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導數—分離常數、求取值范圍

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導數—分離常數、求取值范圍

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導數——分離常數﹑求取值范圍
分離常數
例:已知函數.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若對所有都有,求實數的取值范圍.解:的定義域為, 的導數. 令,解得;令,解得.從而在單調遞減,在單調遞增.所以,當時,取得最小值. (Ⅱ)解法一:令,則,① 若,當時,,故在上為增函數,所以,時,,即.② 若,方程的根為 ,此時,若,則,故在該區間為減函數.所以時,,即,與題設相矛盾. 綜上,滿足條件的的取值范圍是. 解法二:依題意,得在上恒成立,即不等式對于恒成立 .
令, 則. 當時,因為,
故是上的增函數, 所以 的最小值是,所以的取值范圍是.
變式:
1.已知
(Ⅰ)求函數的單調區間; (Ⅱ)求函數在上的最小值;
(Ⅲ)對一切的,恒成立,求實數的取值范圍.
2.已知函數,,設.(Ⅰ)求函數的單調區間;(Ⅱ)若以函數圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立,求實數的最小值;
求取值范圍
例:設函數.(Ⅰ)證明:的導數;
(Ⅱ)若對所有都有,求的取值范圍.
解:(Ⅰ)的導數.由于,故.(當且僅當時,等號成立).
(Ⅱ)令,則,
(ⅰ)若,當時,,故在上為增函數,
所以,時,,即.
(ⅱ)若,方程的正根為,此時,若,則,故在該區間為減函數.所以,時,,即,與題設相矛盾.
綜上,滿足條件的的取值范圍是.
變式:1.已知函數.(Ⅰ)當時,討論函數的單調性;(Ⅱ)設,當時,若對任意,當時,恒成立,求實數的取值范圍.
2.已知函數在處的切線斜率為零.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)求證:在定義域內恒成立;(Ⅲ) 若函數有最小值,且,求實數的取值范圍.

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