資源簡介

第7講 函數隱零點
知識與方法
導函數的零點,根據其數值計算上的差異可以分為兩類：一類是數值上能精確求解的,稱為“顯零點”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱為“隱零點”.
此講通過幾個具體的例題來體會隱零點的處理步驟和思想方法：隱零點的虛設與代換.
一般步驟如下.
①確定零點的存在范圍.確定隱零點范圍的方式是多種多樣的,可以由零點的存在性定理確定,也可以由函數的圖象特征得到,甚至可以由題設直接得到等等；至于隱性零點的范圍精確到多少,由所求解問題決定,因此必要時盡可能縮小其范圍.
②根據零點的意義進行代數式的替換,盡可能將目標式變形為整式或分式,那么就需要盡可能將指數、對數函數式用有理式替換,這是能否繼續深人的關鍵.
③結合前兩步,確定目標式的范圍.
隱零點代換實際上是一種明修棧道,暗度陳倉的策略,也是數學中“設而不求”思想的體現.
典型例題
【例1】設函數.
（1）求的單調區間；
(2)若為整數,且當時,,求的最大值.
【例2】設函數.
（1）求時的單調區間；
（2）求證：當時,.
【例3】已知函數,其中為常數.
(1)若,求函數的極值；
(2)若函數在上單調遞增,求實數的取值范圍；
(3)若,設函數在上的極值點為,求證：.
【例4】已知函數,且.
(1)求；
(2)證明：存在唯一的極大值點,且.
【例5】已知函數.
（1）求函數的定義域和單調區間;
(2)當且時,若直線與函數的圖象相切, 求的值;
(3)當時,若存在, 使得,求的取值范圍.
強化訓練
1.已知函數, 曲線在處的切線與直線 垂直.
(1)求的值,并求的單調區間;
(2)若是整數,當時,總有, 求的最大值.
2. 已知函數,其中為自然對數的底數.
(1)函數的圖象能否與軸相切 若能與軸相切, 求實數的值；否則,請說明理由；
(2)若函數在上單調遞增, 求實數能取到的最大整數值.
3.設函數.
(1)關于的方程 在區間[1,3]上有解, 求的取值范圍；
(2)當時,值成立,求實數的取值范圍.
4. 設函數.
(1)討論函數的單調性;
(2)若函數的極大值點為1,證明：.
5. 已知函數.
(1)討論零點的個數;
(2)證明：.
6.已知.
(1)若,求的所有可能整數值；
(2)證明：存在唯一極小值點且；
(3)記函數等于直線是常數)與的交點個數之和,若當時 的值域是,求的全體可能值.
7. 已知函數.
(1)若函數的圖象在處的切線為, 求 的極值;
(2)若,求的取值范圍.
8.已知函數, 若對任意的恒成立,求的取值范圍.
9. 已知函數 .
(1)證明：函數 有唯一零點;
(2) 若對任意 , 求 的取值范圍.
10. 已知函數 為 的導函數.
(1) 若 , 證明: 對任意 ;
(2)若 有兩個極值點, 求 的取值范圍.
11. 已知函數 .
(1) 若函數 在 上單調遞減, 求實數 的取值范圍;
(2) 若 , 求 的最大值.
12. 已知函數 .
(1)求曲線 在點 處的切線方程;
(2) 證明: .
13. 已知函數 .
(1)當 時,求 的單調區間;
(2)當 時, 證明: .
1第7講 函數隱零點
知識與方法
導函數的零點,根據其數值計算上的差異可以分為兩類：一類是數值上能精確求解的,稱為“顯零點”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱為“隱零點”.
此講通過幾個具體的例題來體會隱零點的處理步驟和思想方法：隱零點的虛設與代換.
一般步驟如下.
①確定零點的存在范圍.確定隱零點范圍的方式是多種多樣的,可以由零點的存在性定理確定,也可以由函數的圖象特征得到,甚至可以由題設直接得到等等；至于隱性零點的范圍精確到多少,由所求解問題決定,因此必要時盡可能縮小其范圍.
②根據零點的意義進行代數式的替換,盡可能將目標式變形為整式或分式,那么就需要盡可能將指數、對數函數式用有理式替換,這是能否繼續深人的關鍵.
③結合前兩步,確定目標式的范圍.
隱零點代換實際上是一種明修棧道,暗度陳倉的策略,也是數學中“設而不求”思想的體現.
典型例題
【例1】設函數.
（1）求的單調區間；
(2)若為整數,且當時,,求的最大值.
【解析】（1）函數的定義域是,
若,則,所以函數在上單調遞增. 若,則當時,；
當 時,；
所以,在單調遞減,在上單調遞增.
(2)由于,所以,,
故當時,等價于①,
令, 則,
由(1)知, 當 時,函數在 上單調遞增,
而 ,
所以 在上存在唯一的零點,
故在 上存在唯一的零點,設此零點為 , 則有,
當時,；當時,；
所以在上的最小值為 .
又由,可得所以,
由于①式等價于, 故整數的最大值為2.
【例2】設函數.
（1）求時的單調區間；
（2）求證：當時,.
【解析】 （1）時,的定義域為,
所以當時,；當時,,
所以函數的單調減區間為,單調增區間為.
(2)證明：的定義域為.
當時,恒成立,故沒有零點,
當時, ∵為單調遞增,單調遞增,∴在上單調遞增, 又, 假設存在滿足 時,且 ,故當 時, 導函數存在唯一的零點, 可設導函數在上的唯一零點為, 當時,,當 時,,故在 單調遞減, 在單調遞增,所以當時, 取得最小值,最小值為,由于,所以, 故當時,.
【例3】已知函數,其中為常數.
(1)若,求函數的極值；
(2)若函數在上單調遞增,求實數的取值范圍；
(3)若,設函數在上的極值點為,求證：.
【解析】(1)的定義域是,
令,解得,令,解得,
則在 遞增,在遞減,故,無極小值；
(2)函數的定義域為 且.
要使函數在上單調遞增,則,又時, , 只需在上恒成立,即在上恒成立,由 的導數為,
當時,函數遞增, 時, 函數遞減,
當即時, 函數遞減,可得,予盾不成立；
當即時,函數在遞減,在遞增,
可得,可得；
(3)證明：,則導數為,
設函數在上的極值點為, 可得,
即有, 要證,即,
由于 ,
由于,且不成立,則,故 成立.
【例4】已知函數,且.
(1)求；
(2)證明：存在唯一的極大值點,且.
【解析】(1)因為,
則等價于, 求導可知.
則當時,即在上單調遞減,
所以當時,,矛盾,故 .
因為當 時,；當 時,,所以,
又因為,所以,解得；
(2)證明：由(1)可知,
令,可得 ,記, 則,
令,解得,
所以在區間上單調遞減, 在 上單調遞增,
所以,從而 有解,即存在兩根 ,
且不妨設在上為正、在 上為負、在 上為正,
所以必存在唯一極大值點,,且,
所以,
由可知;
由可知,
所以在上單調遞增,在上單調遞減,
所以;
綜上所述,存在唯一的極大值點, 且.
【例5】已知函數.
（1）求函數的定義域和單調區間;
(2)當且時,若直線與函數的圖象相切, 求的值;
(3)當時,若存在, 使得,求的取值范圍.
【解析】 (1) 由 得的定義域,
∴,由得,
由得,所以的單調增區間為,
單調減區間為和；
(2)設與相切于點,且
令,
由得, 由得,
∴在單調遞增,在單調遞減,∴, ∴$$ 方方程在上有唯一解.
(3)令,依題意知, ∴的值域為,
①當,即時,∴在單調遞增, ∴, 解得 , 不合題意,
②當,即時,∴在單調遞減,
∴, 解得 , 滿足題意,
③當 時,存在唯一滿足,
∴在單調遞減,在單調遞增,∴ ,
解得,這與矛盾,不合題意,
綜上所述, 的取值范圍為.
強化訓練
1.已知函數, 曲線在處的切線與直線 垂直.
(1)求的值,并求的單調區間;
(2)若是整數,當時,總有, 求的最大值.
【解析】(1)函數的定義域是,依題意可得, ，
令,即 ,
∵ 時,時,.
∴的單調遞增區間是,單調遞減區間為.
(2)由(1)可知,.
∴, 化簡得 .
設, 只需 .
令,可得在上為單調遞增函數,
∵ 存在,使,
當時,,即,當時,, 即,
∴在時取最小值,且 ,
又∵,
∵ 的最大值為
2. 已知函數,其中為自然對數的底數.
(1)函數的圖象能否與軸相切 若能與軸相切, 求實數的值；否則,請說明理由；
(2)若函數在上單調遞增, 求實數能取到的最大整數值.
【解析】(1)∵,
假設函數的圖象與軸相切于點, 則有:,即
由(2)知, 代人(1)中, 得,
∵, 即,
∵方程無解,
∴無論取何值,函數的圖象都不與軸相切.
(2) 記,由題意得在上恒成立,
由,得的必要條件是,
若,則,
當時,,故.
下面證明: 當時, 不等式恒成立.
令,則,記,則,
當時,單調遞增且,
當時,單調遞減且,
∵
∴存在唯一的,使得,且當時,單調遞減,
當時,單調遞增,∴,
∵.
∵恒成立,
∴能取得的最大整數值為 1 .
3.設函數.
(1)關于的方程 在區間[1,3]上有解, 求的取值范圍；
(2)當時,值成立,求實數的取值范圍.
【解析】(1)方程即,
令,則,
故在[1,3]上單調遞減, 而,
故當時,,故的取值范圍是.
(2)由題意得,當時,恒成立,
令, 則，
,則當 時, , 故函數 在 單調遞增, ∵存在唯一的零點,且時，,
當時,,
當時,,當時,在上單調遞減,在上單調遞增,從而有,由,得,即,兩邊取對數得 ,故,故的取值范圍是.
4. 設函數.
(1)討論函數的單調性;
(2)若函數的極大值點為1,證明：.
【解析】(1)根據題意,,必有,則的定義域為,其導數 ,當 時,,則函數在區間上單調遞增;
當時,由得,由得.
所以,在區間上單調遞減,在區間上單調遞增;
當時,由得,由得,
所以,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.
綜上所述,當時,函數在區間上單調遞增;
當時,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增;
當時,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減
當時,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.
(2)證明:由(1)知且時,解得.
證明,要證,即證,即證：.
令,則 .
令,易見函數在區間上單調遞增.而,所以在區間上存在唯一的實數,使得, 即,且時,時.故在上遞減,在上遞增.∴.
又∵.
∴成立,即成立.
5. 已知函數.
(1)討論零點的個數;
(2)證明：.
【解析】(1),
設, 則,當 時,,
當時,單調遞減,
當時,單調遞增,
所以,
又當時,,
所以存在唯一,使得,
當時,單調遞增,
當時,單調遞減,
所以,
又,
所以在區間各有一個零點,共有兩個零點.
(2)若,即.
設,
則,
當 時,,所以單調遞增,
當時,,所以單調遞減,
所以得證.
6.已知.
(1)若,求的所有可能整數值；
(2)證明：存在唯一極小值點且；
(3)記函數等于直線是常數)與的交點個數之和,若當時 的值域是,求的全體可能值.
【解析】(1)令, 則, ,
,令,解得,
當時,,此時函數單調遞減；當時,,此時函數單調遞增.
所以,則,所以,函數在上單調遞增,
當時,,當時,,
所以存在,使得,則,
且當時,,函數單調遞減；當時,,函數單調遞增.
所以：
構造函數,則 ,
易知,
令,則,
所以函數在上單調遞增, 當時,,
此時,,即函數在上單調遞減,則；
∵,
由零點存在定理知,存在,使得,且當時,,則 ,此時函數單調遞增;
當時,,則,此時,函數 單調遞減.
當時,,
∵,
∴存在 使得,
則不等式的解集為,即.
又,構造函數,則,
所以函數在上單調遞增,
∵,∴, 因此,的所有可能整數值為1.
(2) 證明：,則,函數在上單調遞增,由(1)知,當 時,,
當時,,
由零點存在定理知, 存在,使得 ,
當時,；當時,,
所以函數存在唯一極小值點且.
(3)當時,由(1)知,恒成立,當且僅當時等號成立,
如圖所示,
若, 當直線過點時,則,不合乎題意;
考查直線 與兩個函數同時相切于點 時,則,
此時,,不合乎題意;
若,當 時,直線過點 ,直線在軸左側必然會與兩個函數的圖象各有一個交點,
此時,不合乎題意;
若時,當時,直線過點 ,直線在軸右側必然會與兩個函數的圖象各有一個交點,
此時,不合乎題意.
綜上所述,符合條件的實數不存在.
7. 已知函數.
(1)若函數的圖象在處的切線為, 求 的極值;
(2)若,求的取值范圍.
【解析】(1),
此時函數 ,
函數的圖象在處的切線為,成立,
所以,此時在 上單調遞增,在上單調遞減,
所以的極大值為,不存在極小值;
(2)由,
化簡可得,
令,則,
令,則,
所以 在 上單調遞增,
又 ,
存在唯一的 , 使得 ,
故 在 上單調遞減, 在 上單調遞增,
,
由 , 得 ,
, 所以 ,
即實數 的取值范圍是 .
8.已知函數, 若對任意的恒成立,求的取值范圍.
【解析】
【解法1】設,對任意的恒成立,等價于 在上恒成立, 則只需即可.
因為,
令,
則,
所以在上單調遞增,
因為當時,,當時,,
所以在上存在唯一的零點,
滿足,
所以,且在上單調遞減,在上單調遞增,
所以,
則由,得,
此時,
所以,
設 ,則,
所以函數在 上單調遞增,
因為,
所以 即,
所以 ,
所以實數的取值范圍為.
【解法2】因為,所以對任意的恒成立,等價于 在上恒成立.
令,則只需即可,則,
再令,則,所以在上單調遞增,
因為,
所以有唯一的零點,且,
所以當時,,當時,,
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
因為,
所以,
即,
設,則,
所以函數在上單調遞增,
因為,
所以,即,
所以,則有,
所以實數的取值范圍為 .
9. 已知函數 .
(1)證明：函數 有唯一零點;
(2) 若對任意 , 求 的取值范圍.
答案：(1)證明：,
易知當時,,
所以在區間上為增函數,
又因為,
所以,即在區間上恰有一個零點,
由題可知在上恒成立,即在上無零點,
所以在上有唯一零點.
（2）設的零點為, 即.
原不等式可化為,
令, 則,
由(1)可知在上單調遞減,在上單調遞增,
故為的最小值.
下面分析,
設,則,
可得即,,
若,等式左負右正不相等；若,等式左正右負不相等,只能.
因此,所以.
即實數的取值范圍為.
10. 已知函數 為 的導函數.
(1) 若 , 證明: 對任意 ;
(2)若 有兩個極值點, 求 的取值范圍.
【解析】 (1) 時,
令 , 則 , 當 時,
當 時, , 故 在 上單調遞減, 在 上單調遞增, 所以 , 即 (當且僅當 時取等號).
令 , 則 , 當 時, ,
當 時, , 故 在 上單調遞減, 在 上單調遞增,
所以 , 即 (當且僅當 時取等號).
當 (當且僅當 時取等號)
所以, ;
(2) 有兩個極值點, 即 有兩個變號零點.
①當 時, , 由 (1) 知 ,
則 在 上是增函數, 無極值點;
②當 時, 令 , 則 ,
, 且 在 上單增,
, 使 .
當 時, ; 當 時, .
所以, 在 上單調遞減, 在 上單調遞增.
則 在 處取得極小值, 也即最小值 .
由 得 , 則 ,
令 則 在 上單調遞減, 所以 . 即 ,
又 時, 時, , 故 在 上有
兩個變號零點, 從而 有兩個極值點. 所以, 滿足題意.
綜上所述, 有兩個極值點時, 的取值范圍是 .
11. 已知函數 .
(1) 若函數 在 上單調遞減, 求實數 的取值范圍;
(2) 若 , 求 的最大值.
【解析】（1）由題意知, 在 上恒成立, 所以 在 上恒成立.
令 , 則 ,
所以 在 上單調遞增, 所以 ,
所以 .
(2) 當 時, .
則 ,
令 , 則 ,
所以 在 上單調遞減.
由于 , 所以存在 滿足 , 即 .
當 時, ; 當 , 時, .
所以 在 上單調遞增, 在 上單調遞減.
所以 ,
因為 , 所以 ,
所以 ,
所以 .
12. 已知函數 .
(1)求曲線 在點 處的切線方程;
(2) 證明: .
【解析】 (1) 的定義域是 , ,
所以 , 又 , 則切線方程為 .
(2) 令 ,
則 ,
設 的兩根為 , 由于 ,
不妨設 , 則 在 上是單調遞減的, 在 上是單調遞增的. 而 ,
所以 在 上存在唯一零點 , 且 ,
所以 在 上單調遞減, 在 上單調遞增.
所以 ,
因為 , 所以 .
13. 已知函數 .
(1)當 時,求 的單調區間;
(2)當 時, 證明: .
【解析】 (1) 當 時, ,
因為 , 故當 時, ;
當 時, ,
所以 在 上單調遞減, 在 上單調遞增.
(2) 當 時, ,
令 ,
則 ,
顯然 在 上單調遞增, 且 ,
所以 在 上存在唯一零點 ,
又當 時, , 當 時, ,
所以當 時, ,
由 , 得 ,
所以 ,
綜上, 當 時, .
1

展開更多......

收起↑