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第8講 恒成立問題與端點效應
知識與方法
在導數與函數的關系中, 定義區間的端點是一個重要的數值, 抓住這點, 深人探究, 用必要性推理, 很快能得到答案.
端點效應一般敘述: 若 , 且 恒大于等于 0 在 上恒成立, 則 的導數值大于等于 0 .
步驟: 1. 驗證 . 必要性; 3. 充分性.
若高考試題中出現的恒成立問題中的函數不是多項式, 這些函數雖然在端點處的值為零, 但不能將它們分解, 對此需用以下知識點:
① 在[a, b]上恒成立, 若 , 則 ; 若 , 則 .
② 在[a, b]上恒成立, 若 , 則 ; 若 , 則 .
特別提醒: 這里的結論只是必要條件, 不一定是充分條件.
典型例題
【例1】設函數 , 其中 是 的導函數. 若 恒成 立, 求實數 的取值范圍.
【例2】設函數 .
(1) 證明: 的導數 ;
(2) 若對所有 都有 , 求 的取值范圍.
強化訓練
v
1. 設函數 .
(1)若 , 求 的單調區間；
(2)若當 時 ,求 的取值范圍.
2. 設函數 , 其中 .
(1)討論 的單調性;
(2)求實數 的取值范圍,使得 在區間 內恒成立 為自然對數的底數).
1第8講 恒成立問題與端點效應
知識與方法
在導數與函數的關系中, 定義區間的端點是一個重要的數值, 抓住這點, 深人探究, 用必要性推理, 很快能得到答案.
端點效應一般敘述: 若 , 且 恒大于等于 0 在 上恒成立, 則 的導數值大于等于 0 .
步驟: 1. 驗證 . 必要性; 3. 充分性.
若高考試題中出現的恒成立問題中的函數不是多項式, 這些函數雖然在端點處的值為零, 但不能將它們分解, 對此需用以下知識點:
① 在[a, b]上恒成立, 若 , 則 ; 若 , 則 .
② 在[a, b]上恒成立, 若 , 則 ; 若 , 則 .
特別提醒: 這里的結論只是必要條件, 不一定是充分條件.
典型例題
【例1】設函數 , 其中 是 的導函數. 若 恒成 立, 求實數 的取值范圍.
【解析】依題意, , 由于 , 即 , 而 恒成立, 即 恒成立,
必要性：
此時令 , 即保證 , 當 時恒成立.
由于 , 故此時必須保證函數 在 上單調遞增,
即保證 在區間 上恒成立, 而 ,
即函數 , 而 , 而要保證 在 恒成立, 故 0 , 即 .
充分性:
當 時, 函數 ,故函數 在 單調遞增, 即 , 故當 時, 函數 在 恒成立, 即原命題成立,
故實數 的取值范圍是 , 即 .
【例2】設函數 .
(1) 證明: 的導數 ;
(2) 若對所有 都有 , 求 的取值范圍.
【解析】 (1) 證明: 的導數 .
由于 , 故 (當且僅當 時, 等號成立).
(2) 依題意, 若要對任意的 都有 恒成立, 即要保證 恒成立, 也就 是當 時 恒成立.
必要性：
此時令 , 由于 ,
要函數 在 內恒成立, 即保證 在 內單調遞增,
也就是對于任意的 有 恒成立, 而 ,
且 , 故 , 即 .
充分性:
當 時, 函數 ,
故函數 在 內單調遞增, 即 ,
即得到對任意 時, 函數 恒成立時實數 的取值范圍是 .
強化訓練
1. 設函數 .
(1)若 , 求 的單調區間；
(2)若當 時 ,求 的取值范圍.
【解析】(1) 時, . 當 , 時
; 當 時, ; 當 時, . 故 在 上單調增加, 在 上單調減少.
（2）必要性 :
由于要求 時函數 恒成立, 而 , 故要保證函數 在 內單調遞增, 即保證 函數 在 內恒成立. 而 , 故 , 即此時需保證函數 在 內單調遞增, 即保證函數 在 內恒成立. 而 , 故 , 而要函數 在 內恒成立, 即 , 即 .
充分性：
當 時, , 令 ,
則 , 故函數 單調遞增, 故 , 即 , 故此時 函數 單調遞增, 即 , 故函數 單調遞增, 即 ,
此時即可得到當 時, 函數 在 時恒成立, 即實數 的范圍是 .
2. 設函數 , 其中 .
(1)討論 的單調性;
(2)求實數 的取值范圍,使得 在區間 內恒成立 為自然對數的底數).
【解析】 (1) 由題意, .
(1) 當 時, , 有 , 故 在 上單調遞減.
(2) 當 時, 令 , 有 , 當 時, ;
當 時, .
故 在 上單調遞減, 在 上單調遞增.
（2）必要性：
由于要求函數 在區間 內恒成立, 故令 ,
即 , 即此時只要 在 恒成立.
由于 , 由于要保證 恒成立,
故要函數 在 內單調遞增, 即函數 在 內恒成立.
而 , 故 , 而要 恒成立, 即 , 即 .
充分性:
當 時, 函數
.
(此處 需自己另行證明, 此處不予以詳細證明)
令 , 故 .
當 時, , 故函數 單調遞增, 即 ,
故函數 , 故函數 單調遞增, 即 ,
此時即得到當 時, 函數 即 在 上恒成立.
綜上所述, 得到實數 的取值范圍為 .
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