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8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】 3
【題型2 空間中的點共線、點（線）共面問題】 5
【題型3 空間中的線共點問題】 9
【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】 13
【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】 16
【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】 18
【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】 21
【知識點1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當(dāng)平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂
點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示
點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的
集合.點與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.
3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)三個基本事實及其表示
基本事實 自然語言 圖形語言 符號語言
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面. A,B, C三點不共線存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi). A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
(2)基本事實1和2的三個推論
推論 自然語言 圖形語言 符號語言
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面. 點A aa與A共面于平面α,且平面唯一.
推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面. a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.
推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面. 直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.
4．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】
【例1】（2023下·高一課時練習(xí)）下面說法中正確的是（ ）
A．任何一個平面圖形都是一個平面
B．平靜的太平洋面是平面
C．平面就是平行四邊形
D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面
【解題思路】根據(jù)平面的概念，逐項判定，即可求解.
【解答過程】對于A中，平面是無限延展的，所以一個平面圖形不是一個平面，所以A不正確；
對于B中，平靜的太平洋面是個有邊界的圖形，不是平面，所以B不正確；
對于C中，平面可以用平行四邊形表示，但平面不是是平行四邊形，所以C不正確；
對于D中，在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面，所以D正確.
故選：D.
【變式1-1】（2023下·黑龍江·高一校考期中）在空間中，下列命題不正確的是（ ）
A．若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點．且在一條直線上
B．若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線
C．梯形可確定一個平面
D．任意三點能確定一個平面
【解題思路】利用平面的相關(guān)公理和推論逐項進行判斷即可求解.
【解答過程】對于選項A，若兩個平面有一個公共點，則它們有經(jīng)過該公共點的一條直線，即兩平面有無數(shù)個公共點，故選項A正確；
對于選項B，若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線，否則，若存在三點共線，則問題轉(zhuǎn)化為一條直線與直線外一點，則四點共面，故選項B正確；
對于選項C，因為兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可確定一個平面，故選項C正確；
對于選項D，共線的三點不能確定一個平面，故選項D錯誤；
故選：D.
【變式1-2】（2023上·上海靜安·高二校考期末）下列命題中真命題是（ ）
A．四邊形一定是平面圖形
B．相交于一點的三條直線只能確定一個平面
C．四邊形四邊上的中點可以確定一個平面
D．如果點，，平面，且，，平面，則平面與平面為同一平面
【解題思路】利用平面的基本性質(zhì)逐一判斷即可．
【解答過程】對于A，四邊形有平面四邊形和空間四邊形，由不共面的四個點構(gòu)成的四邊形為空間四邊形，故A錯誤；
對于B，三棱錐三條側(cè)棱所在的直線相交于一點，但這三條直線不共面，故B錯誤；
對于C，由四邊形四邊上的中點連線為平行四邊形，平行四邊形對邊平行，所以四邊形四邊上的中點可以確定一個平面，故C正確；
下面證明四邊形四邊上的中點連線為平行四邊形．
證明：如圖為四邊形，其中，，，分別為，，，的中點，
連接，，，
由，為，，則，且，同理，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形．
對于D，當(dāng)點，，在一條直線上時，平面和與平面也可能相交，故D錯誤．
故選：C．
【變式1-3】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（ ）
A．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
B．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
C．平面與平面相交，它們只有有限個公共點
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
【解題思路】根據(jù)立體幾何三大公理以及推論，可得答案.
【解答過程】對于A，由不在同一直線上的三個點確定唯一平面，故A正確；
對于B，由兩條相交直線確定唯一平面，由題意，第三條直線與相交的兩條直線分別相交于兩個不同的點，根據(jù)直線上兩個不同點在一個平面內(nèi)，該直線也在平面內(nèi)，故B正確；
對于C，由平面與平面相交，則兩平面一定相交于一條直線，在該直線上存在無數(shù)個點，故C錯誤；
對于D，由平面相交公理，可得D正確.
故選：C.
【題型2 空間中的點共線、點（線）共面問題】
【例2】（2023下·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考期末）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（ ）

A．三點共線，且
B．三點共線，且
C．三點不共線，且
D．三點不共線，且
【解題思路】連接，利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.
【解答過程】連接連接，，

直線平面平面.
又平面，平面平面直線
∴三點共線.
.
故選：B.
【變式2-1】（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數(shù)是（ ）

①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】推導(dǎo)出，，從而，由此能證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；，從而直線EG與直線FH必相交，設(shè)交點為P，證明P點在直線上．
【解答過程】如圖所示，

E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴，，
分別在，CD上，且，∴，，
∴，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，說法①正確；
∵，四邊形是梯形，不成立，說法②錯誤；
若直線與直線交于點P，則由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴則P，A，C三點共線，說法③正確；
說法中正確的有2 個.
故選：C.
【變式2-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
① 三點共線；
② 四點共面；
③ 四點共面；
④ 四點共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【解題思路】根據(jù)圖示可得三點，，在平面與平面的交線上，可判斷①；
根據(jù)公理可得，確定一個平面，可判斷②；
根據(jù)異面直線的判定定理可得與為異面直線，故 四點不共面，可判斷③；
根據(jù)異面直線的判定定理可得與異面直線，故 四點不共面，可判斷④.
【解答過程】解：∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共點；
同理可得，點和都是平面和平面的公共點，
∴三點，，在平面與平面的交線上，
即，，三點共線.故①正確.
∵，，∴，，確定一個平面，
又，平面，∴平面，故②正確.
根據(jù)異面直線的判定定理可得與為異面直線，故 四點不共面，故③不正確.
根據(jù)異面直線的判定定理可得與異面直線，故 四點不共面，故④不正確.
故選：A.
【變式2-3】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形中，點，分別是邊，的中點，點，分別是邊，上的點，且，則下列說法正確的是（ ）
①，，，四點共面；
②與異面；
③與的交點可能在直線上，也可能不在直線上；
④與的交點一定在直線上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解題思路】利用平面幾何的性質(zhì)及平行公理可得，且四邊形EFGH是梯形，結(jié)合公理可得答案.
【解答過程】依題意，可得， ，故，所以，，，四點共面；
所以①正確，②錯誤；
因為，所以四邊形EFGH是梯形；
EF與GH必相交，設(shè)交點為M.
因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，
同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點.
又AC是這兩個平面的交線，
所以點M一定在直線AC上. 所以④正確，③錯誤；
故選：B.
【題型3 空間中的線共點問題】
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：直線，，相交于一點．
【解題思路】先通過中點以及線段比例關(guān)系證明，然后說明與交于一點，結(jié)合點在兩個平面內(nèi)這一特點說明三線共點.
【解答過程】在空間四邊形中，連接，
∵分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設(shè)與交于點，如圖，
由于平面，故點在平面內(nèi)，同理點在平面內(nèi)，
又∵平面平面，∴點在直線上，
故直線相交于一點．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知棱長為1正方體中，點分別是棱的中點．

求證：三條直線交于一點；
【解題思路】根據(jù)分別是棱的中點可得，利用等角定理可得三點共線，同理可得三點共線；即三條直線交于一點O．
【解答過程】延長交的延長線于點O，如下圖所示：

易得．
在與中，
，所以
所以，由等角定理可知三點共線；
同理可得三點共線；
∴三條直線交于一點O．
【變式3-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點是正方體的上底面的中心，過，，A三點作一個截面．求證：此截面與對角線的交點P一定在上．

【解題思路】由已知條件利用基本事實三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事實三，即可證得對角線與平面的交點一定在上.
【解答過程】證明：如圖所示，連接，
因為是正方體的上底面的中心，
所以，且，
因為平面，平面，
所以平面，平面，
又因為平面，平面，
所以平面平面，
因為對角線平面，所以平面，平面，
所以由基本事實三可得，對角線與平面的交點一定在上.
【變式3-3】（2023下·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
【解題思路】（1）根據(jù)基本事實的推論證明即可；
（2）根據(jù)基本事實3證明即可.
【解答過程】（1）
連接，，
在三角形中，，所以，
∵，分別是邊，的中點，
∴，
∴，，，，四點共面.
（2）∵，為中點，
∴與不平行，
∵平面，
∴與相交，
設(shè)，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直線，，相交于一點.
【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】
【例4】（2023·高一課時練習(xí)）空間三個平面能把空間分成（ ）
A．4部分或6部分 B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分 D．4部分或6部分或7部分或8部分
【解題思路】根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，從而進行判斷.
【解答過程】
若三個平面兩兩平行，則把空間分成4部分，如圖1；
若三個平面兩兩相交，且只有一條交線，則把空間分成6部分，如圖2；
若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線不交于一點，則把空間分成7部分，如圖3；
若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線相交于一點，把空間分成8部分，如圖4.
故選：D.
【變式4-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）兩個平面能把空間分成幾個部分（ ）
A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4
【解題思路】分別判斷兩個平面的平行和相交時，分空間的情況即可的答案.
【解答過程】若兩個平面平行，此時兩個平面把空間分成3個平面，
若兩個平面相交，此時兩個平面把空間分成4個平面，
故兩個平面能把空間分成3個或4個部分.
故選:B.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區(qū)域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)進行歸納推理．前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個平面與前三個平面所分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個平面最多能將空間分成的區(qū)域數(shù)．
【解答過程】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數(shù)為．
故選：C．
【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．部分 B．部分 C．部分 D．部分
【解題思路】把一個三棱柱的俯視圖，延長三邊，可把平面分成7部分，還原為三棱柱，空間被兩個底面分成上下3層，每層都有7部分，即可求解.
【解答過程】想象一個沒有上下底的三棱柱（上下兩邊無限延伸），將三棱柱的側(cè)面延伸出來，
俯視圖如圖所示，
分成個區(qū)域.
拿兩個水平的平面去截（其實就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三個大塊，每個大塊個區(qū)域，共個區(qū)域.
故選：C.
【知識點2 空間點、線、面之間的位置關(guān)系】
1．空間中直線與直線的位置關(guān)系
(1)三種位置關(guān)系
我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
2．空間中直線與平面的位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點
直線與平面相交 有且只有一個公共點
直線與平面平行 沒有公共點
3．空間中平面與平面的位置關(guān)系
(1)兩種位置關(guān)系
兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
兩個平面平行 沒有公共點
兩個平面相交 有一條公共直線
(2)兩種位置關(guān)系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.
【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】
【例5】（2023上·上海·高二期末）如果直線a和b沒有公共點，那么a與b（　　）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線
【解題思路】根據(jù)直線a和b沒有公共點，結(jié)合空間直線的位置關(guān)系進行判斷．
【解答過程】∵直線a和b沒有公共點，
∴直線a與b不是相交直線．
∴直線a與b可能是相交直線或異面直線．
故選：C．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
【解題思路】由于角與角的兩邊分別平行，所以角與角相等或互補，從而可求得的值
【解答過程】∵角與角的兩邊分別平行，
∴與相等或互補，又，∴或150°.
故選：C.
【變式5-2】（2023上·四川達州·高二達州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在正方體 中，為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】連接，易證，只需解三角形，求出的余弦值即可得解.
【解答過程】
如圖，連接，，
因為，，
所以四邊形是平行四邊形，
，因此是異面直線與所成的角或其補角，
設(shè)正方體的棱長為2，則，，
在直角三角形中，，
，即三角形是直角三角形，
，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
【變式5-3】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【解題思路】先將異面直線a，b平移到點P，結(jié)合圖形知，當(dāng)使直線l在平面BPE的射影為的角平分線時，存在2條直線滿足條件，當(dāng)直線l在平面EPD的射影為的角平分線時，存在2條滿足條件，則可判斷4條直線滿足.
【解答過程】如圖：

通過平移過點P作a∥BD，b∥CE，由題意，,,
而的角平分線與a和b的所成角為，
的角平分線與a和b的所成角為，
因為，所以直線l和a，b所成角均為的直線有4條，
其中直線l在平面BPE的射影為的角平分線時存在2條直線滿足條件，
當(dāng)直線l在平面EPD的射影為的角平分線時存在2條滿足條件，故共4條.
故選：C.
【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】
【例6】（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知直線，直線和平面，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【解題思路】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系逐項分析可得答案.
【解答過程】對于A，若，，則或與異面，故A錯誤；
對于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯誤；
對于C，若，過作平面，使得，則，
因為，，則，又，則，故C正確；

對于D，若，，則或或與相交，故D錯誤.
故選：C.
【變式6-1】（2023上·上海青浦·高二校考期末）若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關(guān)系是（ ）．
A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交或平行
C．直線與平面相交 D．直線平行平面
【解題思路】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進行判斷.
【解答過程】結(jié)合題意：要使一條直線的兩點到一個平面的距離為1，則由線面位置關(guān)系可得：
當(dāng)時，可滿足題意；
當(dāng)與相交時，在面的異側(cè)各有一個點可滿足題意；
當(dāng)時，無法滿足題意.
故直線與平面相交或平行.
故選：B.
【變式6-2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)m，n，l分別是三條不同的直線，是平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【解題思路】利用直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系即可判斷．
【解答過程】A選項，時，直線m可能不垂直于平面，A錯誤；
B選項，當(dāng)m，n異面時，也存在平面，使得，，，B錯誤；
C選項，由線面垂直的性質(zhì)可知，當(dāng)，時，必有，C正確；
D選項，當(dāng)時，顯然也可以有m，n異面，，，D錯誤．
故選：C．
【變式6-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設(shè)過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
【解題思路】根據(jù)題意可得 交平面于點， 交平面于點， 交平面于點，
故不存在某條棱與平面平行，即可以判斷選項A錯誤；
由六個面的12條面對角線與平面都相交，即可判斷選項B錯誤；
體對角線全部與面相交，即可判斷選項C錯誤；
補全圖形可得平面截正方體所得的截面為五邊形，即可以判斷選項D正確.
【解答過程】對于選項A，交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
故A錯誤；
觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面都相交，
故B錯誤；
四條體對角線全部與面都相交，
故C錯誤.
如下圖，取中點為，易得，
取中點為，連接，易得，
再取中點為，連接，則，
，
是平面與正方體底面的交線，
延長，與的延長線交于，連接，交于，
則可得五邊形即為平面交正方體的截面，
故D正確；
故選：D.
【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】
【例7】（2023上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知，，是空間中三個不同的平面，，是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【解題思路】借助空間中的位置關(guān)系逐個判定即可得.
【解答過程】對于A，若，，，則，故A正確；
對于B，若，，，則，故B正確；
對于C，若，，則，故C正確；
對于D，若，，，則，平行或相交，故D錯誤.
故選：D.
【變式7-1】（2023·四川宜賓·宜賓市校考模擬預(yù)測）若三個不同的平面滿足則之間的位置關(guān)系是（ ）
A． B．
C．或 D．或與相交
【解題思路】利用正方體中的面面關(guān)系即可求解.
【解答過程】由可得或與相交，
比如在正方體中，
平面平面，平面平面，則平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面與平面相交，
故選：D.
【變式7-2】（2023下·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知空間中三個互不相同的平面、、，兩條不同的直線、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
【解題思路】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判定即可.
【解答過程】選項AD：若，，則和可能平行也可能相交（此時交線與平面垂直），故AD錯誤；
選項B：若，，則，又且、是空間中兩不相同的平面，則，故B正確；
選項C：若，，，則與可能相交也可能平行，故C錯誤；
故選：B.
【變式7-3】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．則下列結(jié)論中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命題的個數(shù)是（　　 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】由題可知該幾何體的頂點均在邊長為1的正方體的頂點上,再根據(jù)線面平行與垂直以及面面垂直平行的判定逐個判斷即可.
【解答過程】由題畫出該幾何體外接的正方體.
對①,因為,,故MC⊥AN成立.故①正確.
對②,因為平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正確.
對③,連接易得為正四面體.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③錯誤.
對④,正方體中平面DCM與平面ABN分別為前后兩面,故④正確.
故選：B.8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】 3
【題型2 空間中的點共線、點（線）共面問題】 4
【題型3 空間中的線共點問題】 6
【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】 7
【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】 9
【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】 10
【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】 10
【知識點1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當(dāng)平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂
點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示
點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的
集合.點與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.
3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)三個基本事實及其表示
基本事實 自然語言 圖形語言 符號語言
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面. A,B, C三點不共線存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi). A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
(2)基本事實1和2的三個推論
推論 自然語言 圖形語言 符號語言
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面. 點A aa與A共面于平面α,且平面唯一.
推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面. a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.
推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面. 直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.
4．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】
【例1】（2023下·高一課時練習(xí)）下面說法中正確的是（ ）
A．任何一個平面圖形都是一個平面
B．平靜的太平洋面是平面
C．平面就是平行四邊形
D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面
【變式1-1】（2023下·黑龍江·高一校考期中）在空間中，下列命題不正確的是（ ）
A．若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點．且在一條直線上
B．若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線
C．梯形可確定一個平面
D．任意三點能確定一個平面
【變式1-2】（2023上·上海靜安·高二校考期末）下列命題中真命題是（ ）
A．四邊形一定是平面圖形
B．相交于一點的三條直線只能確定一個平面
C．四邊形四邊上的中點可以確定一個平面
D．如果點，，平面，且，，平面，則平面與平面為同一平面
【變式1-3】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（ ）
A．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
B．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
C．平面與平面相交，它們只有有限個公共點
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
【題型2 空間中的點共線、點（線）共面問題】
【例2】（2023下·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考期末）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（ ）

A．三點共線，且
B．三點共線，且
C．三點不共線，且
D．三點不共線，且
【變式2-1】（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數(shù)是（ ）

①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
① 三點共線；
② 四點共面；
③ 四點共面；
④ 四點共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【變式2-3】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形中，點，分別是邊，的中點，點，分別是邊，上的點，且，則下列說法正確的是（ ）
①，，，四點共面；
②與異面；
③與的交點可能在直線上，也可能不在直線上；
④與的交點一定在直線上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【題型3 空間中的線共點問題】
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：直線，，相交于一點．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知棱長為1正方體中，點分別是棱的中點．

求證：三條直線交于一點；
【變式3-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點是正方體的上底面的中心，過，，A三點作一個截面．求證：此截面與對角線的交點P一定在上．

【變式3-3】（2023下·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】
【例4】（2023·高一課時練習(xí)）空間三個平面能把空間分成（ ）
A．4部分或6部分 B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分 D．4部分或6部分或7部分或8部分
【變式4-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）兩個平面能把空間分成幾個部分（ ）
A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區(qū)域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．部分 B．部分 C．部分 D．部分
【知識點2 空間點、線、面之間的位置關(guān)系】
1．空間中直線與直線的位置關(guān)系
(1)三種位置關(guān)系
我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
2．空間中直線與平面的位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點
直線與平面相交 有且只有一個公共點
直線與平面平行 沒有公共點
3．空間中平面與平面的位置關(guān)系
(1)兩種位置關(guān)系
兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
兩個平面平行 沒有公共點
兩個平面相交 有一條公共直線
(2)兩種位置關(guān)系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.
【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】
【例5】（2023上·上海·高二期末）如果直線a和b沒有公共點，那么a與b（　　）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
【變式5-2】（2023上·四川達州·高二達州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在正方體 中，為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】
【例6】（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知直線，直線和平面，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【變式6-1】（2023上·上海青浦·高二校考期末）若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關(guān)系是（ ）．
A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交或平行
C．直線與平面相交 D．直線平行平面
【變式6-2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)m，n，l分別是三條不同的直線，是平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【變式6-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設(shè)過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】
【例7】（2023上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知，，是空間中三個不同的平面，，是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【變式7-1】（2023·四川宜賓·宜賓市校考模擬預(yù)測）若三個不同的平面滿足則之間的位置關(guān)系是（ ）
A． B．
C．或 D．或與相交
【變式7-2】（2023下·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知空間中三個互不相同的平面、、，兩條不同的直線、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
【變式7-3】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．則下列結(jié)論中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命題的個數(shù)是（　　 ）
A．0 B．1 C．2 D．3

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