資源簡介

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專題08 函數的應用（一）（考點清單）
目錄
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14686" 一、思維導圖 2
HYPERLINK \l "_Toc30609" 二、知識回歸 2
HYPERLINK \l "_Toc4533" 三、典型例題講與練 4
HYPERLINK \l "_Toc7613" 考點清單01：函數的零點 4
HYPERLINK \l "_Toc8247" 【期末熱考題型1】求函數的零點 4
HYPERLINK \l "_Toc17220" 【期末熱考題型2】函數零點個數 5
HYPERLINK \l "_Toc16413" 【期末熱考題型3】判斷函數零點所在區間 5
HYPERLINK \l "_Toc10051" 【期末熱考題型4】已知零點個數求參數的取值范圍 6
HYPERLINK \l "_Toc27057" 考點清單02：二分法 7
HYPERLINK \l "_Toc18419" 【期末熱考題型1】確定零點（根）所在區間 7
HYPERLINK \l "_Toc21755" 【期末熱考題型2】用二分法求函數的零點的近似值 7
HYPERLINK \l "_Toc11561" 考點清單03：函數模型的應用 9
HYPERLINK \l "_Toc702" 【期末熱考題型1】指數函數模型 9
HYPERLINK \l "_Toc5079" 【期末熱考題型2】對數函數數模型 9
HYPERLINK \l "_Toc26227" 【期末熱考題型3】擬合函數模型的應用題 11
一、思維導圖
二、知識回歸
知識點01：函數零點的概念
1、函數零點的概念
對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
幾何定義:函數的零點就是方程的實數解,也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.
這樣：方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點
2、已學基本初等函數的零點
①一次函數只有一個零點；
②反比例函數沒有零點；
③指數函數（且）沒有零點；
④對數函數（且）只有一個零點1；
⑤冪函數當時，有一個零點0；當時，無零點。
知識點02：函數零點存在定理及其應用
1、函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
說明：定理要求具備兩個條件:①函數在區間上的圖象是連續不斷的;②.兩個條件缺一不可.
2、函數零點的求法
①代數法：根據零點定義，求出方程的實數解;
②數形結合法：作出函數圖象，利用函數性質求解
3、函數零點個數的判斷
①利用代數法，求出所有零點；
②數形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數；
③數形結合，通過分離，將原函數拆分成兩個函數，找到兩個函數圖象交點的個數；
④函數零點唯一：函數存在零點+函數單調.
知識點03：二次函數的零點問題
一元二次方程的實數根也稱為函數的零點.
當時，一元二次方程的實數根、二次函數的零點之間的關系如下表所示：
的實數根 （其中） 方程無實數根
的圖象
的零點 函數無零點
知識點04：區間中點
對于區間，其中點
知識點05：二分法
1、二分法的概念
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷的把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零點的近似值
給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點的初始區間，驗證；
（2）求區間的中點
（3）計算;
①若（此時)，則就是函數的零點；
②若（此時)，則令；
③若（此時)，則令；
（4）判斷是否達到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復2--4
知識點06：常見函數模型
1、一次函數模型（，為常數）
2、反比例函數模型（）
3、二次函數模型（）
4、指數函數模型（且，）
5、對數函數模型（且，）
6、冪函數模型（，）
7、分段函數模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合
8、對勾函數模型：
三、典型例題講與練
01：函數的零點
【期末熱考題型1】求函數的零點
【解題方法】定義
【典例1】（2023上·北京東城·高三北京市廣渠門中學校考開學考試）已知函數則函數的零點為
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數， ，函數的零點為 .
【專訓1-1】（2023上·陜西西安·高一交大附中校考階段練習）已知二次函數圖象如圖所示，那么二次函數的零點是 ．
【期末熱考題型2】函數零點個數
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023·四川雅安·統考一模）已知函數，則函數的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習）方程的實數根個數是 ．
【專訓1-1】（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函數的零點個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【專訓1-2】（2023上·山東濟寧·高三統考期中）已知函數，則函數的零點個數是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【期末熱考題型3】判斷函數零點所在區間
【解題方法】零點存在性定理
【典例1】（2023上·北京·高一北京四中校考期中）函數一定存在零點的區間是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·陜西咸陽·高三校考階段練習）函數的零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
【專訓1-1】（2023上·福建泉州·高三校考期中）若是方程的實數解，則屬于區間（ ）
A． B．
C． D．
【期末熱考題型4】已知零點個數求參數的取值范圍
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學校考階段練習）函數只有一個零點，則的取值集合為
【典例2】（2023上·寧夏吳忠·高三吳忠中學校考開學考試）已知是定義在R上的奇函數，滿足，當時，，則在區間上所有零點個數為 .
【典例3】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）已知的定義域為，且是奇函數，當時，，函數，則方程的所有的根之和為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【專訓1-1】（2023上·北京海淀·高一首都師范大學附屬中學校考期中）已知函數.
（1）當時，函數的值域為 ；
（2）若存在實數m，使得關于x的方程恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍是 .
【專訓1-2】（2023·北京海淀·統考一模）設函數
①當時， ；
②若恰有2個零點，則a的取值范圍是 ．
【專訓1-3】（2023上·山西·高二校聯考開學考試）已知函數，若互不相等的實數，，，，，滿足，則的取值范圍是 .
02：二分法
【期末熱考題型1】確定零點（根）所在區間
【解題方法】零點存在性定理
【典例1】（2023上·山東日照·高一統考期中）已知函數的圖象在區間上連續不斷，則“”是“在上存在零點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2022下·湖南·高一南縣第一中學校聯考階段練習）函數的零點所在的區間為（ ）
A． B．
C． D．
【專訓1-1】（多選）（2023上·重慶·高一統考期末）已知函數的零點所在的區間可能是（ ）
A． B． C． D．
【期末熱考題型2】用二分法求函數的零點的近似值
【解題方法】二分法
【典例1】（2023上·高一課時練習）已知函數在區間內有一個零點，且的部分函數值數據如下：，，，，，，，要使零點的近似值精確度為，則對區間的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6次， B．6次，
C．7次， D．7次，
【典例2】（2023上·高一課時練習）下列是函數在區間上一些點的函數值. 由此可判斷：方程的一個近似解為 (精確度0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
0.625 1.982 2.645 4.35 6
【專訓1-1】（多選）（2023上·高一單元測試）設函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數在區間，內均有零點
B．函數在區間，內均無零點
C．函數在區間內有零點，在區間內無零點
D．函數在區間內無零點，在區間內有零點
【專訓1-2】（多選）（2023上·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學校考階段練習）（多選）已知函數，其中，為某確定常數，運用二分法研究函數的零點時，若第一次經計算且，則（ ）
A．可以確定的一個零點，滿足
B．第二次應計算，若，第三次應計算
C．第二次應計算，若，第三次應計算
D．第二次應計算，若，第三次應計算
03：函數模型的應用
【期末熱考題型1】指數函數模型
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數據：
月份 2 3 4 5 6 …
元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
請從模型，模型中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過300元的月份為（ ）（參考數據：，）
A．8 B．9 C．10 D．11
【典例2】（多選）（2023·上海·高一專題練習）（多選）從今年起年內，小李的年薪（萬元）與年數的關系是，小馬的年薪（萬元）與年數的關系是，則下列判斷正確的有（ ）
A．年后小馬的年薪超過小李 B．年后小馬的年薪超過小李
C．小馬的年薪比小李的增長快 D．小馬的年薪比小李的增長慢
【專訓1-1】（2023上·云南紅河·高一統考期末）牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間與儲藏溫度的關系為（為常數）.若牛奶在的冰箱中，保鮮時間約是，在的冰箱中，保鮮時間約是，那么在的冰箱中保鮮時間約是（ ）
A． B． C． D．
【期末熱考題型2】對數函數數模型
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·北京通州·高三潞河中學校考階段練習）被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中C為最大數據傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（ ）
A． B． C． D．3
【典例2】（2023上·高一課時練習）某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生源利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的.現有三個獎勵模型：，，，其中哪個模型符合該校的要求？
【專訓1-1】（多選）（2023·河南·校聯考模擬預測）若物體原來的溫度為（單位:），環境溫度為（單位:），物體的溫度冷卻到，單位:）與需用時間（單位:分鐘）滿足為正常數.現有一杯開水放在室溫為的房間里，根據函數關系研究這杯開水冷卻的情況（，則（ ）
A．當時，經過10分鐘，這杯水的溫度大約為
B．當時，這杯開水冷卻到大約需要14分鐘
C．若，則
D．這杯水從冷卻到所需時間比從冷卻到所需時間短
【專訓1-2】（2023上·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即.取貝爾的倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強度（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度（單位：米）之間滿足關系式，若甲游客大喝一聲的聲強大約相當于個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為 .
【期末熱考題型3】擬合函數模型的應用題
【解題方法】圖象法
【典例1】（2022上·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學校考階段練習）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫學家華佗的故鄉，由于一代名醫的影響，帶動了毫州醫藥的發展，到明 清時期毫州就是全國四大藥都之一，現已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規模最大 設施最好 檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校數學學習小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調查發現：該中藥材在2021年的價格浮動最大的一個月內（以30天計）日平均銷售單價（單位：元/千克）與第天（）的函數關系滿足（為正常數）.該中藥材的日銷售量（單位：千克）與的部分數據如下表所示：
4 10 20 30
149 155 165 155
已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價日銷售量）
(1)求的值；
(2)給出以下四種函數模型：①，②，③，④，請你根據表中的數據，幫助這組同學從中選擇最合適的一種函數模型來描述該中藥材的日銷售量與的關系，并求出該函數的解析式和日銷售收入（單位：元）的最小值.
【典例2】（2022上·福建廈門·高一廈門雙十中學校考期末）北京冬奧會已于月日開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫，與冬奧會相關的周邊產品也銷量上漲.因可愛而聞名的冰墩墩更是成為世界頂流，在國內外深受大家追捧.對某商戶所售的冰墩墩在過去的一個月內（以天計）的銷售情況進行調查發現：冰墩墩的日銷售單價（元/套）與時間（被調查的一個月內的第天）的函數關系近似滿足（常數），冰墩墩的日銷量（套）與時間的部分數據如表所示：
（套）
已知第天該商品日銷售收入為元，現有以下三種函數模型供選擇：
①，②，③
(1)選出你認為最合適的一種函數模型，來描述銷售量與時間的關系，并說明理由；
(2)根據你選擇的模型，預估該商品的日銷售收入（，）在哪天達到最低．
【專訓1-1】（2022下·湖北·高一宜昌市夷陵中學校聯考期中）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數增長越來越快，經統計發現2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個函數模型與可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數解析式；
(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．（參考數據：，，，）
【專訓1-2】（2022上·福建漳州·高一統考期末）2021年10月26日下午，習近平總書記參觀國家“十三五”科技成就展強調，堅定創新自信緊抓創新機遇，加快實現高水平科技自立自強.面向人民生命健康，重點展示一體化全身正電子發射磁共振成像裝備，在紅色“健康中國”四個大字襯托下，更顯科技創新為人民健康“保駕護航”的意義.為促進科技創新，某醫學影像設備設計公司決定將在2022年對研發新產品團隊進行獎勵，獎勵方案如下：獎金（單位：萬元）隨收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過90萬元，同時獎金不超過收益的，預計收益.
(1)分別判斷以下三個函數模型：，能否符合公司獎勵方案的要求，并說明理由；（參考數據：）
(2)已知函數模型符合公司獎勵方案的要求，求實數的取值范圍.
參考答案：
【期末熱考題型1】求函數的零點
【典例1】
【答案】
【詳解】當時，由，即，解得或（舍），
當時，由，解得，
綜上可得，函數的零點為．
故答案為：．
【典例1】
【答案】
【詳解】因為，
所以，則；
令，則，即，
當時，，解得；
當時，，解得（舍去）；
綜上：函數的零點為.
故答案為：；.
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】根據圖象可得函數的零點是，
故答案為：.
【期末熱考題型2】函數零點個數
【典例1】
【答案】C
【詳解】
設，
設，則.
又，所以1是函數的一個零點；
因為，，
所以，.
又，，
所以，.
根據零點的存在定理，可知，，使得，
即是函數的一個零點；
因為，，
所以，.
又，，
所以，.
根據零點的存在定理，可知，，使得，
即是函數的一個零點.
結合函數圖象以及的增長速度可知，當或時，函數沒有零點.
綜上所述，函數的零點為1，，，共3個零點.
故選：C.
【典例2】
【答案】無數
【詳解】函數的定義域為，
在每個區間是都單調遞增，并且函數值集合為R，
在同一坐標系內作出函數與的圖象，如圖，

觀察圖象得，函數與的圖象有無數個交點，
方程的實數根個數是無數個.
故答案為：無數
【專訓1-1】
【答案】B
【詳解】令，即，解得，
所以函數有且僅有一個零點.
故選：B
【專訓1-2】
【答案】D
【詳解】由已知，
令，即，
當時，得或，
當時，明顯函數在上單調遞減，且，，
故存在，使，
畫出的圖象如下，
再畫出直線，其中，
觀察圖象可得交點個數為個，
即函數的零點個數是.
故選：D.
【期末熱考題型3】判斷函數零點所在區間
【典例1】
【答案】C
【詳解】對于A項：，，得：，故區間上不一定存在零點，故A項錯誤；
對于B項：，，得：，故區間上不一定存在零點，故B項錯誤；
對于C項：，，得，故區間上一定存在零點，故C項正確；
對于D項：，，得，故區間上不一定存在零點，故D項錯誤；
故選：C.
【典例2】
【答案】C
【詳解】函數，可判斷函數為單調遞增函數，
所以
因為，所以，，
所以
可得，即函數的零點所在的區間是.
故選：C
【專訓1-1】
【答案】C
【詳解】令，則在定義域上單調遞增，
又，，
，，
所以，
所以在上存在唯一零點，即存在使得.
故選：C
【期末熱考題型4】已知零點個數求參數的取值范圍
【典例1】
【答案】
【詳解】（1）若，即時，
①當時，此時，此時沒有零點，
②當時，此時，令，解得，符合題意，
（2）當時，令，
則，解得或1（舍去），
綜上或，則的取值集合為.
故答案為：.
【典例2】
【答案】
【詳解】由題意，
∵是定義在上的奇函數,
∴,
∵,
是其中一條對稱軸，
∴,
∴的周期是2 ,
在中，
當時，，
∴求函數零點, 即為求與的交點的橫坐標,
作出與圖象如圖所示，

由圖知:
∴交點關于對稱,每個周期有個交點
∴有1011個周期, 有1011個周期，
∴在區間上所有零點個數為：，
故答案為：.
【典例3】
【答案】C
【詳解】解：因為的定義域為，且是奇函數，
所以，則的圖象關于對稱，且，
當時，，
又因為函數，
所以的圖象關于對稱，
所以方程的所有的根之和即為兩個函數圖象交點的橫坐標和，
和的圖象，如圖所示：

由圖象知：和的圖象有5個交點，其中一個交點的橫坐標為1，另外四個，兩兩分別關于對稱，
所以5個交點的橫坐標之和為，
故選：C
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】（1）當時，，
當時，，其對稱軸為，
故在區間上單調遞減， ，
當時，區間上單調遞減，，
綜上函數的值域為；
（2）恰有三個不同的實數根，
則當時，與有兩個交點，
當時，與有一個交點，
如圖：

故，當時，，故得，
故，
故答案為：；
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】當時，，
所以，
所以，
令，可得
當時，，
所以或，
當或時，方程在上有唯一解，
當或時，方程在上的解為或，
當時，，
所以當時，，
當時，方程在上無解，
綜上，當時，函數有兩個零點，
當時，函數有兩個零點，
當時，函數有三個零點，
當時，函數有兩個零點，
因為恰有2個零點，所以或，
所以a的取值范圍是.
故答案為：；.
【專訓1-3】
【答案】
【詳解】根據解析式可得草圖如下：

要使互不相等的實數滿足，
由圖知：，，，且，
令，則或；令，則或；令，則；
令，則；令，則；令，則或；
所以，
所以，在上遞增，
所以.
故答案為：
【期末熱考題型1】確定零點（根）所在區間
【典例1】
【答案】A
【詳解】當在上存在零點時，不一定能得到，例如，
此時的零點為，但，所以必要性不滿足；
當時，
若三個值中存在，則在上顯然存在零點，
若三個值均不為，不妨假設，
因為，所以，取等號時不滿足條件，
所以，則，根據零點的存在性定理可知在上存在零點，
所以充分性滿足；
所以“”是“在上存在零點”的充分不必要條件，
故選：A.
【典例2】
【答案】C
【詳解】在上單調遞增，在上單調遞增，
函數在上單調遞增，
∵，
，
，
函數的零點所在的區間為.
故選：C
【專訓1-1】
【答案】AD
【詳解】，，故函數有兩個零點，
，，故上有零點；
，，故上有零點；
故零點所在的區間為，.
故選：AD
【期末熱考題型2】用二分法求函數的零點的近似值
【典例1】
【答案】D
【詳解】由題中數據知，零點區間變化如下：
，
此時區間長度小于，在區間內取近似值，最少等分了7次，近似解取.
故選：D.
【典例2】
【答案】1.438(答案不唯一)
【詳解】由題設有，于是，
所以，函數在區間內有零點，此時，
取區間的中點，又，
因為，所以，此時，
再取的中點，又，
因為，所以，此時，
再取的中點，又，
因為，所以，此時，
再取的中點，又，
因為，所以，此時，
再取的中點，又，
因為，所以，
所以，當精確度為0.1時，方程的一個近似解為1.438．
故答案為：1.438．(答案不唯一)
【專訓1-1】
【答案】ABC
【詳解】令，，

作出兩函數的大致圖象，顯然兩圖象在內無交點，
，，所以在內有交點；
∴函數在內無零點，在有零點．即只有D正確．
故選：ABC.
【專訓1-2】
【答案】AB
【詳解】對于A選項：由題意第一次經計算且，因此由零點存在定理可知存在滿足，
故A選項符合題意.
對于B選項：第二次應計算，若，又，所以有，滿足零點存在定理，
所以第三次應計算，故B選項符合題意.
對于C選項：第二次應計算，若，又，所以有，滿足零點存在定理，
所以第三次應計算，故C選項不符題意.
對于D選項：第二次應計算，而不是計算，故D選項不符題意.
故選：AB.
【期末熱考題型1】指數函數模型
【典例1】
【答案】C
【詳解】根據表格提供的數據，畫出散點圖，并畫出函數及的圖象．
如圖：

觀察發現，這些點基本上是落在函數圖象上或附近，因此用這一函數模型．
當時，，則有.
由且，最小值為10.
故選：C.
【典例2】
【答案】BC
【詳解】易知指數函數的增長速度更快，故C正確，D錯誤；
畫出函數和的圖象，
從圖象中觀察，可知在這年內先是小馬的年薪低，后來超過了小李，
令，
則，，
所以存在，當時，，
由于，
所以至少經過年，小馬的年薪超過小李的年薪，即A錯誤，B正確；
故選：BC．
【專訓1-1】
【答案】B
【詳解】由題得，解得，
因此在的冰箱中的保鮮時間大約是.
故選：B．
【期末熱考題型2】對數函數數模型
【典例1】
【答案】D
【詳解】根據題意，將，代入可得；
將，代入可得；
所以可知.
故選：D
【典例2】
【答案】符合學校的要求．
【詳解】借助工具作出函數，，，的圖象（如圖所示）．

觀察圖象可知，在區間上，，的圖象都有一部分在直線的上方，
只有的圖象始終不超過和，
這說明只有按模型進行獎勵才符合學校的要求．
【專訓1-1】
【答案】BCD
【詳解】為正常數.
對于A，，
由，得，
所以，解得，故錯誤；
對于B，，
，故B正確；
對于C，由，得，即，
則，故正確；
對于D，設這杯水從冷卻到所需時間為分鐘，
則，
設這杯水從冷卻到所需時間為分鐘，
則，
因為，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】設甲游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，
乙游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，
則，，
兩式相減得，
甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為米．
故答案為：.
【期末熱考題型3】擬合函數模型的應用題
【典例1】
【答案】(1)
(2)③，，最小值為3125元
【詳解】（1）由時，，得；
（2）因為數據有增有減，①④不合符題意，
將二三組數據代入②類函數解析式可得：
，解得：，
即得②類函數解析式為.
將二三組數據代入③類函數解析式可得：
，解得：，
即得③類函數解析式為，
將第一組數據代入，
可知：，
將第一組數據代入，
可知：，
因此最合適.
當時
，
當且僅當時，等號成立
當時
函數在上單調遞減，
所以，當且僅當時，等號成立
綜上可知，當或日銷售收入最小值為3125元.
【典例2】
【答案】(1)模型③最合適，理由見解析；
(2)第天達到最低.
【詳解】（1）模型③最合適，理由如下：
對于模型①，為指數型函數模型，表格中對應的數據遞增的速度較慢，故模型①不合適；
對于模型②，為二次函數模型，其圖象關于直線對稱，有，與表中數據不符，故模型②不合適；
對于模型③，冪函數型增長模型滿足表格中對應數據較慢的遞增速度，將表中數據，代入模型③，有
，解得，
∴，
經驗證，均滿足表中數據，
因此，使用模型③來描述銷售量與時間的關系最合適.
（2）∵第天冰墩墩的日銷售單價（元/套），
∴第天的日銷售收入為（元），
∴，
∴，
由（1）所選模型③，當且時，
（元）
當且僅當，即時，等號成立，
∴在第天時，該商品的日銷售收入達到最低元.
【專訓1-1】
【答案】(1)；；
(2)2022.
【詳解】（1）因為函數中，隨的增長而增長的速度越來越快，
而函數，隨的增長而增長的速度越來越慢，
故由題意應選；
則有，解得，
∴；
（2）設經過年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍，
則，即，
∴，
∴，
故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．
【專訓1-2】
【答案】(1)函數模型能符合公司獎勵方案的要求，理由見解析
(2)
【詳解】（1）函數模型，滿足獎金隨收益增加而增加，
因為，
所以當時，，即獎金超過90萬，不滿足要求；
函數模型，當時，，此時獎金超過收益的，不滿足要求；
函數模型，滿足獎金隨收益增加而增加，
當時，，滿足獎金不超過90萬元，
又時，，滿足獎金不超過收益的，函數模型能符合公司的要求.
（2）函數模型，
因為獎金隨收益增加而增加，所以，
當時，，解得，
當時，，解得，
當時，恒成立，
即，
又，當且僅當時等號成立，
所以，
綜上所述，實數的取值范圍是.
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