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第9講 雙變量問題——代入消元
知識與方法
一般遇到雙變量取值范圍問題時由已知條件得到兩個參數的不等 (等式)關系, 再通過放縮消元的方 法來解決這類問題.
典型例題
【例1】 已知 , 且 對任意的 恒成立, 則 的最小值為___________________________.
【例2】已知函數 , 其中 , 若 恒成立, 則當 取最小值時, 。
【例3】 已知函數 滿足 ;
(1) 求 的解析式及單調區間;
(2) 若 , 求 的最大值.
強化訓練
1. 已知函數 .
(1)當 時, 求函數 的單調區間;
(2) 若曲線 在點 處的切線 與曲線 切于點 , 求 a, b, c 的值;
(3) 若 恒成立, 求 的最大值.
2. 已知函數 , 其中 為自然對數的底數.
(1)討論函數 的單調性及極值;
(2) 若不等式 在 內恒成立, 求證: .
3. 已知函數 .
(1) 設 .
①若 , 則 a, b滿足什么條件時, 曲線 與 在 處總有相同的切線
②當 時, 求函數 單調區間;
(2) 若集合 為空集, 求 ab的最大值.
1第9講 雙變量問題——代入消元
知識與方法
一般遇到雙變量取值范圍問題時由已知條件得到兩個參數的不等 (等式)關系, 再通過放縮消元的方 法來解決這類問題.
典型例題
【例1】 已知 , 且 對任意的 恒成立, 則 的最小值為___________________________.
【解析】因為 , 且 , 令 , 則 ,
令 , 得 , 顯然 的最大值為 , 即 , 即 , 令 , 當 時, 是遞增函數, 當 時, 是 遞減函數, 當 時, 取得最大值為 的最小值為 1 .
【答案】 1 .
【例2】已知函數 , 其中 , 若 恒成立, 則當 取最小值時, 。
【解析】
【解法1】,
若 恒成立, 令 , 則 .
當 時, 恒成立, 單調遞增, 不可能恒成立.
當 時, 令 可得 , 令 可得 .
在 ,上單調遞減, 在 上單調遞增, 故當 時, -則 , 當 時, 單調遞增,
當 時, 單調遞減. 當 時, 取得最小值 , 即取最小值 , 此時 .
【解法2】 如圖所示, 因為 , 則有 過 過 , 它們相切于一點, 令 , 又令 , 有 , 則 .
【答案】 1 .
【例3】 已知函數 滿足 ;
(1) 求 的解析式及單調區間;
(2) 若 , 求 的最大值.
【解析】
(1) , 令 得: ,
在 上單調遞增, , 得: 的解析式為 且單調遞增區間為 , , 單調遞減區間為 .
(2) 得 .
① 當 時, 在 上單調遞增.
趨近于一 時, 趨近于一 與 矛盾.
當 時, .
③ 當 時, 得: 當 時, 即 . 令 , 則 . 所以當 時, , 當 時, 的最大值為 .
強化訓練
1. 已知函數 .
(1)當 時, 求函數 的單調區間;
(2) 若曲線 在點 處的切線 與曲線 切于點 , 求 a, b, c 的值;
(3) 若 恒成立, 求 的最大值.
【解析】
(1) , 則 .
令 , 得 , 所以 在 上單調遞增.
令 , 得 , 所以 在 上單調遞減.
(2) 因為 , 所以 的方程為 . 依題意 , . 故 與拋物線 切于點 , 由 得 . 所以 .
(3) 設 , 則 恒成立. 易得 .
①當 時, 因為 , 所以此時 在 上單調遞增.
若 , 則當 時滿足條件, 此時 ;
若 , 取 且 , 此時 , 所以 不恒成立, 不滿足條件.
②當 時, 令 , 得 . 由 , 得 ;
由 , 得 . 所以 在 上單調遞減, 在 上單調 遞增.
要使得 “ 恒成立”, 必須使:
“當 時, ”成立.
所以 . 則 .
令 , 則 .
令 , 得 . 由 , 得 ;
由 , 得 . 所以 在 上單調遞增, 在 上單調遞減,
所以, 當 時, . 從而, 當 時, 的最大值為 .
綜上, 的最大值為 .
2. 已知函數 , 其中 為自然對數的底數.
(1)討論函數 的單調性及極值;
(2) 若不等式 在 內恒成立, 求證: .
【解析】
(1) 由題意得 .
當 , 即 時, 在 內單調遞增, 沒有極值.
當 , 即 時, 令 , 得 ,
當 時, 單調遞減;
當 時, 單調遞增.
故當 時, 取得極小值 , 無極大值.
綜上所述, 當 時, 在 內單調遞增, 沒有極值;
當 時, 在區間 內單調遞減,在區間 內單調遞增, 的極 小值為 , 無極大值.
(2)證明: 當 時, 成立.
當 時,由 (1) 可知 在 內單調遞增, 令 為 和 中較小的數, 所以 , 且 , 則 . 所以 ,
與 恒成立矛盾, 應舍去.
當 時, , 即 , 所 以 . 令 , 則 . 令 , 得 , 令 , 得 , 故 在區間 內單調遞增, 在區間 內單調遞 減. 故 , 即當 時,. 所以 . 所以 . 而 , 所以 .
3. 已知函數 .
(1) 設 .
①若 , 則 a, b滿足什么條件時, 曲線 與 在 處總有相同的切線
②當 時, 求函數 單調區間;
(2) 若集合 為空集, 求 ab的最大值.
【解析】(1)
①, 又 在 處的切線方程為 .
又 在 處的切線方程為 , 所以當 且 時, 曲線 與 在 處總有相同的切線.
② 由 ,
,
由 , 得 當 時,函數 的減區間為 ; 增區間為 ;
當 時, 函數 的減區間為 ;
當 時, 函數 的減區間為 , 增區間為 .
(2) 由集合 為空集可知不等式 對任意 恒成立, 即 恒成立.
當 時,函數 在 上單調遞增, 不恒成立, 所以 , 此時 , 解得 , 當 時, , 函數單調遞減, 當 時, , 函數單調遞增, 所以要使 恒成立, 只需使 , 即 ,
令 , 則 ,
令 解得 , 當 時, , 函數 單調遞增,
當 時, , 函數 單調遞減.
所以當 時, 函數 取得最大值 , 即 , 故 ab 的最大值為 .
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