資源簡介

第6講 對數單身狗，指數找基友
知識與方法
對數單身狗：若題目中出現，我們在求的性質時，如果直接求導，導函數里面依然會有，這時需要求多次導，題目越來越復雜．為了解決這個問題，我們只有“狠心”拆散和，將提出來，使的系數為常數，次數為1，此時變成一個“單身狗”
指數找基友：若題目中出現，若我們直接求導，即，可見求導之后依然有，很難求出極值點．但我們可以使用做商的辦法，構造一個，達到簡化目的，增大極值點的可求性．所以，我們在證明大于或小于一個非超越式時，可以做商構造出，可以避免多次求導，這也是在給找基友．
為了更好地讓同學們理解對數單身狗，指數找基友”，我們來看一道例題：
【例】求證：
【解法1】對數單身狗
我們將和分離開
∵，則原式可化為，即．
設，，
又∵，
令，解得．
∴當時，，遞減
當時，，遞增
則．
綜上所述：．
【解法2】指數找基友
可以化為．
設
對求導：
則
又∵
令，解得．
∴當時，，遞增
當時，，遞減
則．
綜上所述：．
對比這兩種方法，有沒有覺得思路開闊了很多？我們再來看幾個題，讓大家把這兩種方法理解透徹．
典型例題
【例1】已知函數.
（1）當時,討論的單調性;
（2）若有兩個零點, 求的取值范圍.
【解析】
【解法1】由題意,的定義域為,且.
(1)當時,,令,解得.
∴當時, 單調遞減,
當 時, 單調遞增.
∴在上單調遞減,在上單調遞增;
(2)當時,恒成立,在上單調遞增,不合題意；當時, 令,解得,
當時,單調遞減,
當時,單調遞增.
∴的極小值也是最小值為.
又當時,,當時,.
∴要使有兩個零點,只要即可,
則,可得.
綜上,若有兩個零點, 則的取值范圍是.
【解法2】由題意可知,有兩解
我們先來判斷是否可以等于0:
當時,無解,不符合題意,所以
令,即有兩個零點,
令,則,則在單調遞增,在單調遞減
又因為當時,時,,易得,解得.
【例2】已知函數.
(1)若時,求證：當時,;
(2)若不等式恒成立, 求實數的取值范圍.
【解析】(1)證明：當時,,則,
欲證,即,故只需證明, 兩邊取對數, 即證,
該不等式顯然成立,從而當時,;
(2)恒成立, 即恒成立,
設, 則,
只需討論函數,
因為, 所以單調遞增,
, 欲取一點,,使得,
因此,取,
因此在之間存在唯一零點, 使得,
則,
故在上單調遞減,在 上單調遞增,
所以,
設,則只需,即
此時, 由此可得實數的取值范圍是.
【例3】已知函數為自然對數的底數.
(1)若存在, 使,求實數的取值范圍;
(2)若有兩個不同零點,證明：.
【解析】(1)【解法1】.
①若, 因為,則,此時在上單調遞增.
當時,,不合題意.
②若,由,得,即,則在上單調遞增, 在 上單調遞減,
所以.
據題意,則,即,所以的取值范圍是.
【解法2】當時, 由,得,即.
設,據題意,當時,能成立,
則.
因為,
則當時,單調遞增；當時,單調遞減.
所以, 故的取值范圍是.
【解法3】要想證明, 即證
對求導,即
當,
時,單調遞增
時,單調遞減
則,
當時,,不符合題意
則當,
時,單調遞減
時,單調遞增
所以
由題意可知,,則 .
(2)由題設,,即,
則,
即.
要證,只要證, 即證, 即證.
不妨設,由(1)可知,,且,從而.
因為在上單調遞減,所以只要證,即證 .設, 則
所以在上單調遞增. 因為 , 則 ,
即,即,所以原不等式成立.
強化訓練
1.已知函數有兩個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設是的兩個零點,證明：.
【解析】(1)若 ,那么 , 函數 只有唯一的零點 2 , 不合題意;
(2) 若 , 那么 恒成立, 當 時, , 此時函數為減函數; 當 時, , 此時函數為 增函數; 此時當 時, 函數 取極小值一 , 由 , 可得: 函數 在 存在一個零點; 當 時, , 令 的兩根為 , 且 , 則當 , 或 時, , 故函數 在 存在一個零點; 即函數 在 是存在兩個零點, 滿足題意;
(3) 若 , 則 , 當 時, , , 即 恒成立, 故 單調遞增,
當 時, , 即 恒成立, 故 單調遞減, 當 時, , 即 恒成立, 故 單調遞增, 故當 時, 函數取極大值,
由 得 : 函數 在 上至多存在一個零點, 不合題意;
(4)若 , 則 , 當 時, ,
即 恒成立, 故 單調遞增,
當 時, , 即 恒成立, 故 單調遞增, 故函數 在 上單調遞增,函數 在 上至多存在一個零點,不合題意;
(5)若 , 則 , 當 時, ,
即 恒成立, 故 單調遞增,
當 時, ,
即 恒成立, 故 單調遞淢,
當 時, ,
即 恒成立, 故 單調遞增, 故當 時, 函數取極大值,
由 得 : 函數 在 上至多存在一個零點,不合題意;
綜上所述, 的取值范圍為 .
證明: (2) ∵ 是 的兩個零點, ∴, 且 , 且 , ∴, 令 , 則 ,
∴$$ 當 時, 單調遞減; 當 時, 單調遞增; 設 , 則 ,
設 , 則 恒成立, 即 在 上為增函數, 恒成立, 即 恒成立, 令 , 則 , 即 .
2.已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)若,求證：當時,.
【解析】(1) 依題意, 的定義域為 ,
(1) 當 時, 在 單調遞減;
(2)當 時, 當 時, , 當 時, ,
∴ 在 單調遞減, 在 單調遞增;
(3)當 時, 當 時, , 當 時, ,
∴ 在 單調遞增, 在 單調遞減;
綜上,當 時, 在 單調遞減; 當 時, 在 單調遞減,在 ,
單調遞增; 當 時, 在 單調遞增,在 單調遞減;
(2) 當 , 要證明 , 即證明 ,
∵ 只需證明 , 即 ,
設 , 則 , 設 , 則 當 時, ; 當 時, ； ∴ 在 單調遞減, 在 單調遞增; ∴,
當 時, ; 當 時, 在 單調遞減,在 單調遞增 ∴ 當 時, .
3.已知函數,曲線在點處的切線方程為 .
(1)求的值；
(2)如果當,且時,,求的取值范圍.
【解析】由題意 , 即切點坐標是
(1)
由于直線 的斜率為 , 且過點 , 故
即
(2) 由(I) 知 , 所以
.
考慮函數 , 則
.
（i）設 , 由 知, 當 時, . 而 , 故
當 時, , 可得 ;
當 時, , 可得
從而當 , 且 時, , 即 .
(ii) 設 . 由于當 時, , 故 , 而 , 故當 時, , 可得 , 與題設矛盾.
(iii) 設 . 此時 , 而 ,
故當 時, , 可得 , 與題設矛盾.
綜合得, 的取值范圍為 .
1第6講 對數單身狗，指數找基友
知識與方法
對數單身狗：若題目中出現，我們在求的性質時，如果直接求導，導函數里面依然會有，這時需要求多次導，題目越來越復雜．為了解決這個問題，我們只有“狠心”拆散和，將提出來，使的系數為常數，次數為1，此時變成一個“單身狗”
指數找基友：若題目中出現，若我們直接求導，即，可見求導之后依然有，很難求出極值點．但我們可以使用做商的辦法，構造一個，達到簡化目的，增大極值點的可求性．所以，我們在證明大于或小于一個非超越式時，可以做商構造出，可以避免多次求導，這也是在給找基友．
為了更好地讓同學們理解對數單身狗，指數找基友”，我們來看一道例題：
【例】求證：
【解法1】對數單身狗
我們將和分離開
∵，則原式可化為，即．
設，，
又∵，
令，解得．
∴當時，，遞減
當時，，遞增
則．
綜上所述：．
【解法2】指數找基友
可以化為．
設
對求導：
則
又∵
令，解得．
∴當時，，遞增
當時，，遞減
則．
綜上所述：．
對比這兩種方法，有沒有覺得思路開闊了很多？我們再來看幾個題，讓大家把這兩種方法理解透徹．
典型例題
【例1】已知函數.
（1）當時,討論的單調性;
（2）若有兩個零點, 求的取值范圍.
【例2】已知函數.
(1)若時,求證：當時,;
(2)若不等式恒成立, 求實數的取值范圍.
【例3】已知函數為自然對數的底數.
(1)若存在, 使,求實數的取值范圍;
(2)若有兩個不同零點,證明：.
強化訓練
1.已知函數有兩個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設是的兩個零點,證明：.
2.已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)若,求證：當時,.
3.已知函數,曲線在點處的切線方程為 .
(1)求的值；
(2)如果當,且時,,求的取值范圍.
1

展開更多......

收起↑