，
則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，
故選B.
【點睛】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.
24．（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學校考階段練習）某市決定派出6個醫(yī)療小組馳援某地甲、乙、丙三個地區(qū)，每個地區(qū)分配2個醫(yī)療小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】A
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理先分組再分配即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，分2步進行：
①將6個醫(yī)療小組平均分成3組，每組2支醫(yī)療隊，有種分組方法；
②將甲所在的小組安排到甲地，其他兩個小組安排到乙、丙兩地，有種情況，
則有種不同的安排方法.
故選：A.
25．（2023·四川·統(tǒng)考一模）將標號為的個小球放入個不同的盒子中，若每個盒子放個，其中標為的小球放入同一個盒子中，則不同的方法共有
A．12種 B．16種 C．18種 D．36種
【答案】C
【詳解】試題分析：根據(jù)題意：首先從3個盒子中選一個放標號為1，2的小球，再從剩下的4個小球中選兩個放一個盒子，余下的2個放入最后一個盒子，由組合數(shù)公式計算每一步的情況數(shù)目，進而由分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
先從3個盒子中選一個放標號為1，2的小球，有3種不同的選法，
再從剩下的4個小球中選兩個，放一個盒子有 種放法，余下放入最后一個盒子，∴共有
故選C．
考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題
26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）新冠來襲，湖北告急！有一支援鄂醫(yī)療小隊由3名醫(yī)生和6名護士組成，他們?nèi)恳峙涞饺裔t(yī)院.每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有（ ）種
A．252 B．540 C．792 D．684
【答案】D
【解析】先將分類情況和分步步驟理清，然后按照分類加法、分步乘法計算原理，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)的計算公式，計算出不同的分配方法數(shù).
【詳解】護士名，可分為或者兩類.
先安排醫(yī)生，再安排護士.
安排醫(yī)生，方法數(shù)有種，
安排護士，由于“護士甲和護士乙必須分到同一家醫(yī)院”，故方法數(shù)有種.其中表示護士甲和護士乙共人一組的方法數(shù)，表示護士甲和護士乙與另一人共人一組的方法數(shù).
所以總的方法數(shù)有種.
故選：D
【點睛】本小題主要考查分類加法、分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題.
27．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）隨機將6個人（含甲乙兩人）平均分成2組，分別去完成2個不同的任務，則甲乙兩人在不同任務組的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)排列組合計算出全部的可能性，再計算出滿足題意的可能性，用古典概型計算公式即可.
【詳解】6個人平均分成2組，分別去完成2個不同的任務
共有可能
甲乙兩人在不同任務組
共有可能：
根據(jù)古典概型的計算公式，.
故選：D.
【點睛】本題考查古典概型的計算，涉及排列組合求解事件的個數(shù)；本題的難點在于如何求解事件個數(shù).
28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成. 某班級從3名男生和3名女生中各隨機選出兩名，把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通過排列組合先計算出4人參加比賽所有的可能，再計算出和參加比賽的所有可能，根據(jù)古典概型的概率計算公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題可知：
分別從3名男生、3名女生中選2人：
將選中2名女生平均分為兩組：
將選中2名男生平均分為兩組：
則選出的4人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：
和分在一組的數(shù)目為
所以所求的概率為
故選：B.
【點睛】本題考查古典概型的概率計算，涉及平均分組的計算，屬綜合基礎題.
二、多選題
29．（2023·全國·高二專題練習）下面問題中，是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調(diào)查
D．從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合
【答案】BCD
【分析】取出的元素不考慮順序就是組合問題，由此即可判斷各選項.
【詳解】對于A，由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，
則共有種排法，是排列問題；
對于B，從40人中選5人組成籃球隊，有種選法，是組合問題；
對于C，從100人中選2人抽樣調(diào)查，有種選法，是組合問題；
對于D，從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合，有種選法，是組合問題.
故選：BCD.
30．（2023·高二課時練習）（多選）給出下列問題，屬于組合問題的有（ ）
A．從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法
B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法
C．某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種
D．從2，3，5，7，11中任選兩個數(shù)相乘，可以得到多少個不同的積
【答案】BCD
【分析】根據(jù)選項中不涉及元素順序的為組合問題，即可確定結(jié)果.
【詳解】對于A，從3名同學中選出2名同學后，分配到兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)涉及順序問題，是排列問題；
對于B，從7人中選出4人觀看不涉及順序問題，是組合問題；
對于C，射擊命中不涉及順序問題，是組合問題；
對于D，乘法滿足交換律，兩數(shù)相乘的積不涉及順序，是組合問題.
故選：BCD
31．（2023·江蘇·高二專題練習）下列問題中，屬于組合問題的是（ ）
A．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少次比賽
B．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能
C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂活動，有多少種選派方法
D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂活動，有多少種選派方法
【答案】AC
【分析】區(qū)分一個具體問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看它有無順序.有順序就是排列問題；無順序就是組合問題,.
【詳解】A是組合問題，因為每兩個隊進行一次比賽，并沒有誰先誰后，沒有順序的區(qū)別.；
B是排列問題，因為甲隊獲得冠軍、乙隊獲得亞軍和甲隊獲得亞軍、乙隊獲得冠軍是不一樣的，存在順序區(qū)別；
C是組合問題，因為3名員工參加相同的活動，沒有順序區(qū)別；
D是排列問題，因為選的3名員工參加的活動不相同，存在順序區(qū)別，
.故選：AC.
32．（2023·高二單元測試）下列問題中是組合問題的有（ ）.
A．某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票
B．從7本不同的書中取出5本給某同學
C．3個人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法
【答案】BD
【分析】根據(jù)排列和組合的定義進行判斷即可.
【詳解】A．車票與起點、終點順序有關，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，故它是排列問題.
B．從7本不同的書中取出5本給某同學，取出的5本書并不考慮書的順序，故它是組合問題.
C．因為一種分工方法就是從5種不同工作中取出3種，按一定順序分給3人去干，故它是排列問題.
D．因為3本書是相同的，把3本書無論分給哪3個人都不需要考慮順序，故它是組合問題.
故選：BD
33．（2023·高二課時練習）給出下列問題，其中是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3，4構成的含3個元素的集合
B．從7名班委中選2人擔任班長和團支書
C．從數(shù)學組的10名教師中選3人去參加市里新課程研討會
D．由1，2，3，4組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)
【答案】AC
【分析】根據(jù)排列和組合的定義判斷即可.
【詳解】A中，選出的元素構成集合，是組合問題；
B中，2人擔任班長和團支書，有兩種不同的分工，是排列問題；
C中，選出的3人去參加研討會，是組合問題；
D中，2個數(shù)字組成兩位數(shù)，有十位和個位的區(qū)分，是排列問題.
故選：AC.
34．（2023下·山東青島·高二青島大學附屬中學校考期中）對于，，，關于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解判斷.
【詳解】A. 由組合數(shù)公式知：，故錯誤；
B. 由組合數(shù)公式知：，，則，故正確；
C. 由組合數(shù)公式知：，，，所以，故正確；
D. 由排列數(shù)公式知：，所以，故錯誤；
故選：BC
35．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）（多選）（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】
.
故選：CD．
36．（2023下·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）下列四個關系式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算可判斷A,B,根據(jù)組合數(shù)的計算以及性質(zhì)可求解C,D.
【詳解】,故A錯誤，，故B對，
,故C對，
由可得：，故D錯誤
故選：BC
37．（2023下·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）下列有關排列數(shù) 組合數(shù)計算正確的有（ ）
A．
B．從中任取兩個數(shù)相乘可得個積
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用公式計算求解判斷選項ACD的真假，利用組合判斷選項B的真假.
【詳解】A. ，所以該選項錯誤；
B. 從中任取兩個數(shù)相乘可得個積，所以該選項正確；
C. , 所以，所以該選項錯誤；
D. ，所以該選項正確.
故選：BD
38．（2023下·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）對且，下列等式一定恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)的定義判斷．
【詳解】，A正確；
，B正確；
，C正確；
，
，D錯．
故選：ABC．
39．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州市第二十八中學校考期末）某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（ ）
A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35
B．若物理和化學至少選一門，則選法種數(shù)為30
C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30
D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20
【答案】ACD
【分析】A選項，直接利用組合知識進行求解；
B選項，分物理和化學選一門和物理、化學都選，兩種情況下利用組合知識求出選法，求和即可；
C選項，先求出物理和歷史同時選的選法，從而求出物理和歷史不能同時選的選法；
D選項，只選物理，不選化學，只選化學，不選物理，物理、化學都選，三種情況下的選法求和即可.
【詳解】對于A，選法種數(shù)為，故A正確．
對于B，若物理和化學選一門，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學都選，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法．故共有種選法，故B錯誤．
對于C，物理和歷史同時選，有種選法，故不同時選的選法種數(shù)為，故C正確．
對于D，只選物理，不選化學，則歷史也不選，有種選法；只選化學，不選物理，有種選法；若物理、化學都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．
故選：ACD．
40．（2023·高二課時練習）（多選）若，則n的可能取值有（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABCD
【分析】直接解組合數(shù)不等式即可得到正確答案.
【詳解】由得 又n∈N*，則n＝6，7，8，9.
∴該不等式的解集為{6，7，8，9}．
故選：ABCD.
三、填空題
41．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末） ．
【答案】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)與計算公式求解即可
【詳解】
故答案為：
42．（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）求值： ．
【答案】0
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算求解即可
【詳解】
故答案為：0
43．（2023下·湖北襄陽·高二統(tǒng)考期末） ．（用數(shù)字作答）
【答案】－1050
【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的運算公式即可求得答案.
【詳解】由題意，原式=.
故答案為：-1050.
44．（2023下·河北·高二校聯(lián)考期中）已知，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)組合數(shù)公式化簡，得到關于的一元二次方程，求解即可.
【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式化簡，可得，
化簡整理得，解得或．又，所以．
故答案為：2.
45．（2023下·天津河西·高二天津市新華中學校考期中）若，則x的值為
【答案】4
【分析】利用排列組合公式，將方程化為關于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.
【詳解】由題設，，
整理得：，可得或，
又，故.
故答案為：4
46．（2023下·江蘇蘇州·高二校考期中）若，則正整數(shù) .
【答案】8
【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的運算性質(zhì)直接計算即可.
【詳解】因為，
所以，
解得：.
故答案為：8.
47．（2023上·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習）已知則x＝ .
【答案】5
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及計算公式即可求解.
【詳解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以，
所以，即，
化簡得，
即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,
故答案為:5
48．（2023·高二課時練習）已知，，成等差數(shù)列，則＝ .
【答案】91
【分析】利用等差中項及組合數(shù)公式即求.
【詳解】∵，，成等差數(shù)列，
∴2＝＋，
∴2×＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝14，n＝7(舍去)，
則.
故答案為：91.
49．（2023下·江蘇南通·高二金沙中學校考階段練習）（1）若，則的取值集合是 .（2） .
【答案】
【分析】（1）由題意，利用組合數(shù)的定義以及計算公式，求出的范圍，可得結(jié)論；
（2）因為，由組合數(shù)的性質(zhì)代入即可得出答案.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，所以，
即，解得：.
綜上：.
故的取值集合是：
（2）
.
故答案為：；.
50．（2023下·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知，則方程的解是 ．
【答案】1或2/2或1.
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可.
【詳解】因為，，
所以由組合數(shù)的性質(zhì)得或，
解得或，
故答案為：1或2
51．（2023下·江蘇無錫·高二江蘇省太湖高級中學校考階段練習）已知，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件及組合數(shù)公式求得，再利用組合數(shù)的性質(zhì)
遞推關系及組合數(shù)公式即可求解
【詳解】由，得，解得.
所以.
故答案為：.
52．（2023下·湖北黃石·高二校考期中）已知 ， 則 .
【答案】3或 1/1或 3.
【分析】解方程或檢驗即得解.
【詳解】解：由題得或，
所以或，
所以或或或.
時，滿足題意；時，，不滿足題意；
時，，不滿足題意. 滿足題意.
故答案為：3或1.
53．（2023·高二課時練習）計算： ．
【答案】124
【分析】由組合數(shù)的定義確定的取值，然后由組合數(shù)性質(zhì)計算．
【詳解】由已知，得需滿足，即，∴，
∴原式．
故答案為：124．
54．（2023·上海）平面上，四條平行直線與另外五條平行直線互相垂直，則它的矩形共有 個（結(jié)果用數(shù)值表示）．
【答案】60
【分析】根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)運算求解.
【詳解】∵矩形的對邊相互平行，則從兩組的平行線中分別任取兩條即可構成矩形
∴不同的取法分別有和種，
故共有種.
故答案為：60.
55．（2023下·江蘇南通·高二校聯(lián)考期中）將某商場某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個的長方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有 ．（結(jié)果用數(shù)字作答）
【答案】210
【分析】由題意分析得路線應該是3次向上,2次向右,2次向前，從而得到答案.
【詳解】由題意,最近的路線應該是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路線共有,
故答案為：210
56．（2023·全國·高二專題練習）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則該重卦可以有 種.(用數(shù)字作答)
【答案】20
【分析】只需從6個位置中選取3個位置放置陽爻，則問題得解.
【詳解】根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，
假設有6個位置，在其中任選3個，安排3個“陰爻”，有種情況，
即該重卦可以有20種情況，
故答案為：20.
57．（2023·全國）從1，2，…，10這十個數(shù)中取出四個數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有 種取法（用數(shù)字作答）．
【答案】100
【分析】根據(jù)題意，將這10個數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩個組，每組各5個數(shù)；分析可得，取出的四個數(shù)必有1個或3個奇數(shù)，進而利用乘法計數(shù)原理進行計算即可.
【詳解】根據(jù)題意，將這10個數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩個組，每組各5個數(shù)；
若取出的四個數(shù)的和為奇數(shù)，則取出的四個數(shù)必有1個或3個奇數(shù)；
若有1個奇數(shù)時，有種取法，
若有3個奇數(shù)時，有種取法，
故符合題意得取法共種取法；
故答案為：100
58．（2023·高二課時練習）從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相
除，有n個不同的商，則m∶n＝ .
【答案】1∶2
【詳解】由已知得不同積的個數(shù)，不同商的個數(shù)為，故.
四、解答題
59．（2023下·甘肅白銀·高二甘肅省會寧縣第一中學校考期中）2023年4月，新型冠狀病毒疫情牽動著全國人民的心，某市根據(jù)上級要求，在本市某人民醫(yī)院要選出護理外科、心理治療方面的專家4人與省專家組一起趕赴上海參加救助工作，該醫(yī)院現(xiàn)有3名護理專家，，，5名外科專家，，，，，2名心理治療專家，.
(1)求4人中有1位外科專家，1位心理治療師的選法有多少種
(2)求至少含有2位外科專家，且外科專家和護理專家不能同時被選的選法有多少種
【答案】(1)30
(2)133
【分析】（1）根據(jù)組合的定義及組合數(shù)公式，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解；
（2）根據(jù)組合的定義及組合數(shù)公式，再利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】（1）設選出的4個人參加救助工作中有1位外科專家，1位心理治療師為事件，則滿足事件的情況共有種；
（2）設選出的4人參加救助工作中至少含有2位外科專家，且外科專家和護理專家不能同時被選
為事件，則滿足事件的情況為：①當選擇時，
當有2位外科專家時，共有種情況；
當有3位外科專家時，共有種情況；
當有4位外科專家時，共有種情況；
②當不選擇時，
當有2位外科專家時，共有種情況；
當有3位外科專家時，共有種情況；
當有4位外科專家時，共有種情況；
綜上：滿足事件的情況共有種情況；
60．（2023下·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）利用分步乘法原理求解即可；
（2）先選一個特稱的盒子，然后利用分步原理求解；
（3）先二個特殊盒子，然后把球分堆，最后利用分布乘法原理求解即可．
【詳解】解：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有種．
（2）為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，
即將4個球分成2，1，1的三組，有種分法；
然后再從三個盒子中選一個放兩個球，其余兩個球，兩個盒子，全排列即可.
由分步乘法計數(shù)原理，共有放法：種．
（3）先從四個盒子中任意拿走兩個有種，
問題轉(zhuǎn)化為：“4個球，兩個盒子，每盒必放球，有幾種放法？
”從放球數(shù)目看，可分為（3，1），（2，2）兩類.
第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有種放法；
第二類：有種放法.因此共有種.
由分步乘法計數(shù)原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有：種．
61．（2023下·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期末）如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中的一點．今在道路網(wǎng)處的甲、乙兩人分別要到處，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲從到達處的走法總數(shù)；
(2)求甲乙兩人在相遇的方法數(shù)．
【答案】(1)924種
(2)50625種
【分析】（1）甲從到達需要走12步，結(jié)合分步計算原理即可得到方法數(shù)；
（2）分別求出甲經(jīng)過的方法數(shù)，乙經(jīng)過的方法數(shù)，即可得到甲乙在相遇的方法數(shù).
【詳解】（1）甲從出發(fā)走到需要走12步，向右、向上各走6步，走法總數(shù)為種.
（2）甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)為種，
所以甲乙兩人在相遇的方法數(shù)為種.
62．（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．
【答案】(1)排列問題
(2)排列問題
(3)組合問題
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)有順序還是無順序，即可求解.
【詳解】（1）因為一種火車票與起點、終點順序有關，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．
（2）由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．
（3）從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．
63．（2023下·高二課時練習）已知，求．
【答案】84
【分析】把組合數(shù)展開，解方程求出m，再求.
【詳解】解：∵－＝－，
而＝，
∴
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21．
而0≤m≤5，∴m＝2．
∴．
故答案為：84.
【點睛】組合數(shù)的計算技巧：
①定義法；②階乘轉(zhuǎn)化；③靈活運用性質(zhì).
64．（2023下·高二課時練習）從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．
【答案】所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種．
【分析】根據(jù)題意，逐一列舉出來即可得到結(jié)果.
【詳解】
先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個寫出來，如圖所示：
由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種．
65．（2023下·天津·高二天津市薊州區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）從包含甲、乙2人的8人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；
(2)甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；
(3)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；
(4)甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；
(5)甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60
(2)480
(3)180
(4)180
(5)210
【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）優(yōu)先考慮（2）有特殊要求的元素（或位置）優(yōu)先考慮（3）元素相鄰用捆綁法（4）元素不相鄰用插空法（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分類
【詳解】（1）先安排甲、乙2人位置，再從出甲、乙之外的6人中選2人安排他們的位置，則方法數(shù)為
（2）先從甲、乙2人中選一人安排其位置，再從出甲、乙之外的6人中選3人安排他們的位置，則方法數(shù)為
（3）先把甲、乙2人看作一個元素，再從除甲、乙之外的6人中選2人和甲和乙這個整體來排序，則方法數(shù)為
（4）從除甲、乙之外的6人中選2人排序，再讓甲和乙來插空，則方法數(shù)為
（5）第一步，從除甲、乙之外的6人中選2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
則方法數(shù)為

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