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第14講 比值或作差代換
知識(shí)與方法
本節(jié)我們來重新審視極值點(diǎn)偏移問題,并給出新的解題方法,極值點(diǎn)偏移問題的一般形式是: 已知函數(shù)的極值點(diǎn)為,兩相異實(shí)數(shù) 滿足 , 求證 或 或其他關(guān)于的不等式. 從代數(shù)層面來看, 極值點(diǎn)偏移問題是條件不等式的證明: 在等量條件 的約束下求證關(guān)于的二元不等式. 那么能否將雙變量的條件不等式化為單變量的函數(shù)不等式呢 現(xiàn)在我們來研究極值點(diǎn)偏移另一處理方法: 比值消元 (比值代換).
比值代換一般步驟:
(1) 根據(jù)建立等量關(guān)系;
(2) 等量關(guān)系中如果含有參數(shù),可考慮消參; 如果含有指數(shù)式,可考慮兩邊取對(duì)數(shù).
(3) 令 或者 , 構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)來證明.
典型例題
【例1】已知函數(shù) .
(1) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2) 已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 證明當(dāng) 時(shí), ; (3) 如果 , 且 , 證明 .
【解析】(1) , 令, 解得,當(dāng) 變化時(shí), 的變化情況如下表:
1
0
極大值
所以 在 內(nèi)是增函數(shù),在 內(nèi)是減函數(shù).函數(shù) 在 處取得極大值 且 .
證明:由題意可知 , 得 , 令 , 即 , 于是 , 當(dāng) 時(shí), , 從而 , 又 , 所以 ,從而函數(shù) 在 上是增函數(shù). 又 0, 所以 時(shí), 有 , 即 .
(3) 證明:
【解法1】①若 , 由 (1) 及 , 則 . 與 矛盾.
②若 , 由 (1) 及 , 得 . 與 矛盾.
根據(jù)①②得 , 不妨設(shè) .
由 (2) 可知, , 則 , 所以 , 從而得 ). 因?yàn)?, 所以 ,
又由 (1) 可知函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù), 所以 ,
即 .
【解法2】由 , 得 , 化簡得 ,
不妨設(shè) , 由方法 1 知, .
令 , 則 , 代入化簡式, 得 , 反解出 , 則
, 故要證 , 即證 , 又因?yàn)?, 等價(jià)于證明:
,
構(gòu)造函數(shù) , 則 ,
故 在 上單調(diào)遞增, ,
從而 也在 上單調(diào)遞增, .
【例2】 已知函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) , 求證 : .
【解析】 證明: 函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) , 所以 .
因此 , 即 ,
要證明 , 只要證明 , 即證: .
不妨設(shè) , 記 , 則 , 因此只要證明: ,
即 .記 , 則 .
記 , 則 . 當(dāng) 時(shí), ,
所以 , 即 時(shí) , 所以 , 即 成立, 所以 .
【例3】已知函數(shù)，a為常數(shù).
(1) 若函數(shù) 在 處的切線與 軸平行, 求 的值;
(2) 當(dāng) 時(shí),試比較 與 的大小;
(3) 若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) , 試證明 .
【解析】(1) 由 , 得: 函數(shù) 在 處的切線與 軸平行, , 即 ;
(2) 當(dāng) 時(shí), , 當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞減.
令 ,
則 .
又 ,
①當(dāng) 時(shí), , 即 ;
②當(dāng) 時(shí), , 即 ;
③當(dāng) 時(shí), , 即 .
(3) 證明：
【解法1】 函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) ,
,
, 欲證明 , 即證 ,
即證 原命題等價(jià)于證明 ,
即證: . 令 , 則 , 設(shè) 在 上單調(diào)遞增, 又 ,
, 即 .
【解法2】直接換元構(gòu)造新函數(shù): , 設(shè) ,
則 ,
反解出: ,
故 ,
設(shè) 在 上單調(diào)遞
增, 又 , 即 .
【例4】已知函數(shù) .
（1）若 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直, 求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2) 若方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 , 證明: .
【解析】(1) . 得: 令 , 得: , 即 的單調(diào)減區(qū)間為 和 . (2) 證明: 由 ,
, 只要證 ,
即證 . 不妨設(shè) ,
即證 , 令 , 只需證 2 , 則 在 上單調(diào)遞增, , 即證.
【例5】已知函數(shù) , 曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直.
(1)試比較 與 的大小, 并說明理由;
(2) 若函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) , 證明 : .
【解析】(1) 函數(shù) ,
所以 , 又由切線與直線 垂直,
可得 , 即 , 解得 .
此時(shí) ,
令 , 即 , 解得 ;
令 , 即 , 解得 ,
所以 的增區(qū)間為 , 減區(qū)間為 . 所以 , 即 ,
, 即有 .
(2) 證明: 不妨設(shè) , 因?yàn)?,
所以化簡得 .
可得 ,
要證明, , 即證明 , 也就是 .
因?yàn)?, 即證 ,
即 , 令 , 則 , 即證 .
令 . 由 , 故函數(shù) 在 上是增函數(shù), 所以 , 即 得證. 所以 .
1第14講 比值或作差代換
知識(shí)與方法
本節(jié)我們來重新審視極值點(diǎn)偏移問題,并給出新的解題方法,極值點(diǎn)偏移問題的一般形式是: 已知函數(shù)的極值點(diǎn)為,兩相異實(shí)數(shù) 滿足 , 求證 或 或其他關(guān)于的不等式. 從代數(shù)層面來看, 極值點(diǎn)偏移問題是條件不等式的證明: 在等量條件 的約束下求證關(guān)于的二元不等式. 那么能否將雙變量的條件不等式化為單變量的函數(shù)不等式呢 現(xiàn)在我們來研究極值點(diǎn)偏移另一處理方法: 比值消元 (比值代換).
比值代換一般步驟:
(1) 根據(jù)建立等量關(guān)系;
(2) 等量關(guān)系中如果含有參數(shù),可考慮消參; 如果含有指數(shù)式,可考慮兩邊取對(duì)數(shù).
(3) 令 或者 , 構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)來證明.
典型例題
【例1】已知函數(shù) .
(1) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2) 已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 證明當(dāng) 時(shí), ; (3) 如果 , 且 , 證明 .
【例2】 已知函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) , 求證 : .
【例3】已知函數(shù)，a為常數(shù).
(1) 若函數(shù) 在 處的切線與 軸平行, 求 的值;
(2) 當(dāng) 時(shí),試比較 與 的大小;
(3) 若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) , 試證明 .
【例4】已知函數(shù) .
（1）若 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直, 求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2) 若方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 , 證明: .
【例5】已知函數(shù) , 曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直.
(1)試比較 與 的大小, 并說明理由;
(2) 若函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) , 證明 : .
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