資源簡介

6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算；
2、能夠用兩個向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題。
常考題型
知識梳理
一、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
若，，則
兩個向量的數(shù)量積：等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。
二、兩個向量垂直的坐標(biāo)表示
若兩個向量垂直，則
三、用坐標(biāo)表示的三個重要公式
1、向量的模公式：若，則
2、兩點間的距離公式：若，，則
3、向量的交角公式：設(shè)兩個非零向量，，與的夾角為，
則
題型精析
題型一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算
【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分別求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【變式1-1】（2023·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（ ）
A．11 B．7 C．3 D．
【變式1-2】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，每一個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A． B． C．0 D．4
【變式1-3】（2023·江西宜春·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2023·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，且，是的中點，是線段的中點，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．2
題型二 利用坐標(biāo)研究向量垂直問題
【例2】（2023·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列向量中，與不垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2023·陜西咸陽·高一校考期中）已知向，，若向量與垂直，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·山東青島·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
題型三 利用坐標(biāo)研究向量的模長
【例3】（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【變式3-1】（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·湖北荊門·高三月考）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·河南·高一校考階段練習(xí)）已知，，.
（1）求；
（2）求的模的最小值.
題型四 利用坐標(biāo)研究向量的夾角
【例4】（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，，向量，，則與的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高一昆山中學(xué)校考期末）向量，且，則 ．
【變式4-2】（2023·浙江金華·高一東陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【變式4-3】（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為 ．
題型五 利用坐標(biāo)求投影向量
【例5】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】向量，則，
所以向量在方向上的投影向量為
【變式5-1】（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B
【變式5-2】（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為向量，，所以，解得，
則，則，
所以在方向上的投影向量為，故選：C
【變式5-3】（2023·河北保定·高一統(tǒng)考期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐標(biāo)；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)，因為，所以．
又，解得，，所以．
（2），所以，
則向量在向量上的投影向量的模為.
題型六 利用坐標(biāo)求數(shù)量積的最值范圍
【例6】（2023·四川成都·高一成都市第四十九中學(xué)校校考期中）已知是邊長為1的正的邊上的動點，為的中點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC的中點O，以O(shè)為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
，且，
時，取最小值；時，取最大值，
∴的取值范圍是，故選：A.
【變式6-1】（2023·天津濱海新·高一塘沽第一中學(xué)校考期中）在矩形ABCD中，若，，且，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，
由可得： ，
由，可得，解得，或舍去，
則．故選：D．
【變式6-2】（2023·河北石家莊·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點，則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于點，作垂直于于點，
又，，，
則，，，，
則建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
又P為腰AD所在直線上任意一點，
則設(shè)，，
則點P的坐標(biāo)為，
所以，，
又關(guān)于的二次函數(shù)的對稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即點P和點D重合時，取得最小值．
故的最小值是．故選：C．
【變式6-3】（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC邊（含端點）上的動點，的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因為四邊形為直角梯形，則以為坐標(biāo)原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
因為，所以，
則，設(shè)直線的方程為，
則代入坐標(biāo)有，解得，
則直線的方程為，
則可設(shè)，，
則，則，
因為，則其最小值為，故選：D.
【變式6-4】（2023·廣東東莞·高一東莞中學(xué)松山湖學(xué)校月考）在扇形中，，，M是OA中點，點P在弧AB上，則的最小值為（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，
的方向為y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
于是，
所以，
其中銳角滿足，
因此當(dāng)，即時，.
所以的最小值為，故選：D6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算；
2、能夠用兩個向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題。
常考題型
知識梳理
一、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
若，，則
兩個向量的數(shù)量積：等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。
二、兩個向量垂直的坐標(biāo)表示
若兩個向量垂直，則
三、用坐標(biāo)表示的三個重要公式
1、向量的模公式：若，則
2、兩點間的距離公式：若，，則
3、向量的交角公式：設(shè)兩個非零向量，，與的夾角為，
則
題型檢測
題型一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算
【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分別求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
【變式1-1】（2023·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（ ）
A．11 B．7 C．3 D．
【答案】C
【解析】以向量的起點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，
所以，故選：C.
【變式1-2】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，每一個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】D
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，每一個小正方形的邊長均為1，
故，，
則.故選:D.
【變式1-3】（2023·江西宜春·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，
垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
因為，所以，解得，故，
則.故選：B
【變式1-4】（2023·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，且，是的中點，是線段的中點，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如圖，以為原點，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，
則，，，
∵是的中點，∴，
∵是線段的中點，∴，
∴，，，∴，
∴.故選：C.
題型二 利用坐標(biāo)研究向量垂直問題
【例2】（2023·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列向量中，與不垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
故選：ABD
【變式2-1】（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由向量，
若，可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
【變式2-2】（2023·陜西咸陽·高一校考期中）已知向，，若向量與垂直，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，則，，
因為向量與垂直，則，解得，故選：C.
【變式2-3】（2023·山東青島·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
又因為，所以，解得，故選：A
題型三 利用坐標(biāo)研究向量的模長
【例3】（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由題意可得：，所以,故選：C.
【變式3-1】（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
即，解得，
，解得．故選：D
【變式3-2】（2023·湖北荊門·高三月考）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，可得，所以，故選：A
【變式3-3】（2023·河南·高一校考階段練習(xí)）已知，，.
（1）求；
（2）求的模的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）∵，，∴
∴
∴當(dāng)時，.
題型四 利用坐標(biāo)研究向量的夾角
【例4】（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，，向量，，則與的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為點，，向量，，
所以，，
所以與的夾角的余弦值.故選：A
【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高一昆山中學(xué)校考期末）向量，且，則 ．
【答案】
【解析】由，得，即，
而，則，即，
以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，于是，有，
所以.
【變式4-2】（2023·浙江金華·高一東陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】，，
向量在方向上的投影向量為
，
所以投影向量的坐標(biāo)為.
【變式4-3】（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為 ．
【答案】
【解析】依題意，以為原點，所在直線為軸，過作的垂線為軸，如圖所示，
因為，，，
所以，則，
，
即為向量與的夾角，
，
，，
.
題型五 利用坐標(biāo)求投影向量
【例5】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】向量，則，
所以向量在方向上的投影向量為
【變式5-1】（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B
【變式5-2】（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為向量，，所以，解得，
則，則，
所以在方向上的投影向量為，故選：C
【變式5-3】（2023·河北保定·高一統(tǒng)考期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐標(biāo)；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)，因為，所以．
又，解得，，所以．
（2），所以，
則向量在向量上的投影向量的模為.
題型六 利用坐標(biāo)求數(shù)量積的最值范圍
【例6】（2023·四川成都·高一成都市第四十九中學(xué)校校考期中）已知是邊長為1的正的邊上的動點，為的中點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC的中點O，以O(shè)為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
，且，
時，取最小值；時，取最大值，
∴的取值范圍是，故選：A.
【變式6-1】（2023·天津濱海新·高一塘沽第一中學(xué)校考期中）在矩形ABCD中，若，，且，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，
由可得： ，
由，可得，解得，或舍去，
則．故選：D．
【變式6-2】（2023·河北石家莊·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點，則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于點，作垂直于于點，
又，，，
則，，，，
則建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
又P為腰AD所在直線上任意一點，
則設(shè)，，
則點P的坐標(biāo)為，
所以，，
又關(guān)于的二次函數(shù)的對稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即點P和點D重合時，取得最小值．
故的最小值是．故選：C．
【變式6-3】（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC邊（含端點）上的動點，的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因為四邊形為直角梯形，則以為坐標(biāo)原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
因為，所以，
則，設(shè)直線的方程為，
則代入坐標(biāo)有，解得，
則直線的方程為，
則可設(shè)，，
則，則，
因為，則其最小值為，故選：D.
【變式6-4】（2023·廣東東莞·高一東莞中學(xué)松山湖學(xué)校月考）在扇形中，，，M是OA中點，點P在弧AB上，則的最小值為（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，
的方向為y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
于是，
所以，
其中銳角滿足，
因此當(dāng)，即時，.
所以的最小值為，故選：D

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