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6.3 二項式定理6題型分類
一、二項式展開式
二、二項展開式的通項公式
三、二項式系數表(楊輝三角)
展開式的二項式系數，當依次取時，二項式系數表，表中每行兩端都是1，除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和.
四、二項式系數的性質
1．對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．直線是圖象的對稱軸．
2．增減性與最大值：當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項，取得最大值．
3．二項式系數和：，
奇數項的系數等于偶數項的系數等于.
（一） 二項式展開式 1．二項式展開式： 2.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式.另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通項公式時，要注意通項公式是表示第項，而不是第項．
題型1：求二項式的展開式及特定項 1-1．（2023·江蘇·高二專題練習）化簡多項式的結果是（ ） A． B． C． D． 1-2．（2023下·山西朔州·高二校考階段練習）（ ） A． B． C． D． 1-3．（2023下·江蘇南京·高二校考期中）化簡的結果為（ ） A．x4 B． C． D． 1-4．（2023上·天津河北·高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）在的展開式中，的系數是（ ） A．35 B． C．560 D．
（二） 兩個二項式相乘問題 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式，常見的解題思路： 1．若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分別求解． 2．觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分別得到(a＋b)m，(c＋d)n的通項，綜合考慮．
題型2：兩個二項式相乘問題 2-1．（2023上·四川·高三校聯考開學考試）的展開式中的常數項為（ ） A．240 B． C．400 D．80 2-2．（2023·四川成都·統考二模）二項式展開式中的系數為（ ） A．120 B．135 C．140 D．100 2-3．（2023上·江蘇常州·高三校聯考階段練習）已知，則的值為（ ） A． B．0 C．1 D．2 2-4．（2023·山東·校聯考模擬預測）的展開式中的系數為（ ） A． B． C．160 D．80
（三） 多項式展開式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式問題的處理方法： 1．通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解． 2．將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形． 3．可采用排列組合的形式進行抽取，技巧性較高．
題型3：求多項式展開式及特定項 3-1．（2023·河南洛陽·統考模擬預測）的展開式中x項的系數為（ ） A．568 B．－160 C．400 D．120 3-2．（2023上·廣西貴港·高三校聯考階段練習）展開式中的系數為（ ） A． B．21 C． D．35 3-3．（2023上·廣東廣州·高三統考階段練習）展開式中各項系數的和為64，則該展開式中的項的系數為（ ） A． B． C．100 D．160 3-4．（2023下·河南南陽·高二校聯考期末）的展開式中的系數為（ ） A．4 B．6 C．8 D．12
（四） 二項式系數及項的系數的和及性質 1、賦值法在求各項系數和中的應用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)， 奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二項式系數的最大項：如果二項式的冪指數是偶數時，則中間一項的二項式系數取得最大值。如果二項式的冪指數是奇數時，則中間兩項的二項式系數,同時取得最大值。 3、系數的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項 系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來。 4、求解二項式系數或系數的最值問題的一般步驟： 第一步，要弄清所求問題是“展開式系數最大”、“二項式系數最大”兩者中的哪一個． 第二步，若是求二項式系數的最大值，則依據(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數的性質求解．若是求系數的最大值，有兩個思路，思路一：由于二項展開式中的系數是關于正整數n的式子，可以看作關于n的數列，通過判斷數列單調性的方法從而判斷系數的增減性，并根據系數的單調性求出系數的最值；思路二：由于展開式系數是離散型變量，因此在系數均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組即可求得答案．
題型4：二項式系數及項的系數的和 4-1．（2023上·四川巴中·高三南江中學校考階段練習）已知的展開式中二項式系數的和是1024，則它的展開式中的常數項是（ ） A．252 B． C．210 D． 4-2．（2023下·四川雅安·高二統考期末）在的展開式中，各項系數與二項式系數和之比為64，則該展開式中的常數項為（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 4-3．（2023下·吉林·高二校聯考期末）在的展開式中，二項式系數的和是16，則展開式中各項系數的和為（ ） A．16 B．32 C．1 D． 4-4．（2023上·湖南·高三校聯考開學考試）已知的展開式中各項系數的和為，則該展開式中的系數為（ ） A．0 B． C．120 D． 4-5．（2023上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設多項式， 則 . 4-6．（2023下·高二單元測試）已知，若，則自然數n＝ .
題型5：二項式系數或系數的最值 5-1．（2023·浙江·校考模擬預測）若二項式的展開式中只有第7項的二項式系數最大，若展開式的有理項中第項的系數最大，則（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5-2．（2023上·河南安陽·高三校聯考階段練習）已知的展開式中只有第5項是二項式系數最大，則該展開式中各項系數的最小值為（ ） A． B． C． D． 5-3．（2023下·安徽黃山·高二統考期末）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（ ） A．展開式所有項的系數和為 B．展開式二項式系數最大為 C．展開式中沒有常數項 D．展開式中有理項共有5項 5-4．（2023下·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期末）的二項展開式中，系數最大的是第 項.
（五） 整除和余數問題 整除和余數問題的解題技巧： 1．利用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了． 2．解決求余數問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式．
題型6：整除和余數問題 6-1．（2023下·福建泉州·高二校考期中）設，則當時，除以15所得余數為（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 6-2．（2023上·江西·高二統考階段練習）設n∈N，且 能被6整除，則n的值可以為 .(寫出一個滿足條件的n的值即可) 6-3．（2023下·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期中）已知且滿足能被8整除，則符合條件的一個的值為 . 6-4．（2023·全國）除以100的余數是 ． 6-5．（2023·高二課時練習）若能被13整除，則實數a的值可以為 ．（填序號） ①0；②11；③12；④25．
一、單選題
1．（2023上·廣東江門·高三統考階段練習）在的展開式中常數項為（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
2．（2023下·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學校考期中）在的展開式中，記項的系數為，則（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
3．（2023下·山東濟南·高二統考期末）的展開式中，所有不含z的項的系數之和為（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
4．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習）在的展開式中，含的項的系數為（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
5．（2023·安徽蕪湖·統考模擬預測）展開式中，項的系數為（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
6．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）在的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數之和為（ ）
A．299 B． C．300 D．
7．（2023·江蘇·高二專題練習）二項式的展開式中系數為有理數的項共有（ ）
A．6項 B．7項 C．8項 D．9項
8．（2023·河南開封·校聯考模擬預測）的展開式中所有有理項的系數和為（ ）
A．85 B．29 C． D．
9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城東中學校考期中）若，且，則實數的值可以為（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
10．（2023·陜西西安·高三西安中學校考階段練習）設，若，則實數a的值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
11．（2023上·江蘇蘇州·高二校考階段練習）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設a，b，為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
12．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中學校考期中）的計算結果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
13．（2023下·安徽·高二校聯考期末）估算的結果，精確到0.01的近似值為（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
14．（2023下·江蘇蘇州·高二統考期中）已知為正整數，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2023下·北京·高二北京師大附中校考期中）當時，將三項式展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：
若在的展開式中，的系數為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·安徽阜陽·高二安徽省臨泉第一中學統考期末）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數構成的三角形數陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數值之和，每一行第個數組成的數列稱為第斜列．該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角形數陣前2023行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
二、多選題
17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展開式中各項系數的和為2，則下列結論正確的有（ ）
A． B．展開式中常數項為160
C．展開式系數的絕對值的和1458 D．展開式中含項的系數為240
18．（2023上·山東·高三山東師范大學附中校考階段練習）已知的展開式中第二項與第三項的系數的絕對值之比為1:8，則（ ）
A． B．展開式中所有項的系數和為1
C．展開式中二項式系數和為 D．展開式中不含常數項
19．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）在的展開式中，有理項恰有兩項，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展開式中第3項與第5項的系數之比為，則下列結論成立的是（ ）
A． B．展開式中的常數項為45
C．含的項的系數為210 D．展開式中的有理項有5項
21．（2023下·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯考期中）已知，若，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023上·廣東佛山·高三統考期中）設，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023下·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學校考期中）已知，下列命題中，正確的是（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為；
B．展開式中所有奇次項系數的和為；
C．展開式中所有偶次項系數的和為；
D．.
25．（2023上·湖北·高三黃岡中學校聯考階段練習）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023上·遼寧本溪·高二校考階段練習）已知的展開式中第4項與第7項的二項式系數相等，且展開式的各項系數之和為0，則（ ）
A．
B．的展開式中有理項有5項
C．的展開式中偶數項的二項式系數和為512
D．除以9余8
27．（2023·高二課時練習）設，且，若能被13整除，則a的值可以為（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
28．（2023下·重慶·高二統考期末）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，是二項式系數（，且）在三角形中的一種幾何排列，北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋時期杭州人楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如下圖所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”，故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”，楊輝三角形的構造法則為：三角形的兩個腰都是由數字1組成的，其余的數都等于它肩上的兩個數字相加.根據以上信息及二項式定理的相關知識分析，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．當且時，
C．為等差數列
D．存在，使得為等差數列
三、填空題
29．（2023下·江蘇無錫·高二統考期中）設，化簡 .
30．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）求值：
31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中學校考期中）已知二項式展開式中含有常數項，則n的最小值為 ．
32．（2023·海南省直轄縣級單位·統考三模）的展開式中含項的系數為 .（用數字作答）
33．（2023上·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考階段練習）的展開式中各二項式系數之和為64，則展開式中的常數項為 ．
34．（2023·全國·模擬預測）的展開式中的常數項為 .
35．（2023·全國·模擬預測）寫出一個正整數n，使的展開式中含有常數項，則n＝ ．（答案不唯一，寫出一個符合題意的即可）
36．（2023下·廣東廣州·高二廣州市禺山高級中學校聯考期中）若展開式中第5項為常數項，則 ；
37．（2023·江西南昌·統考二模）的展開式共有8項，則常數項為 ．
38．（2023·福建漳州·統考二模）已知的展開式中的系數為
39．（2023下·四川成都·高三成都七中校考開學考試）在的二項展開式中，第 項為常數項.
40．（2023上·天津靜海·高三校考階段練習）設常數，展開式中的系數為，則 .
41．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）在二項式的展開式中，所有的二項式系數之和為64，則該展開式中的的系數是 ．
42．（2023下·北京石景山·高二統考期末）在的展開式中，二項式系數之和為 ；各項系數之和為 ．（用數字作答）
43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）若的展開式的所有項的系數和與二項式系數和的比值是32,則展開式中項的系數是 .
44．（2023下·河北唐山·高二校聯考期中）若的展開式中二項式系數的和為，則該展開式中的常數項是 ．
45．（2023下·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期末）在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為32，則的系數為 .
46．（2023上·北京·高三北京市第十一中學校考階段練習）二項式的展開式中，常數項是 ，各項二項式系數之和是 .（本題用數字作答）
47．（2023下·河南焦作·高二武陟縣第一中學校考期末）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
48．（2023下·浙江湖州·高二統考期中）的展開式中，記項的系數為，則
49．（2023·江西·校聯考一模）的展開式中常數項為 ．（用數字作答）
50．（2023上·河北邯鄲·高三統考開學考試）已知，則的值為 .
51．（2023·湖南長沙·雅禮中學校聯考一模）展開式中的常數項為 .
52．（2023·浙江·校聯考三模）已知多項式，則 ， ．
53．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）的展開式中，的系數為 .
54．（2023·全國·高二專題練習）已知的所有項的系數的和為64，展開式中項的系數為 ．
55．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展開式中，的系數為 .
56．（2023·高二課時練習）的展開式的所有項的系數和為243，則展開式中的系數為 .
57．（2023上·四川廣安·高三四川省岳池中學校考階段練習）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中有理項的個數為 ．
58．（2023·全國·高二專題練習）如果的展開式中第3項與第2項系數的比是4，那么展開式里x的有理項有 項．（填個數）
59．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考三模）已知且，，，且，則 ．
60．（2023下·江蘇·高二校聯考階段練習）已知，且，則 ．
61．（2023·福建·高三統考階段練習）已知，若，則 或 ．
62．（2023·浙江杭州·杭州高級中學校考模擬預測）已知.且，則 ，該展開式第3項為 .
63．（2023下·全國·高二專題練習）1.028的近似值是 .(精確到小數點后三位)
四、解答題
64．（2023下·高二課時練習）求的展開式.
65．（2023·高二課時練習）求的展開式．
66．（2023上·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）在二項式展開式中，第3項和第4項的系數比為．
(1)求n的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大的項是第幾項．
67．（2023上·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知為正偶數，在的展開式中，第5項的二項式系數最大．
(1)求展開式中的一次項；
(2)求展開式中系數最大的項．
68．（2023·高二課時練習）已知的展開式中，前三項的系數成等差數列．
(1)求展開式中二項式系數最大的項；
(2)求展開式中系數最大的項．
69．（2023下·江西贛州·高二贛州市贛縣第三中學校考階段練習）已知的二項式展開式的各項二項式系數和與各項系數和均為128，
(1)求展開式中所有的有理項；
(2)求展開式中系數最大的項．6.3 二項式定理6題型分類
一、二項式展開式
二、二項展開式的通項公式
三、二項式系數表(楊輝三角)
展開式的二項式系數，當依次取時，二項式系數表，表中每行兩端都是1，除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和.
四、二項式系數的性質
1．對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．直線是圖象的對稱軸．
2．增減性與最大值：當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項，取得最大值．
3．二項式系數和：，
奇數項的系數等于偶數項的系數等于.
（一） 二項式展開式 1．二項式展開式： 2.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式.另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通項公式時，要注意通項公式是表示第項，而不是第項．
題型1：求二項式的展開式及特定項 1-1．（2023·江蘇·高二專題練習）化簡多項式的結果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，將多項式的每一項都變成二項式展開式的結構，觀察結構變化，即可進行合并，完成求解. 【詳解】依題意可知，多項式的每一項都可看作， 故該多項式為的展開式， 化簡． 故選：D. 1-2．（2023下·山西朔州·高二校考階段練習）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】設，利用二項式定理展開，再對兩邊求導可得兩邊求導數，，分別取和，即可求出結果. 【詳解】設， 兩邊求導數，， 令，得， 取，得. 故選：D. 1-3．（2023下·江蘇南京·高二校考期中）化簡的結果為（ ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用二項展開式定理即可得答案. 【詳解】 故選：A. 1-4．（2023上·天津河北·高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）在的展開式中，的系數是（ ） A．35 B． C．560 D． 【答案】C 【分析】利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數. 【詳解】二項式的展開式的通項公式為， 令， 所以的展開式中的系數為. 故選：C
（二） 兩個二項式相乘問題 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式，常見的解題思路： 1．若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分別求解． 2．觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分別得到(a＋b)m，(c＋d)n的通項，綜合考慮．
題型2：兩個二項式相乘問題 2-1．（2023上·四川·高三校聯考開學考試）的展開式中的常數項為（ ） A．240 B． C．400 D．80 【答案】D 【分析】根據二項式定理求解的展開式中的常數項和含的項的系數，進而求解的展開式中的常數項. 【詳解】的展開式的通項為， 令，得， 則的展開式中的常數項為， 令，得， 則的展開式中含的項的系數為， 所以的展開式中的常數項為. 故選：D． 2-2．（2023·四川成都·統考二模）二項式展開式中的系數為（ ） A．120 B．135 C．140 D．100 【答案】B 【分析】利用二項式定理得到的展開式通項公式，求出，，，進而與對應的系數相乘，求出展開式中的系數. 【詳解】的展開式通項公式為， 其中，，， 故二項式中的四次方項為， 即展開式中的系數為. 故選：B 2-3．（2023上·江蘇常州·高三校聯考階段練習）已知，則的值為（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根據，結合二項式定理求解即可. 【詳解】因為，展開式第項， 當時，，當時，， 故，即. 故選：B 2-4．（2023·山東·校聯考模擬預測）的展開式中的系數為（ ） A． B． C．160 D．80 【答案】D 【分析】先將表達式變形為，再求解展開式中，最后與中的乘積即可得的系數. 【詳解】解：， 展開式的通項為， 令，得的展開式中的系數為， 所以的展開式中的系數為. 故選：D
（三） 多項式展開式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式問題的處理方法： 1．通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解． 2．將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形． 3．可采用排列組合的形式進行抽取，技巧性較高．
題型3：求多項式展開式及特定項 3-1．（2023·河南洛陽·統考模擬預測）的展開式中x項的系數為（ ） A．568 B．－160 C．400 D．120 【答案】D 【分析】先寫出的展開式的通項，再求出滿足x的次冪為1的項，代入求和即可得解． 【詳解】因為， 又的展開式的通項為，且，， 所以的展開式的通項為且，， 令，得或或或，則x項的系數為， 故選：D． 3-2．（2023上·廣西貴港·高三校聯考階段練習）展開式中的系數為（ ） A． B．21 C． D．35 【答案】A 【分析】先將原式整理為，視為兩項的展開式，要含有的項，需要在中找即可 【詳解】因為展開式的通項公式為，所以當時，含有的項，此時，故的系數為． 故選：A 3-3．（2023上·廣東廣州·高三統考階段練習）展開式中各項系數的和為64，則該展開式中的項的系數為（ ） A． B． C．100 D．160 【答案】C 【分析】先用賦值法求得項數n，由于原式為三項式，需將作為整體進行二項式展開，從原式展開式中取出前兩項再進行展開，分別求出包含項和項的系數，最后代回原式求和即可. 【詳解】取代入，得，解得 則原式 其中，只有前兩項包含項. ，其中項的系數為； ，其中項的系數為. 故原式展開式中的項的系數為. 故選：C. 3-4．（2023下·河南南陽·高二校聯考期末）的展開式中的系數為（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】變形后求出其通項公式，令，則，再求出中的的系數即可求得結果 【詳解】的通項公式， 令，則， 所以的系數為， 故選：B
（四） 二項式系數及項的系數的和及性質 1、賦值法在求各項系數和中的應用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)， 奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二項式系數的最大項：如果二項式的冪指數是偶數時，則中間一項的二項式系數取得最大值。如果二項式的冪指數是奇數時，則中間兩項的二項式系數,同時取得最大值。 3、系數的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項 系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來。 4、求解二項式系數或系數的最值問題的一般步驟： 第一步，要弄清所求問題是“展開式系數最大”、“二項式系數最大”兩者中的哪一個． 第二步，若是求二項式系數的最大值，則依據(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數的性質求解．若是求系數的最大值，有兩個思路，思路一：由于二項展開式中的系數是關于正整數n的式子，可以看作關于n的數列，通過判斷數列單調性的方法從而判斷系數的增減性，并根據系數的單調性求出系數的最值；思路二：由于展開式系數是離散型變量，因此在系數均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組即可求得答案．
題型4：二項式系數及項的系數的和 4-1．（2023上·四川巴中·高三南江中學校考階段練習）已知的展開式中二項式系數的和是1024，則它的展開式中的常數項是（ ） A．252 B． C．210 D． 【答案】B 【分析】求解先求出n，在利用通項公式求解 【詳解】由的展開式中二項式系數的和是1024，故，所以． 由二項式定理得展開通項為， 當時為常數項， 故選：B 4-2．（2023下·四川雅安·高二統考期末）在的展開式中，各項系數與二項式系數和之比為64，則該展開式中的常數項為（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【分析】令可得展開式各項系數和，再由二項式系數和為，即可得到方程，求出，再寫出二項式展開式的通項，令的指數為，即可求出，再代入計算可得； 【詳解】解：對于，令，可得各項系數和為，又二項式系數和為， 所以，解得， 所以展開式的通項為， 令，解得，所以； 故選：C 4-3．（2023下·吉林·高二校聯考期末）在的展開式中，二項式系數的和是16，則展開式中各項系數的和為（ ） A．16 B．32 C．1 D． 【答案】A 【分析】先根據二項式系數和公式得，再令特殊值即可求得答案. 【詳解】解：因為二項式系數的和是16，所以，解得， 所以，令得展開式中各項系數的和為． 故選：A 4-4．（2023上·湖南·高三校聯考開學考試）已知的展開式中各項系數的和為，則該展開式中的系數為（ ） A．0 B． C．120 D． 【答案】A 【分析】令，構建方程可得，再根據的展開式，令和，代入運算求解． 【詳解】因為的展開式中各項系數的和為， 所以令，得，解得， ∵的展開式為 則展開式中含的項為，故的系數為0. 故選：A． 4-5．（2023上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設多項式， 則 . 【答案】 【分析】分別賦值，得到兩個等式，兩式相加即得偶數項系數的倍. 【詳解】依題意，令，得到：，令，得到： ，兩式相加可得：，故. 故答案為： 4-6．（2023下·高二單元測試）已知，若，則自然數n＝ . 【答案】5 【分析】利用賦值的方法分別讓，，得到兩個等式，再結合題目中的條件即可求出. 【詳解】令，得， 令，得，所以，. 故答案為：5.
題型5：二項式系數或系數的最值 5-1．（2023·浙江·校考模擬預測）若二項式的展開式中只有第7項的二項式系數最大，若展開式的有理項中第項的系數最大，則（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根據條件可得.寫出展開式的通項，則當是偶數時，該項為有理項，求得所有的有理項的系數，可解出的值. 【詳解】由已知可得，.根據二項式定理，知展開式的通項為 ，顯然當是偶數時，該項為有理項， 時，；時，； 時，；時，； 時，；時，； 時，. 經比較可得，，即時系數最大，即展開式的有理項中第5項的系數最大． 故選：A. 5-2．（2023上·河南安陽·高三校聯考階段練習）已知的展開式中只有第5項是二項式系數最大，則該展開式中各項系數的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根據二項式系數的性質可得，再結合二項展開式的通項求各項系數，分析列式求系數最小項時的值，代入求系數的最小值. 【詳解】∵展開式中只有第5項是二項式系數最大，則 ∴展開式的通項為 則該展開式中各項系數 若求系數的最小值，則為奇數且，即，解得 ∴系數的最小值為 故選：C. 5-3．（2023下·安徽黃山·高二統考期末）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（ ） A．展開式所有項的系數和為 B．展開式二項式系數最大為 C．展開式中沒有常數項 D．展開式中有理項共有5項 【答案】D 【分析】根據二項式展開式的項數、展開式的系數和、二項式系數最大值、常數項、有理項等知識求得正確選項. 【詳解】因為，所以，令，得所有項的系數和為，故A錯誤. 由二項式系數的性質可知二項式系數最大的項為第7項的二項式系數為，故B錯誤. 因為展開式的通項為， 當時，， 故C錯誤. 當為整數時，，3，6，9，12，共有5項，故D正確. 故選：D 5-4．（2023下·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期末）的二項展開式中，系數最大的是第 項. 【答案】 【分析】利用二項式定理得到展開式的通項公式，然后設第項系數最大，列出不等式組，求出，從而得到答案. 【詳解】展開式的通項公式為， 假設第項系數最大，則有， 解得：， 因為，所以，則，即系數最大的是第1868項. 故答案為：1868
（五） 整除和余數問題 整除和余數問題的解題技巧： 1．利用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了． 2．解決求余數問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式．
題型6：整除和余數問題 6-1．（2023下·福建泉州·高二校考期中）設，則當時，除以15所得余數為（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用二項式定理化簡，結合二項式的展開式公式即可求解. 【詳解】∵， ∴，當時，， 而，故此時除以15所得余數為3. 故選:A. 6-2．（2023上·江西·高二統考階段練習）設n∈N，且 能被6整除，則n的值可以為 .(寫出一個滿足條件的n的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先利用二項展開式將變形，進而即可求得n的可能取值 【詳解】 被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 則n的值可以為5，或11，或17等，答案不唯一 故答案為：5（答案不唯一） 6-3．（2023下·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期中）已知且滿足能被8整除，則符合條件的一個的值為 . 【答案】5（答案不唯一） 【分析】對進行合理變形，并利用二項式定理展開，從而得出的值. 【詳解】由已知得，由已知且滿足能被8整除，則是8的整數倍，所以（），則符合條件的一個的值為5. 故答案為：（答案不唯一） 6-4．（2023·全國）除以100的余數是 ． 【答案】81 【分析】根據二項式定理的應用求余數即可. 【詳解】，在此展開式中，除了最后兩項外，其余項都能被100整除，故除以100的余數等價于除以100的余數，所以余數為81. 故答案為：81. 6-5．（2023·高二課時練習）若能被13整除，則實數a的值可以為 ．（填序號） ①0；②11；③12；④25． 【答案】③④ 【分析】由，根據二項式定理展開，轉化為能被13整除，結合選項即可求解. 【詳解】解析：∵， 又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除， ∴，，結合選項可知③④滿足． 故答案為：③④．
一、單選題
1．（2023上·廣東江門·高三統考階段練習）在的展開式中常數項為（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
【答案】D
【分析】根據二項式定理及多項式乘法法則求解．
【詳解】由二項式定理得，
所以所求常數項為．
故選：D．
2．（2023下·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學校考期中）在的展開式中，記項的系數為，則（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C
【分析】根據題意，得到展開式中項的系數為：，分別求解，即可得出結果.
【詳解】根據題意，得到展開式中項的系數為：
，
所以，，，，
因此．
故選：C.
3．（2023下·山東濟南·高二統考期末）的展開式中，所有不含z的項的系數之和為（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】D
【分析】原問題即為求展開式中的所有項的系數和，令，即可得答案.
【詳解】解：展開式的通項公式為，
若展開式中的項不含z，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項，
令，可得所有不含z的項的系數之和為，
故選：D.
4．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習）在的展開式中，含的項的系數為（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
【答案】C
【分析】將整理為，根據二項展開式分析可得，對每種情況再根據二項展開式理解運算.
【詳解】，其展開式為：
根據題意可得：
當時，則，展開式為：
∴，則的項的系數為
當時，則，展開式為：
∴，則的項的系數為
當時，則，展開式為：
∴，則的項的系數為
綜上所述：含的項的系數為
故選：C．
5．（2023·安徽蕪湖·統考模擬預測）展開式中，項的系數為（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【分析】根據展開式的含義，可確定出現有兩種情況，求出每種情況展開式中含有的項，即可求得答案.
【詳解】，表示5個相乘，
展開式中出現有兩種情況，第一種是中選出3個和2個1，
第二種是中選出4個和1個，
所以展開式中含有項有和，
所以項的系數為,
故答案為：B
6．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）在的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數之和為（ ）
A．299 B． C．300 D．
【答案】A
【分析】先，求出展開式中所有項的系數和，然后求出項的系數，從而可得答案.
【詳解】令，得.
所以的展開式中所有項的系數和為 .
由可以看成是5個因式相乘.
要得到項，則5個因式中有1個因式取，一個因式取，其余3個因式取1，然后相乘而得.
所以的展開式中含的項為，
所以的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數之和為.
故選：A
7．（2023·江蘇·高二專題練習）二項式的展開式中系數為有理數的項共有（ ）
A．6項 B．7項 C．8項 D．9項
【答案】D
【分析】由二項式的通項公式結合有理項的性質即可求解.
【詳解】二項式的通項，
若要系數為有理數，則，，，且，
即，，易知滿足條件的，
故系數為有理數的項共有9項.
故選：D
8．（2023·河南開封·校聯考模擬預測）的展開式中所有有理項的系數和為（ ）
A．85 B．29 C． D．
【答案】C
【分析】寫出通項后可得有理項，進一步計算可得結果.
【詳解】展開式的通項為：
，其中，
當時為有理項，故有理項系數和為
，
故選：C.
9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城東中學校考期中）若，且，則實數的值可以為（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
【答案】A
【分析】利用賦值法，分別令，和，
，
，
再根據，求得的值．
【詳解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故選：A
10．（2023·陜西西安·高三西安中學校考階段練習）設，若，則實數a的值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】對已知關系式兩邊同時求導，然后令，建立方程即可求解.
【詳解】對已知關系式兩邊同時求導可得：
，
令，則，
，即，解得：.
故選：A.
11．（2023上·江蘇蘇州·高二校考階段練習）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設a，b，為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】由二項式定理可得，結合算法新定義判斷滿足對應b值.
【詳解】若，
由二項式定理得，則，
因為能被5整除，所以a除以5余，
又因為，選項中2026除以5余1．
故選：D．
12．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中學校考期中）的計算結果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【分析】由二項式定理求解
【詳解】.
故選：C
13．（2023下·安徽·高二校聯考期末）估算的結果，精確到0.01的近似值為（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【分析】利用二項式定理進行計算．
【詳解】原式
+
．
故選：A．
14．（2023下·江蘇蘇州·高二統考期中）已知為正整數，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由，根據二項式定理，將式子展開，估算，進而可得，再由題意，即可得出結果.
【詳解】因為
，
而，
所以，
因此，
又為正整數，，所以；
故選：C.
【點睛】本題主要考查近似計算的問題，靈活運用二項式定理即可，屬于常考題型.
15．（2023下·北京·高二北京師大附中校考期中）當時，將三項式展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：
若在的展開式中，的系數為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據廣義楊輝三角形可得出的展開式，可得出的展開式中的系數，即可求得的值.
【詳解】由廣義楊輝三角形可得，
故的展開式中，的系數為，解得.
故選：C.
16．（2023下·安徽阜陽·高二安徽省臨泉第一中學統考期末）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數構成的三角形數陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數值之和，每一行第個數組成的數列稱為第斜列．該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角形數陣前2023行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】C
【分析】根據題意可得第斜列各項之和為，第斜列各項之和為，則可求出.
【詳解】當時，第斜列各項之和為，
同理，第斜列各項之和為，所以，
所以第斜列與第斜列各項之和最大時，，則.
故選：C．
二、多選題
17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展開式中各項系數的和為2，則下列結論正確的有（ ）
A． B．展開式中常數項為160
C．展開式系數的絕對值的和1458 D．展開式中含項的系數為240
【答案】ACD
【分析】對于A,先利用賦值法算出；對于B和D，求出展開式的通項公式，再由多項式乘法法則即可判斷；對于C，展開式系數的絕對值的和可看做是二項式展開式系數的和，然后用賦值法即可判斷
【詳解】解：對于A,令，所以的展開式中各項系數的和為，解得，故A正確；
對于B和D,展開式通項公式為,
當時，；當時，(舍去)，
所以展開式中常數項為；
當時，；當時，(舍去)，
所以展開式中含項的系數為，
故B錯誤，D正確；
對于C，二項式展開式系數的絕對值的和可看做是二項式展開式系數的和，
所以令，展開式系數的和為，故C正確；
故選：ACD
18．（2023上·山東·高三山東師范大學附中校考階段練習）已知的展開式中第二項與第三項的系數的絕對值之比為1:8，則（ ）
A． B．展開式中所有項的系數和為1
C．展開式中二項式系數和為 D．展開式中不含常數項
【答案】AD
【分析】根據二項式定理，由題意寫出第二項與第三項系數之比的絕對值，求出n，用賦值法求出各項系數之和，再利用二項式定理以及系數的性質即可.
【詳解】由題意，則，，A正確；
，令，則所有項系數之和，B錯誤；二項式系數之和為 ，C錯誤；
，若為常數項，則有，是分數，所以不存在常數項，D正確；
故選：AD.
19．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）在的展開式中，有理項恰有兩項，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用二項式定理的通項公式得到滿足題意的項
【詳解】展開式通項為，
對于A，展開式通項為，所以由可得或8，所以此時有兩個有理項，故正確；
對于B，展開式通項為，所以由可得或6或12，所以此時有三個有理項，故錯誤；
對于C，展開式通項為，所以由可得或10，所以此時有兩個有理項，故正確；
對于D，展開式通項為，所以由可得或6或12，所以此時有三個有理項，故錯誤；
故選：AC
20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展開式中第3項與第5項的系數之比為，則下列結論成立的是（ ）
A． B．展開式中的常數項為45
C．含的項的系數為210 D．展開式中的有理項有5項
【答案】ABC
【分析】根據二項式的展開式的通項公式，結合第3項與第5項的系數之比為，可得.再根據公式逐個選項判斷即可.
【詳解】二項式的展開式的通項為，由于第3項與第5項的系數之比為，則，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正確；
則，令，解得，
則展開式中的常數項為，故B正確；
令，解得，則含的項的系數為，故C正確；
令，則r為偶數，此時，故6項有理項．
故選：ABC
21．（2023下·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯考期中）已知，若，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令，已知式變為，可求得，然后二項式變形為，并令二項式化為，可求得，二項式兩邊都對求導后令可求得，從而判斷各選項．
【詳解】令，則，已知式變為，
解得，
，，
，
，
令，則有，
兩邊對求導得，
再令得，
所以，
故選：BCD．
22．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】比較等式兩側x的最高次知且判斷A、B；將C中等式兩側乘，再令驗證即可；對已知等式兩側求導，將代入求值判斷D.
【詳解】由等式右邊最高為項，且不含項，則且，即，故A錯誤，B正確；
所以.
C：等式兩邊同乘，原等式等價于，令，則，正確；
D：，可得：，令，則，錯誤；
故選：BC
23．（2023上·廣東佛山·高三統考期中）設，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】賦值令，代入整理運算，逐項判斷.
【詳解】令，則，即，A錯誤；
令，則，即①，
則，B錯誤；
令，則，即②，
由①②可得：，，C、D正確；
故選：CD.
24．（2023下·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學校考期中）已知，下列命題中，正確的是（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為；
B．展開式中所有奇次項系數的和為；
C．展開式中所有偶次項系數的和為；
D．.
【答案】ACD
【分析】由二項式定理知的所有項的二項式系數和為，分別令、，再將所得作和差處理，求奇偶次項的系數和，根據通項，即可求，進而判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A：由二項式知：，故A正確；
當時，有，
當有，
對于B：由上，可得，故B錯誤；
對于C：由上，可得，故C正確；
對于D：由二項式通項知：，
則，，…，，
所以，故D正確.
故選：ACD
25．（2023上·湖北·高三黃岡中學校聯考階段練習）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】對于A，利用賦值法求解，對于B，利用二項式展開式的通項公式求解，對于C，利用賦值法求解，對于D，利用二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】對于A，令，則，令，則，
所以，所以A錯誤，
對于B，二項式展開式的通項公式為，所以，所以B錯誤，
對于C，令，則，因為，所以，，
因為，所以，所以，所以C正確，
對于D，因為二項式展開式的通項公式為，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正確，
故選：CD
26．（2023上·遼寧本溪·高二校考階段練習）已知的展開式中第4項與第7項的二項式系數相等，且展開式的各項系數之和為0，則（ ）
A．
B．的展開式中有理項有5項
C．的展開式中偶數項的二項式系數和為512
D．除以9余8
【答案】ABD
【分析】由二項式系數的概念與組合數的性質可判斷A；由二項式的通向結合有理項的概念判斷B；由偶數項的二項式系數和判斷C；由二項式定理判斷D
【詳解】對于，因為第4項與第7項的二項式系數相等，所以，
由組合數的性質知，故A正確；
對于，在的展開式中，令，得，
所以，
所以的二項式通項為.
由為整數，得，
所以展開式中有理項有5項，故B正確；
對于，展開式中偶數項的二項式系數和為，故錯誤；
對于D，由B知，則
，
所以除以9余8，故D正確.
故選：ABD.
27．（2023·高二課時練習）設，且，若能被13整除，則a的值可以為（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
【答案】CD
【分析】化簡，再利用二項式定理分析得解.
【詳解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故選：CD．
28．（2023下·重慶·高二統考期末）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，是二項式系數（，且）在三角形中的一種幾何排列，北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋時期杭州人楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如下圖所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”，故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”，楊輝三角形的構造法則為：三角形的兩個腰都是由數字1組成的，其余的數都等于它肩上的兩個數字相加.根據以上信息及二項式定理的相關知識分析，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．當且時，
C．為等差數列
D．存在，使得為等差數列
【答案】ABD
【分析】由組合數性質可判斷A；利用組合數公式化簡可判斷B；組合數公式結合等差數列定義可判斷CD.
【詳解】A選項：由組合數的性質可知A正確；
B選項：，
因為，所以，所以，B正確；
C選項：，C錯誤；
D選項：當時，，所以數列為公差為1的等差數列，D正確.
故選：ABD.
三、填空題
29．（2023下·江蘇無錫·高二統考期中）設，化簡 .
【答案】
【分析】逆用二項式定理，即可容易求得結果.
【詳解】容易知.
故答案為：.
【點睛】本題考查二項式定理的逆用，屬基礎題.
30．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）求值：
【答案】
【分析】根據二項式定理展開式配湊，即可求出．
【詳解】
．
故答案為．
【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,考查學生對二項展開式的理解．
31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中學校考期中）已知二項式展開式中含有常數項，則n的最小值為 ．
【答案】6
【分析】寫出二項式的通項公式并化解，根據已知列式，利用即可得到最小時的情況即可得出答案.
【詳解】二項式展開式的通項為：
，
二項式展開式中含有常數項，
有解，
則當時，最小，且最小值為6.
故答案為：6.
32．（2023·海南省直轄縣級單位·統考三模）的展開式中含項的系數為 .（用數字作答）
【答案】/
【分析】寫出的展開式的通項，令，求得,即可求得答案.
【詳解】由題意得：的展開式的通項為 ，
令 ，
故的展開式中含項的系數為，
故答案為：
33．（2023上·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考階段練習）的展開式中各二項式系數之和為64，則展開式中的常數項為 ．
【答案】135
【分析】根據展開式中二項式系數和求得的值，再利用展開式的通項公式求出常數項．
【詳解】解：的展開式中各項二項式系數之和為64，
則，解得；
展開式的通項公式為
，
令，解得；
展開式中的常數項為．
故答案為：135．
34．（2023·全國·模擬預測）的展開式中的常數項為 .
【答案】84
【分析】根據二項式定理確定展開式的通項，即可求得常數項.
【詳解】的展開式的通項公式為，
令，得，所以的展開式中的常數項為.
故答案為：84.
35．（2023·全國·模擬預測）寫出一個正整數n，使的展開式中含有常數項，則n＝ ．（答案不唯一，寫出一個符合題意的即可）
【答案】7（答案不唯一，7的正整數倍均可）
【分析】求出展開式的通項，可得存在，使，即可得出.
【詳解】展開式的通項為．
因為展開式中含有常數項，所以存在，使，即，
故且n為7的倍數．
故答案為：7（答案不唯一，7的正整數倍均可）.
36．（2023下·廣東廣州·高二廣州市禺山高級中學校聯考期中）若展開式中第5項為常數項，則 ；
【答案】7
【分析】根據二項展開式的通項公式可得.
【詳解】為常數項，所以.
故答案為：7.
37．（2023·江西南昌·統考二模）的展開式共有8項，則常數項為 ．
【答案】
【分析】利用二項式的性質可求得，利用其通項公式即可求得的展開式中的常數項．
【詳解】的展開式共有項，
依題意得：，
；
設的展開式的通項為，則，
由得，
的展開式中的常數項為．
故答案為：．
38．（2023·福建漳州·統考二模）已知的展開式中的系數為
【答案】240
【分析】寫出二項式展開式的通項公式，根據其通項公式可求得答案.
【詳解】 展開式的通項公式為：
，
令 ，則，
故的系數為 ，
故答案為：240
39．（2023下·四川成都·高三成都七中校考開學考試）在的二項展開式中，第 項為常數項.
【答案】7
【分析】直接利用二項式的通項公式，令的指數為0，求出即可．
【詳解】解：的二項展開式的通項為，令，解得，即時，二項展開式為常數項，即第7項是常數項．
故答案為：7．
40．（2023上·天津靜海·高三校考階段練習）設常數，展開式中的系數為，則 .
【答案】/
【分析】求出二項式展開式的通項，令的指數位置等于求出的值，取該的值時再令系數等于，解方程即可得的值.
【詳解】展開式的通項為，
令可得，所以展開式中的系數為，
可得：或（舍），所以，
故答案為：.
41．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）在二項式的展開式中，所有的二項式系數之和為64，則該展開式中的的系數是 ．
【答案】160
【分析】根據二項式系數之和可求得，再根據二項式的通項即可求得的系數.
【詳解】因為二項式系數之和為64，
故有，得，
二項式的通項為，
令，得，所以.
即的系數是.
故答案為：160.
42．（2023下·北京石景山·高二統考期末）在的展開式中，二項式系數之和為 ；各項系數之和為 ．（用數字作答）
【答案】 16 256
【分析】根據二項式系數和公式求得二項式系數之和；再用賦值法求各項系數之和.
【詳解】在的展開式中，二項式系數之和為；
令，，即各項系數和為.
故答案為：①；②.
43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）若的展開式的所有項的系數和與二項式系數和的比值是32,則展開式中項的系數是 .
【答案】15
【分析】先賦值求出所有項的系數，進而計算出，再根據二項式定理計算展開式中項的系數.
【詳解】令,得所有項的系數和為,二項式系數和為,所以,即的第項為
令,得
所以項的系數是
故答案為：15
44．（2023下·河北唐山·高二校聯考期中）若的展開式中二項式系數的和為，則該展開式中的常數項是 ．
【答案】
【分析】由已知條件求出的值，寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數值，代入通項即可得解.
【詳解】由已知可得，解得，
的展開式通項為，
令，可得，因此，展開式中的常數項為.
故答案為：.
45．（2023下·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期末）在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為32，則的系數為 .
【答案】
【分析】根據賦值法和二項式系數的定義可以求得n，再根據二項式的通項即可求得結果.
【詳解】在的展開式中，令得展開式各項系數和為，又二項式系和為，
各項系數和與二項式系之比為32，即，∴，
在的展開式中，通項公式為
令，求得，∴的系數為，
故答案為：．
46．（2023上·北京·高三北京市第十一中學校考階段練習）二項式的展開式中，常數項是 ，各項二項式系數之和是 .（本題用數字作答）
【答案】
【分析】由展開式的通項，令即可找到常數項，利用即可算出二項式系數之和.
【詳解】展開式的通項公式為，
令，得，
所以常數項為；
所有二項式系數之和為
.
故答案為： ； 64
47．（2023下·河南焦作·高二武陟縣第一中學校考期末）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
【答案】-800
【分析】要得到含的項，需在的展開式中取第4項，在的展開式中取第2項，從而利用二項式定理求解即可．
【詳解】由題意知，在的展開式中取第4項，即，
的展開式中取第2項，即，
故的系數為．
故答案為：-800
48．（2023下·浙江湖州·高二統考期中）的展開式中，記項的系數為，則
【答案】
【分析】分別利用二項式定理求出和的展開通項求解即可.
【詳解】表示的系數，即中含的系數和中的常數項相乘的結果，即，
表示的系數，即中含的系數和中的含的系數相乘的結果，即，
表示的系數，即中含的系數和中的含的系數相乘的結果，即，
表示的系數，即中含的系數和中的含的系數相乘的結果，即，
所以.
故答案為：.
49．（2023·江西·校聯考一模）的展開式中常數項為 ．（用數字作答）
【答案】
【分析】先求出的展開式中的常數項和的系數，再求的常數項.
【詳解】解：因為，
其中展開式的通項為，
令得的常數項為，
令，即得展開式中的系數為.
所以的常數項為.
故答案為：
50．（2023上·河北邯鄲·高三統考開學考試）已知，則的值為 .
【答案】
【分析】賦值法求，根據二項式展開式通項求，即可求.
【詳解】令，
由的展開式的通項為，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案為：
51．（2023·湖南長沙·雅禮中學校聯考一模）展開式中的常數項為 .
【答案】4246
【分析】根據二項式展開式的通項即可求解.
【詳解】的展開式的通項:
,5,6.
的展開式的通項：
,.
兩通項相乘得:，
令，得，
所以滿足條件的有三組:，
故常數項為.
故答案為：4246.
52．（2023·浙江·校聯考三模）已知多項式，則 ， ．
【答案】 16 48
【分析】利用賦值法令第一空，利用二項式展開式的通項公式即可求解.
【詳解】由題意可知，令時，，
設的展開式的通項為：，
的展開式的通項為:，
當時，，當時，，
所以．
故答案為：16；48.
53．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）的展開式中，的系數為 .
【答案】
【分析】，然后兩次利用通項公式求解即可
【詳解】解：因為，
設其展開式的通項公式為，
令，
得的通項公式為，
令，得，
所以的展開式中，的系數為，
故答案為：
54．（2023·全國·高二專題練習）已知的所有項的系數的和為64，展開式中項的系數為 ．
【答案】15
【分析】根據系數和用賦值法可求，進而根據兩個多項式相乘，根據結合律即可求解.
【詳解】由題意知：令，則，
因此，要得的系數，則只需要分別提供的項分別與相乘即可，故項的系數為：，
故答案為：15
55．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展開式中，的系數為 .
【答案】
【分析】運用二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】二項式的通項公式為：，
令，二項式的通項公式為：，
令，
所以的系數為，
故答案為：
56．（2023·高二課時練習）的展開式的所有項的系數和為243，則展開式中的系數為 .
【答案】51
【分析】令可得所有項的系數和，求出，再利用組合的知識確定含的項的系數即可.
【詳解】令，則，解得，
由組合知識可得，的展開式中含的項為，，，故展開式中的系數為．
故答案為：51．
57．（2023上·四川廣安·高三四川省岳池中學校考階段練習）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中有理項的個數為 ．
【答案】2
【分析】先算出，再寫出通項公式，確定的次數為整數即可
【詳解】的展開式有項,因為僅有第5項的二項式系數最大,所以
當時,,當時,,符合題意
所以展開式中有理項的個數為2
故答案為：2
58．（2023·全國·高二專題練習）如果的展開式中第3項與第2項系數的比是4，那么展開式里x的有理項有 項．（填個數）
【答案】2
【分析】利用二項式系數的性質可得，從而可求得的值，再寫出展開式的通項，由的冪指數即可求得的值，從而可求得展開式里所有的有理項；
【詳解】解：依題意可得，
即，解得或（舍去）．
所以二項式展開式的通項為（，1，2，，，
根據題意，解得或，
展開式里所有的有理項為，共項；
故答案為：
59．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考三模）已知且，，，且，則 ．
【答案】6
【分析】由二項式定理求解
【詳解】由題意可得，令，得，
令，得，
故，解得，故．
故答案為：6
60．（2023下·江蘇·高二校聯考階段練習）已知，且，則 ．
【答案】
【分析】運用二項式定理將進行展開，分別求出各個項的系數，
再帶入到中，解方程即可求．
【詳解】由二項式定理得：的通項為：，
又
則其通項為：
即
，，，，
，，
代入，化簡得：
，解得
故答案為：．
61．（2023·福建·高三統考階段練習）已知，若，則 或 ．
【答案】 1
【分析】根據二項展開式的形式，分別令和，代入展開式求得和的值，再把它們相乘，結合條件，即可求解．
【詳解】因為，
令，可得，
再令，可得，
則
，
解得或.
故答案為：1或．
62．（2023·浙江杭州·杭州高級中學校考模擬預測）已知.且，則 ，該展開式第3項為 .
【答案】 5
【分析】根據二項式展開式可得，再利用賦值法得到，即可求出，再根據展開式的通項計算可得；
【詳解】解：因為，
所以，令，則，令，則，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展開式的第項為；
故答案為：；
63．（2023下·全國·高二專題練習）1.028的近似值是 .(精確到小數點后三位)
【答案】1.172
【分析】由題意，，根據二項式定理，展開計算，即可得答案.
【詳解】由題意得：.
故答案為：1.172
四、解答題
64．（2023下·高二課時練習）求的展開式.
【答案】
【解析】直接利用二項式定理求解即可.
【詳解】
65．（2023·高二課時練習）求的展開式．
【答案】
【分析】利用二項式展開式的通項公式，即可容易求得結果.
【詳解】對，不妨令，
故
.
故求的展開式為：.
66．（2023上·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）在二項式展開式中，第3項和第4項的系數比為．
(1)求n的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大的項是第幾項．
【答案】(1)，
(2)第5項
【分析】（1）根據展開式的通項以及系數之比即可求解，由值和通項特征即可求解常數項，
（2）根據不等式法即可求解最大項，
【詳解】（1）二項式展開式的通項公式為:，因為第3項和第4項的系數比為，所以，化簡得，解得，
所以，令，得，所以常數項為．
（2）設展開式中系數最大的項是第項，則
解得，因為，所以，所以展開式中系數最大的項是第5項．
67．（2023上·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知為正偶數，在的展開式中，第5項的二項式系數最大．
(1)求展開式中的一次項；
(2)求展開式中系數最大的項．
【答案】(1)
(2)，
【分析】(1)由第5項的二項式系數最大，可求得，再根據二項式的展開公式求一次項即可；
(2)令為展開式中系數，根據可得或，代入二項式的展開式中，即可求得答案.
【詳解】（1）解：因為正偶數，在展開式中的第5項的二項式系數最大，則，．
設，
令，得，所以展開式中的一次項為.
（2）解：令，當時，
令，可得：,
即，
或．
所以系數最大的項為：，．
68．（2023·高二課時練習）已知的展開式中，前三項的系數成等差數列．
(1)求展開式中二項式系數最大的項；
(2)求展開式中系數最大的項．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二項式展開式的通項和等差中項解出.當是偶數時，中間項的二項式系數最大，當為奇數時，中間兩項的二項式系數，相等且最大．
（2）求系數最大的項，則只需比較相鄰兩項系數的大小即可．
【詳解】（1）的展開式的通項．
因為展開式中前三項的系數成等差數列，所以，
即，
整理得，解得或．
又因為，所以，所以第5項的二項式系數最大，
所以二項式系數最大的項為．
（2）由（1）得展開式中系數為
由得
整理得，解得
所以當或時項的系數最大.
因此，展開式中系數最大的項為和．
69．（2023下·江西贛州·高二贛州市贛縣第三中學校考階段練習）已知的二項式展開式的各項二項式系數和與各項系數和均為128，
(1)求展開式中所有的有理項；
(2)求展開式中系數最大的項．
【答案】(1)展開式中所有的有理項為，
(2)和
【分析】（1）由二項式系數的性質可得，進而可得的值，再令求出的值，然后結合二項展開式的通項公式即可求解；
（2）由二項展開式的通項公式可知，展開式中系數最大的項即為展開式中二項式系數最大的項，從而利用二項式系數的性質即可求解.
【詳解】（1）解：因為的二項展開式的各二項式系數和為，各項系數和為，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以該二項式為，其通項為，，
所以當時，該項為有理項，
所以展開式中所有的有理項為，；
（2）解：因為展開式的通項公式為，，
所以展開式中系數最大的項即為展開式中二項式系數最大的項，而由二項式系數的性質可知最大的項為展開式的第或第項，
所以展開式中系數最大的項為和；

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