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7.4 二項分布與超幾何分布【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 利用二項分布求分布列】 1
【題型2 服從二項分布的隨機變量概率最大問題】 3
【題型3 二項分布的均值與方差】 4
【題型4 二項分布的實際應用】 6
【題型5 超幾何分布的判斷】 11
【題型6 超幾何分布的均值】 13
【題型7 超幾何分布的方差】 15
【題型8 二項分布與超幾何分布的綜合應用】 18
【知識點1 二項分布】
1．伯努利試驗
(1)伯努利試驗的概念
把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
(2)n重伯努利試驗的兩個特征
①同一個伯努利試驗重復做n次；
②各次試驗的結果相互獨立.
2．二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0次數，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).
3．二項分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
【題型1 利用二項分布求分布列】
【例1】（2023上·遼寧·高二校聯考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據二項分布的知識求得正確答案.
【解答過程】因為，所以．
故選：B．
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）已知隨機變量服從二項分布，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由二項分布的概率公式計算．
【解答過程】．
故選：D．
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據離散型隨機變量的概率即可算出．
【解答過程】因為是有放回地取產品，所以每次取產品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數，則,
，
故選：D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先建立方程求出，再計算即可.
【解答過程】解：因為隨機變量，，
所以，則，
因為，即，解得
隨機變量中，
，
故選：A．
【題型2 服從二項分布的隨機變量概率最大問題】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）若X～B，則使P（X＝k）最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
【解題思路】若最大，則，據此進行求解即可.
【解答過程】，得.
所以當時，，
當時，，則
從而或4時，取得最大值.
故選：C.
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）某人在11次射擊中擊中目標的次數為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解題思路】若最大，則，解出的范圍，代入數值.
【解答過程】因為 ，若最大，則
，化簡得： ， .
代入已知數值得： ，所以 時最大.
故選：C.
【變式2-2】（2023·高二課時練習）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據可得到方程，求得，結合n的取值，可得答案.
【解答過程】由題意可知，
因為，所以，
整理得，即，
又，且，所以，
故選：B.
【變式2-3】（2023下·湖北武漢·高二校考期末）設隨機變量，記，，下列說法正確的是（ ）
A．當k由0增大到n時，先增后減，在某一個（或兩個）k值處達到最大.二項分布當時是對稱的，當時向右偏倚，當時向左偏倚
B．如果為正整數，當且僅當時，取最大值
C．如果為非整數，當且僅當k取的整數部分時，取最大值
D．
【解題思路】由可得，分析可判斷BC選項，進而根據二項分布的圖象性質可判斷A選項；根據二項分布的期望公式可判斷D選項.
【解答過程】因為，，，
由，得，
解得，
若為正整數，則或時，取最大值，故B錯誤；
若為非整數，則取的整數部分時，取最大值，故C正確；
綜上所述，當k由0增大到n時，先增后減，在某一個（或兩個）k值處達到最大.
根據二項分布的圖象性質可得，當時是對稱的，當時向左偏倚，當時向右偏倚，故A錯誤；
而，故D錯誤.
故選：C.
【題型3 二項分布的均值與方差】
【例3】（2023下·遼寧鞍山·高二校聯考期中）在3重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發生的概率相同，若事件A至少發生一次的概率為，則事件A發生的次數X的期望和方差分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【解題思路】根據題意得到，結合題設條件求得，結合期望和方差的公式，即可求解.
【解答過程】設事件在每次試驗中發生的概率為，則，
因為事件至少發生一次的概率為，可得，解得，
所以，所以.
故選：D.
【變式3-1】（2023下·江西撫州·高二校考階段練習）設隨機變量，則下列說法不正確的有（ ）
A． B．
C．的數學期望 D．的方差
【解題思路】根據已知條件，結合n次獨立重復試驗的概率公式，以及二項分布的期望和方差公式判斷即可.
【解答過程】因為隨機變量，所以，故A正確；
，，
，故B不正確；
X的數學期望，故C正確；
X的方差，故D正確.
故選：B.
【變式3-2】（2023下·江蘇徐州·高二統考期中）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意分析，均服從二項分布，利用二項分布的均值和方差公式直接求得.
【解答過程】由題意可知：服從二項分布，所以.
同理：服從二項分布，所以.
因為，所以，所以.
對于二次函數，對稱軸，所以在上函數單調遞增，
所以當時，有，即.
故選：C.
【變式3-3】（2023下·遼寧·高二東北育才學校校聯考期末）已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【解題思路】根據二項分布的概率公式、期望與方差公式及期望與方差的性質計算即可逐一判定.
【解答過程】由題意可得，
則，
所以，，故AC錯誤；
由二項分布的概率公式得，故B正確；
，
若，
則，
化簡得，解得，與條件矛盾，即D錯誤.
故選：B.
【題型4 二項分布的實際應用】
【例4】（2023上·河南·高三校聯考開學考試）小明參加一項答題活動，需進行兩輪答題，每輪均有道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續答下一題，一旦答錯或題目答完則結束答題．第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪每道題答對得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均為，第二輪每題答對的概率均為．設小明第一輪答題的總得分為，第二輪答題的總得分為．
(1)若，求；
(2)證明：當時，．
【解題思路】（1）設小明第一輪答對的題數為，則，從而求出，再根據求出；
（2）設小明第二輪答對的題數為，求出的可能取值及可能取值，得到，利用錯位相減法求和，再根據求出，從而比較出當時，.
【解答過程】（1）設小明第一輪答對的題數為，
由條件可知，則，
因為，所以，
因此，當時，．
（2）設小明第二輪答對的題數為，則的所有可能取值為0，1，2，…，n，
且，，，…，
，．
所以，①
，②
①－②得，
所以 ．
因為，所以．
當時，，，
即得證．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現了“一墩難求”的現象.主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：
心理價位（元/件） 90 100 110 120
人數 10 20 50 20
假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.
(1)若，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望；
(2)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數學期望達到最大值？
【解題思路】（1）由調查表得出每個人購買紀念品的概念為，而，由二項分布計算概率的分布列，由二項分布的期望公式得期望；
（2）利用二項分布的期望公式求出時的期望，比較得最大值．
【解答過程】（1）時，消費者購買該紀念品的概率，
由題意，，，
，同理，，，，
的分布列為：
0 1 2 3 4
；
（2）由（1）知時，（時等號成立），
時，（時等號成立），
時，（時等號成立），
，因此 最大，此時．
所以當該紀念品的銷售價格定為110元多少時，Y的數學期望達到最大值．
【變式4-2】（2023上·全國·高三校聯考開學考試）一個不透明口袋里有大小、形狀、質量完全相同的10個小球，其中有1個紅色球、2個綠色球、3個黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽樣法，每次抽取前充分攪拌.
(1)50名學生先后各從口袋里隨機抽取1個球，設抽取到的球為黑色或紅色的次數為，求的數學期望；
(2)甲、乙兩人進行游戲比賽，規定：抽到紅色球得100分，抽到綠色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.兩人各從口袋里抽取兩次，每次隨機抽取一個球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【解題思路】（1）根據題意得到，再運用二項分布的期望公式直接求解即可；
（2）根據題意得到甲乙任意一個人結束游戲的得分，再求出概率即可.
【解答過程】（1）由題意知，10個小球中有1個紅色球、2個綠色球、3個黑色球，4個白色球，
隨機抽取一球，為黑色球或紅色球的概率為，
所以，所以.
（2）記甲和乙結束本輪游戲后，個人的得分為，
則的取值為，
每一次抽到紅色球得100分的概率為，抽到綠色球得50分的概率為，
抽到黑色球得0分的概率為，抽到白色球得分的概率為，
則，，
，，
，，
，，，
則甲、乙的個人得分情況可能為：
200 150 100 90 50 40 0
則甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的可能情況為：
甲得200分，乙得90分及以下，概率為，
甲得150分，乙得40分及以下，概率為，
甲得100分，乙得分及以下，概率為，
甲得90分，乙得分，概率為，
則甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【變式4-3】（2023·河北·統考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，團體賽分預賽和決賽兩個階段，其中預賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.
方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.
(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學得分的數學期望與方差；
(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？請說明理由.
【解題思路】（1）設郭靖同學答對的題目數為X，得分為Y，由題意確定，根據二項分布的期望和方差的性質，即可求得答案.
（2）設A班選擇方案一和方案二晉級團體賽決賽的概率分別為，分別求出的表達式，作差并利用構造函數判斷的大小，即可得到結論.
【解答過程】（1）設郭靖同學答對的題目數為X，得分為Y，則，
由題意可知,
則;
.
（2）設A班選擇方案一和方案二晉級團體賽決賽的概率分別為，
當選擇方案一時，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，
故；
當選擇方案二時，一個小組順利出線的概率為，則小組沒有出線的概率為，
故；
故，
令，
則
，
因為，所以，
故，
則，即，
故為單調增函數，
因為，
由于各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，即，
此時
故A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇方案一參賽.
【知識點2 超幾何分布】
1．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
2．超幾何分布與二項分布的關系
(1)超幾何分布與二項分布都是隨機變量取非負整數值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有
截然不同的表達式，但看它們的概率分布列，會發現其相似點.超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的概率模型，許多實際問題都可以利用這兩個概率模型來求解.在實際應用中，理解并辨別這兩個概率模型是至關重要的.
(2)事實上，在次品件數為確定數M的足夠多的產品中，任意抽取n件(由于產品件數N無限多，無放回與有放回無區別，故可看作n重伯努利試驗)，其中含有次品的件數服從二項分布.
【題型5 超幾何分布的判斷】
【例5】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學校考階段練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數為
B．某射手的射擊命中率為，現對目標射擊次，記命中的次數為
C．從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數為
D．盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為
【解題思路】根據超幾何分布的定義逐項判斷可得出合適的選項.
【解答過程】對于A選項，將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數為，
則服從二項分布，A不滿足；
對于B選項，某射手的射擊命中率為，現對目標射擊次，記命中的次數為，則服從兩點分布，B不滿足；
對于C選項，從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數為，
則服從超幾何分布，C滿足；
對于D選項，盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，
記第一次摸出黑球時摸取的次數為，則不服從超幾何分布，D不滿足.
故選：C.
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數，則X服從超幾何分布，其參數為（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【解題思路】根據超幾何分布概率模型可得選項.
【解答過程】根據超幾何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故選：A.
【變式5-2】（2022下·天津河西·高二天津實驗中學校考期中）一個袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數，則服從（ ）
A．二項分布，且 B．兩點分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【解題思路】利用超幾何分布的定義判斷，再利用超幾何分布的期望公式求解.
【解答過程】解：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，所以由超幾何分布得定義得服從超幾何分布，所以.
故選：C.
【變式5-3】（2023·全國·高二專題練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；
④X表示取出的黑球個數．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【解題思路】根據超幾何分布的定義逐項判斷后可得正確的選項.
【解答過程】對于①，當X表示最大號碼，比如表示從黑球編號為中取3個黑球，
而表示從6個黑球和編號為的白球共7個球中取3個球，
故該隨機變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機變量不服從超幾何分布.
對于③，的可能取值為，
表示取出4個白球；
表示取出3個白球1個黑球；
表示取出2個白球2個黑球；
表示取出1個白球3個黑球；
表示取出4個黑球；
因此服從超幾何分布.
由超幾何分布的概念知④符合，
故選：B.
【題型6 超幾何分布的均值】
【例6】（2023上·四川成都·高三成都七中校考開學考試）某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發現該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發現符合其喜好的糕點的種數，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知服從超幾何分布，然后利用超幾何分布的期望公式求解即可.
【解答過程】由題意可知從含有顧客喜好的k（）種糕點的n種糕點中，任取m（）種糕點，其中恰有種顧客喜好的糕點，則服從超幾何分布，
所以，其中，
所以，
故選：A.
【變式6-1】（2023·全國·高二專題練習）設隨機變量（且），最大時，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【解題思路】根據給定條件，求出最大時的M值，再利用超幾何分布的期望公式計算作答.
【解答過程】隨機變量，則，
因最大，則有，
即，，
整理得，解得，
而，則，所以.
故選：C.
【變式6-2】（2023下·山東青島·高二校考期中）從裝有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球. 若每取出個紅球得分，每取出個白球得分. 按照規則從容器中任意抽取個球，所得分數的期望為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據取出小球的所有情況寫出得分的所有可能，根據超幾何公式求得各個取值對應的概率，進而得到其分布列，求出期望.
【解答過程】解：設得分為，根據題意可以取，，.
則，，
，
則分布列為：
4 3 2
所以得分期望為.
故選：.
【變式6-3】（2024上·山東臨沂·高三校聯考開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】根據取出2個黑球，1個白球的概率為求出n的值，再求出X的分布列，根據數學期望的定義即可計算.
【解答過程】由題可知，，解得，
X的可能取值為，
，，，，
∴.
故選：A.
【題型7 超幾何分布的方差】
【例7】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，求出對應的概率，根據數學期望，方差的公式及性質計算即可．
【解答過程】根據題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，
故
所以
，
，
故選：D．
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有個紅球，乙盒子里有個紅球和個黑球，現從乙盒子里隨機取出個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為個，則隨著的增加，下列說法正確的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，減小
C．減小，增加 D．減小，減小
【解題思路】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，含有紅球個數服從超幾何分布，即，可得出，再從甲盒子里隨機取一球，則服從兩點分布，所以，，從而可判斷出和的增減性.
【解答過程】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，含有紅球個數服從超幾何分布，即，其中，其中，且，.
故從甲盒中取球，相當于從含有個紅球的個球中取一球，取到紅球個數為.
故，
隨機變量服從兩點分布，所以，隨著的增大，減小；
，隨著的增大，增大.
故選：C.
【變式7-2】（2023下·山東棗莊·高二校考階段練習）為營造濃厚的全國文明城市創建氛圍，積極響應創建全國文明城市號召，提高對創城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.
(1)求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；
(2)記參加活動的女生人數為X，求X的分布列及期望、方差.
【解題思路】（1）根據條件概率公式即可求解.
（2）根據超幾何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望與方差.
【解答過程】（1）設“有女生參加活動”為事件，“恰有一名女生參加活動”為事件．
則，所以；
（2）依題意知服從超幾何分布，且，
所以的分布列為：
0 1 2
.
【變式7-3】（2023·全國·高二專題練習）2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法某中學培養學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：
根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：
測試成績（單位：分）
等級 合格 中等 良好 優秀
（1）從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績為優秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；
（2）現從樣本中成績為良好的學生中隨機抽取3人座談，記為抽到高二年級的人數，求的分布列，數學期望與方差.
【解題思路】（1）利用條件概率的公式即得解；
（2）隨機變量服從超幾何分布，計算對應的概率，列出分布列，利用期望與方差的公式即得解
【解答過程】（1）記事件為“從樣本中任取2名同學的競賽成績為優秀”，事件為“這兩個同學來自同一個年級”，則，.
所以在成績為優秀的情況下，這2個同學來自同一個年級的概率為
.
（2）由題意的可能取值為0，1，2，3.
，，，.
所以的分布列為：
0 1 2 3
數學期望為：
.
【題型8 二項分布與超幾何分布的綜合應用】
【例8】（2023下·高二課時練習）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列，并計算其數學期望;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大
【解題思路】（1）設出甲、乙正確完成面試題的數量分別為，，由于，，分別寫出分布列，再求期望值均為；
（2）由于均值相等，可通過比較各自的方差.
【解答過程】（1）設為甲正確完成面試題的數量，為乙正確完成面試題的數量，
依題意可得：，
∴，，，
∴X的分布列為：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列為：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲發揮的穩定性更強，則甲通過面試的概率較大．
【變式8-1】（2023上·江西萍鄉·高二統考期末）某職業學校為了了解畢業班學生的操作能力，設計了一個考查方案：每個考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道選題，按照題目要求正確完成，規定：至少正確完成其中2個選題方可通過.6道備選題中，考生甲有4個選題能正確完成，2個選題不能完成；考生乙每個選題正確完成的概率都是，且每個選題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲 乙兩位考生正確完成選題個數的概率分布列（列出分布列表）；
(2)請分析比較甲 乙兩位考生的操作能力.
【解題思路】（1）根據超幾何分布及二項分布分別求解即可；
（2）根據超幾何分布及二項分布的數學期望及方差公式分別求解即得.
【解答過程】（1）記考生甲正確完成試題的個數分別為，則的可能取值有，
且，，
所以，考生甲正確完成選題數的概率分布列如下表：
1 2 3
記考生乙正確完成試題的個數分別為，則的可能取值有，
且，，
所以，考生乙正確完成選題數的概率分布列如下表：
0 1 2 3
（2），
，
從做對題的個數的數學期望看，兩人水平相當；因為，因此可以判斷甲考生的操作能力更強.
【變式8-2】（2023上·山西·高三統考階段練習）近日，某企業舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．
(1)分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；
(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求的取值范圍．
【解題思路】（1）根據超幾何分布概率公式和二項分布概率公式求概率，然后可得分布列；
（2）分別求兩人猜中謎語道數的期望，根據期望列不等式即可求解.
【解答過程】（1）設小張猜中謎語的道數為，可知隨機變量服從超幾何分布，的取值分別為2，3，4．
有，，，
故小張猜中謎語道數的分布列為
2 3 4
設小王猜中謎語的道數為，可知隨機變量服從二項分布的取值分別為0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中謎語道數的分布列為
0 1 2 3 4
（2）由（1）可知，
若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，則，可得．
【變式8-3】（2023·全國·高二專題練習）為慶祝建軍節的到來，某校舉行“強國強軍”知識競賽.該校某班經過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在，兩名學生中產生，該班委設計了一個選拔方案：，兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生能正確回答其中的4個問題，而學生能正確回答每個問題的概率均為.，兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.
（1）分別求，兩名學生恰好答對2個問題的概率.
（2）設答對的題數為，答對的題數為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.
【解題思路】（1）由古典概型概率公式求得的概率，由獨立重復試驗的概率公式計算出的概率；
（2）的可能取值為1，2，3，計算出概率后得概率分布列，求出期望與方差，而，也計算出均值與方差，比較可得．
【解答過程】（1）由題意，知恰好答對2個問題的概率為，恰好答對2個問題的概率為.
（2）的可能取值為1，2，3，
則；；.
所以，.
易知，
所以，.
因為，，
所以與答題的平均水平相當，但比更穩定.所以選擇學生.7.4 二項分布與超幾何分布【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 利用二項分布求分布列】 1
【題型2 服從二項分布的隨機變量概率最大問題】 2
【題型3 二項分布的均值與方差】 2
【題型4 二項分布的實際應用】 3
【題型5 超幾何分布的判斷】 6
【題型6 超幾何分布的均值】 7
【題型7 超幾何分布的方差】 7
【題型8 二項分布與超幾何分布的綜合應用】 9
【知識點1 二項分布】
1．伯努利試驗
(1)伯努利試驗的概念
把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
(2)n重伯努利試驗的兩個特征
①同一個伯努利試驗重復做n次；
②各次試驗的結果相互獨立.
2．二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0次數，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).
3．二項分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
【題型1 利用二項分布求分布列】
【例1】（2023上·遼寧·高二校聯考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）已知隨機變量服從二項分布，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 服從二項分布的隨機變量概率最大問題】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）若X～B，則使P（X＝k）最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）某人在11次射擊中擊中目標的次數為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式2-2】（2023·高二課時練習）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023下·湖北武漢·高二校考期末）設隨機變量，記，，下列說法正確的是（ ）
A．當k由0增大到n時，先增后減，在某一個（或兩個）k值處達到最大.二項分布當時是對稱的，當時向右偏倚，當時向左偏倚
B．如果為正整數，當且僅當時，取最大值
C．如果為非整數，當且僅當k取的整數部分時，取最大值
D．
【題型3 二項分布的均值與方差】
【例3】（2023下·遼寧鞍山·高二校聯考期中）在3重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發生的概率相同，若事件A至少發生一次的概率為，則事件A發生的次數X的期望和方差分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式3-1】（2023下·江西撫州·高二校考階段練習）設隨機變量，則下列說法不正確的有（ ）
A． B．
C．的數學期望 D．的方差
【變式3-2】（2023下·江蘇徐州·高二統考期中）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2023下·遼寧·高二東北育才學校校聯考期末）已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【題型4 二項分布的實際應用】
【例4】（2023上·河南·高三校聯考開學考試）小明參加一項答題活動，需進行兩輪答題，每輪均有道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續答下一題，一旦答錯或題目答完則結束答題．第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪每道題答對得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均為，第二輪每題答對的概率均為．設小明第一輪答題的總得分為，第二輪答題的總得分為．
(1)若，求；
(2)證明：當時，．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現了“一墩難求”的現象.主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：
心理價位（元/件） 90 100 110 120
人數 10 20 50 20
假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.
(1)若，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望；
(2)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數學期望達到最大值？
【變式4-2】（2023上·全國·高三校聯考開學考試）一個不透明口袋里有大小、形狀、質量完全相同的10個小球，其中有1個紅色球、2個綠色球、3個黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽樣法，每次抽取前充分攪拌.
(1)50名學生先后各從口袋里隨機抽取1個球，設抽取到的球為黑色或紅色的次數為，求的數學期望；
(2)甲、乙兩人進行游戲比賽，規定：抽到紅色球得100分，抽到綠色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.兩人各從口袋里抽取兩次，每次隨機抽取一個球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【變式4-3】（2023·河北·統考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，團體賽分預賽和決賽兩個階段，其中預賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.
方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.
(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學得分的數學期望與方差；
(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？請說明理由.
【知識點2 超幾何分布】
1．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
2．超幾何分布與二項分布的關系
(1)超幾何分布與二項分布都是隨機變量取非負整數值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有
截然不同的表達式，但看它們的概率分布列，會發現其相似點.超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的概率模型，許多實際問題都可以利用這兩個概率模型來求解.在實際應用中，理解并辨別這兩個概率模型是至關重要的.
(2)事實上，在次品件數為確定數M的足夠多的產品中，任意抽取n件(由于產品件數N無限多，無放回與有放回無區別，故可看作n重伯努利試驗)，其中含有次品的件數服從二項分布.
【題型5 超幾何分布的判斷】
【例5】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學校考階段練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數為
B．某射手的射擊命中率為，現對目標射擊次，記命中的次數為
C．從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數為
D．盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數，則X服從超幾何分布，其參數為（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【變式5-2】（2022下·天津河西·高二天津實驗中學校考期中）一個袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數，則服從（ ）
A．二項分布，且 B．兩點分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【變式5-3】（2023·全國·高二專題練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；
④X表示取出的黑球個數．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【題型6 超幾何分布的均值】
【例6】（2023上·四川成都·高三成都七中校考開學考試）某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發現該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發現符合其喜好的糕點的種數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·全國·高二專題練習）設隨機變量（且），最大時，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【變式6-2】（2023下·山東青島·高二校考期中）從裝有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球. 若每取出個紅球得分，每取出個白球得分. 按照規則從容器中任意抽取個球，所得分數的期望為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024上·山東臨沂·高三校聯考開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【題型7 超幾何分布的方差】
【例7】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有個紅球，乙盒子里有個紅球和個黑球，現從乙盒子里隨機取出個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為個，則隨著的增加，下列說法正確的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，減小
C．減小，增加 D．減小，減小
【變式7-2】（2023下·山東棗莊·高二校考階段練習）為營造濃厚的全國文明城市創建氛圍，積極響應創建全國文明城市號召，提高對創城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.
(1)求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；
(2)記參加活動的女生人數為X，求X的分布列及期望、方差.
【變式7-3】（2023·全國·高二專題練習）2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法某中學培養學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：
根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：
測試成績（單位：分）
等級 合格 中等 良好 優秀
（1）從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績為優秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；
（2）現從樣本中成績為良好的學生中隨機抽取3人座談，記為抽到高二年級的人數，求的分布列，數學期望與方差.
【題型8 二項分布與超幾何分布的綜合應用】
【例8】（2023下·高二課時練習）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列，并計算其數學期望;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大
【變式8-1】（2023上·江西萍鄉·高二統考期末）某職業學校為了了解畢業班學生的操作能力，設計了一個考查方案：每個考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道選題，按照題目要求正確完成，規定：至少正確完成其中2個選題方可通過.6道備選題中，考生甲有4個選題能正確完成，2個選題不能完成；考生乙每個選題正確完成的概率都是，且每個選題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲 乙兩位考生正確完成選題個數的概率分布列（列出分布列表）；
(2)請分析比較甲 乙兩位考生的操作能力.
【變式8-2】（2023上·山西·高三統考階段練習）近日，某企業舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．
(1)分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；
(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求的取值范圍．
【變式8-3】（2023·全國·高二專題練習）為慶祝建軍節的到來，某校舉行“強國強軍”知識競賽.該校某班經過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在，兩名學生中產生，該班委設計了一個選拔方案：，兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生能正確回答其中的4個問題，而學生能正確回答每個問題的概率均為.，兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.
（1）分別求，兩名學生恰好答對2個問題的概率.
（2）設答對的題數為，答對的題數為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.

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