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導數——分離常數﹑求取值范圍
分離常數
例：已知函數.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對所有都有，求實數的取值范圍.解：的定義域為， 的導數. 令，解得；令，解得.從而在單調遞減，在單調遞增.所以，當時，取得最小值. （Ⅱ）解法一：令，則，① 若，當時，，故在上為增函數，所以，時，，即.② 若，方程的根為 ，此時，若，則，故在該區間為減函數.所以時，，即，與題設相矛盾. 綜上，滿足條件的的取值范圍是. 解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立 .
令， 則. 當時，因為，
故是上的增函數， 所以 的最小值是，所以的取值范圍是.
變式：
1．已知
(Ⅰ)求函數的單調區間; (Ⅱ)求函數在上的最小值;
(Ⅲ)對一切的,恒成立,求實數的取值范圍.
2．已知函數,,設．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若以函數圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值；
求取值范圍
例：設函數．（Ⅰ）證明：的導數；
（Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）的導數．由于，故．（當且僅當時，等號成立）．
（Ⅱ）令，則，
（ⅰ）若，當時，，故在上為增函數，
所以，時，，即．
（ⅱ）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區間為減函數．所以，時，，即，與題設相矛盾．
綜上，滿足條件的的取值范圍是．
變式：1.已知函數．（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；（Ⅱ）設，當時，若對任意，當時，恒成立，求實數的取值范圍．
2.已知函數在處的切線斜率為零．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求證：在定義域內恒成立；(Ⅲ) 若函數有最小值，且，求實數的取值范圍.

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