資源簡介

6.3 平面向量的數量積運算
【考點1：求向量的數量積】 1
【考點2：利用向量的數量積求模】 2
【考點3：利用向量的數量積求夾角】 3
【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】 3
【考點5：投影向量】 5
【考點1：求向量的數量積】
【知識點：求向量的數量積】
1．平面向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則數量||||cos θ叫做與的數量積(或內積)，記作·，即·＝||||cos θ，規定零向量與任一向量的數量積為0，即0·＝0.
(2)幾何意義：數量積·等于的長度||與在的方向上的投影||cos θ的乘積．
2．平面向量數量積的運算律
(1) ·＝· (交換律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(結合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易錯提醒]
(1)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補．
(2)兩向量，的數量積·與代數中，的乘積寫法不同，不能省略掉其中的“·”．　　
1．（2024·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．（2024·內蒙古鄂爾多斯·高三期末）在邊長為6的菱形ABCD中，，，則=（ ）
A．15 B． C．30 D．20
3．（2024·河南·模擬預測）中，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學校考階段練習）如圖，半徑為為圓上兩點，若，則（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024·貴州黔東南·高二校考期末）在矩形中，，點分別是的中點，則 ．
【考點2：利用向量的數量積求模】
【知識點：利用向量的數量積求模】
幾何表示
模 ||＝
1．（2024上·內蒙古鄂爾多斯·高三統考期末）已知單位向量與單位向量的夾角為，則（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）已知平面向量，均為單位向量，且它們的夾角為，則（ ）
A．7 B．3 C． D．1
3．（2024·山西大同·高三統考期末）設向量，滿足，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024上·河北張家口·高三統考期末）已知向量，的夾角為，，，則 ．
5．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知單位向量滿足，則 .
6．（2024·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
【考點3：利用向量的數量積求夾角】
【知識點：利用向量的數量積求夾角】
幾何表示
夾角 cos θ＝
1．（2024·全國·模擬預測）若向量，，且，則 ．
2．（2024·全國·模擬預測）已知向量在向量上的投影向量為，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·青海西寧·高三統考期中）已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】
【知識點：向量垂直與向量的數量積關系】
1．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）若向量滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知向量的夾角為，，則 ， ．
4．（2024上·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校校考期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為
5．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）設，為兩個單位向量，且，若與垂直，則 .
6．（2023下·陜西西安·高一期中）已知向量滿足，且的夾角為.
(1)求的模；
(2)若與互相垂直，求λ的值.
7．（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習），的夾角為，，.
(1)求；
(2)若與互相垂直，求.
【考點5：投影向量】
【知識點：投影向量】
在上的投影向量為：.
1．（福建省泉州市2023屆高三畢業班質量監測（二）數學試題）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽六安·高三校聯考期末）已知中，為的中點，且，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·統考一模）平面向量滿足，對任意的實數t，恒成立，則（ ）
A．與的夾角為 B．為定值
C．的最小值為 D．在上的投影向量為
4．（2023·高一課時練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量方向上的投影向量是________．
5．（2023·高一課時練習）設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則________．6.3 平面向量的數量積運算
【考點1：求向量的數量積】 1
【考點2：利用向量的數量積求模】 3
【考點3：利用向量的數量積求夾角】 6
【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】 8
【考點5：投影向量】 11
【考點1：求向量的數量積】
【知識點：求向量的數量積】
1．平面向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則數量||||cos θ叫做與的數量積(或內積)，記作·，即·＝||||cos θ，規定零向量與任一向量的數量積為0，即0·＝0.
(2)幾何意義：數量積·等于的長度||與在的方向上的投影||cos θ的乘積．
2．平面向量數量積的運算律
(1) ·＝· (交換律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(結合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易錯提醒]
(1)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補．
(2)兩向量，的數量積·與代數中，的乘積寫法不同，不能省略掉其中的“·”．　　
1．（2024·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
2．（2024·內蒙古鄂爾多斯·高三期末）在邊長為6的菱形ABCD中，，，則=（ ）
A．15 B． C．30 D．20
【答案】C
【分析】根據條件將表示為的線性組合，然后根據向量的數量積運算求解出結果.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，
故選：C.
3．（2024·河南·模擬預測）中，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據數量積求解，，進而求解三角形的面積.
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：A.
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學校考階段練習）如圖，半徑為為圓上兩點，若，則（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先由數量積運算結合圓的性質可得，進而可求弦心距，則三角形的面積可求.
【詳解】，
，弦心距，
，
故選：C.
5．（2024·貴州黔東南·高二校考期末）在矩形中，，點分別是的中點，則 ．
【答案】2
【分析】用表示，，即可判斷
【詳解】因為四邊形ABCD為矩形，所以，
，
故答案為：2.
【考點2：利用向量的數量積求模】
【知識點：利用向量的數量積求模】
幾何表示
模 ||＝
1．（2024上·內蒙古鄂爾多斯·高三統考期末）已知單位向量與單位向量的夾角為，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】借助模長與數量積的關系計算即可得.
【詳解】，
故.
故選：D.
2．（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）已知平面向量，均為單位向量，且它們的夾角為，則（ ）
A．7 B．3 C． D．1
【答案】D
【分析】根據向量的數量積的運算，以及平面向量的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】由平面向量均為單位向量，且它們的夾角為，
則，所以.
故選：D．
3．（2024·山西大同·高三統考期末）設向量，滿足，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用的平方與的平方之間的關系求解.
【詳解】因為，，
以上兩式相減，可得，即，
所以.
故選：B
4．（2024上·河北張家口·高三統考期末）已知向量，的夾角為，，，則 ．
【答案】
【分析】根據向量，的模和夾角即可得出的值.
【詳解】由題意，
向量，的夾角為，，，
，
故答案為：.
5．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知單位向量滿足，則 .
【答案】
【分析】利用向量數量積的運算律及已知可得，再由運算律求即可.
【詳解】因為，所以，所以，
則，故.
故答案為：
6．（2024·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
【答案】[1,5]
【分析】先表示出，再利用數量積的性質，求出的范圍即可.
【詳解】∵，
∴，
，
∴，即
∴，
，即.
故答案為：.
【考點3：利用向量的數量積求夾角】
【知識點：利用向量的數量積求夾角】
幾何表示
夾角 cos θ＝
1．（2024·全國·模擬預測）若向量，，且，則 ．
【答案】
【分析】根據題意結合數量積的運算律可得，求得，進而求夾角余弦值.
【詳解】因為，則，
兩邊平方得，即，整理得，
可得，
所以.
故答案為：.
2．（2024·全國·模擬預測）已知向量在向量上的投影向量為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意得，再由平方，可知，結合向量夾角公式即可求解.
【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，所以．
因為，所以，即，
故，所以．
因為，所以.
故選：B．
3．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據可得，再由向量夾角計算公式可求得與的夾角為.
【詳解】由題意可得，
將兩邊平方可得；
可得，可得；
設與的夾角為，則，
所以.
故選：C
4．（2023上·青海西寧·高三統考期中）已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據模長公式，結合數量積的運算律，即可由夾角公式求解.
【詳解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故選：D
【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】
【知識點：向量垂直與向量的數量積關系】
1．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量，則數量積為零，將已知和公式代入求解.
【詳解】設與的夾角為
因為，
所以
所以，因為，
所以.
故選：A
2．（2024·全國·模擬預測）若向量滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平方，再結合求解.
【詳解】解：因為，所以．
因為，所以①．
因為，所以．
因為，所以②，
①②得，，
故選：C．
3．（2024·全國·模擬預測）已知向量的夾角為，，則 ， ．
【答案】 2
【分析】根據向量垂直的表示得，利用數量積的運算性質計算可得；根據與，結合數量積的運算性質求解可得出.
【詳解】由向量的夾角為，且，
得，
所以．
因為，
，
所以．
故答案為：2，.
4．（2024上·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校校考期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為
【答案】
【分析】利用兩個向量垂直的性質、兩個向量的數量積的定義，求得與的夾角的值．
【詳解】非零向量，滿足，且，
設與的夾角為，，，
則，解得，
．
故答案為：．
5．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）設，為兩個單位向量，且，若與垂直，則 .
【答案】/-0.4
【分析】根據向量與垂直可得，結合數量積的運算，即可求得答案.
【詳解】由題意知設，為兩個單位向量，且，與垂直，
故，即，
故，解得，
故答案為：
6．（2023下·陜西西安·高一期中）已知向量滿足，且的夾角為.
(1)求的模；
(2)若與互相垂直，求λ的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根據向量滿足，且的夾角為，由求解；
（2）根據與互相垂直，由求解.
【詳解】（1）因為向量滿足，且的夾角為，
所以，
解得；
（2）因為與互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
7．（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習），的夾角為，，.
(1)求；
(2)若與互相垂直，求.
【答案】(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展開后代入數量積公式求得答案；
（2）由與互相垂直，得，展開后化為關于的方程求解.
【詳解】（1），的夾角為，，，
.
故.
（2）若與互相垂直，則，
即.
所以，整理得，
即，解得.
【考點5：投影向量】
【知識點：投影向量】
在上的投影向量為：.
1．（福建省泉州市2023屆高三畢業班質量監測（二）數學試題）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的數量積運算，對兩邊同時平方得到，再由投影向量的定義即可求解.
【詳解】由已知條件得：，即，
又在方向上的投影向量為，
故選：A.
2．（2022秋·安徽六安·高三校聯考期末）已知中，為的中點，且，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量線性運算可得，知，根據投影向量為，結合長度和角度關系可求得結果.
【詳解】，，，
又，，，，為等邊三角形，；
在上的投影向量為.
故選：C.
3．（2023·福建·統考一模）平面向量滿足，對任意的實數t，恒成立，則（ ）
A．與的夾角為 B．為定值
C．的最小值為 D．在上的投影向量為
【答案】AD
【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據向量的運算逐項進行檢驗即可求解.
【詳解】設平面向量與的夾角為，
因為對任意的實數t，恒成立，
即恒成立，又，
也即對任意的實數恒成立，
所以，則，所以，
故選項正確；
對于，因為隨的變化而變化，故選項錯誤；
對于，因為，由二次函數的性質可知：當時，取最小值，故選項錯誤；
對于，向量上的一個單位向量，由向量夾角公式可得：，
由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為，故選項正確，
故選：.
4．（2023·高一課時練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量方向上的投影向量是________．
【答案】
【分析】根據投影向量的定義結合條件即得.
【詳解】因為向量、的夾角等于，，為單位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案為：.
5．（2023·高一課時練習）設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則________．
【答案】
【分析】根據投影向量的定義結合條件即得.
【詳解】因為為在方向上的投影向量，，
所以，又，且，
所以.
故答案為；.

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