資源簡介

第15講 對數平均不等式
知識與方法
基本不等式鏈: 已知 (當且僅當 取等號), 即: 調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾算方.
對數平均不等式: 對于正數 , 且 , 定義 為 的對數平均值, 且若 , 即 : 調和平均數何平均數 對數平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾對算方.
證明：
證法 1 (比值代換) 令 , 則
, 構造函數可證.
證法 2(主元法) 不妨設 ,
記 , 則 , 得 在 上單調遞減, 有 , 左邊得證, 右邊同理可證.
證法 3 (構造函數法) 先證 :
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 , 設 , 則 , 可得 在 上單 調遞減, .
再證:
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 。設 , 則 , 故 在 上單調遞減, .
常見等價變形:
用對數平均數求證極值點偏移問題的步驟 :
(1) 根據 建立等量關系;
(2)等量關系中如果含有參數, 可考慮消參; 如果含有指數式, 可考慮兩邊取對數;
(3) 通過恒等變形轉化出對數平均數, 代人對數平均不等式求解.
典型例題
【題型 1】證明極值點偏移問題
【例1】已知函數 , 如果 , 且 , 證明: .
【例2】 已知函數 的圖像與直線 交于不同的兩點 , 求證: .
【例3】 設函數 的兩個零點是 , 求證: .
【例4】設函數 , 其圖像與 軸交于 兩點, 且 ,
【題型 2】 的應用
【例5】設函數 , 其中 是 的導函數, 設 , 比較 (2) 與 的大小, 并加以證明.
【例6】已知函數 的最小值為 0 , 證明: .
【題型 3】 的應用
【例7】設數列 的通項 , 其前 項的和為 , 證明: .
【例8】 設數列 的通項 , 證明: .
【題型 5】 的應用
【例9】已知函數 的圖象在點 處的切線方程為 .
證明:
【題型 6】 的應用
【例10】已知 .
求證: 對一切正整數均成立.
強化訓練
1.已知函數有兩個零點,則下列說法錯誤的是
A. B. C. D.有極小值點,且
2.設函數的兩個零點是,求證:
3.已知函數和,若存在兩個實數且,滿足,求證:
4.已知函數
(1)若時,,求的最小值;
(2)設數列的通項,證明:.
1第15講 對數平均不等式
知識與方法
基本不等式鏈: 已知 (當且僅當 取等號), 即: 調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾算方.
對數平均不等式: 對于正數 , 且 , 定義 為 的對數平均值, 且若 , 即 : 調和平均數何平均數 對數平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾對算方.
證明：
證法 1 (比值代換) 令 , 則
, 構造函數可證.
證法 2(主元法) 不妨設 ,
記 , 則 , 得 在 上單調遞減, 有 , 左邊得證, 右邊同理可證.
證法 3 (構造函數法) 先證 :
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 , 設 , 則 , 可得 在 上單 調遞減, .
再證:
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 。設 , 則 , 故 在 上單調遞減, .
常見等價變形:
用對數平均數求證極值點偏移問題的步驟 :
(1) 根據 建立等量關系;
(2)等量關系中如果含有參數, 可考慮消參; 如果含有指數式, 可考慮兩邊取對數;
(3) 通過恒等變形轉化出對數平均數, 代人對數平均不等式求解.
典型例題
【題型 1】證明極值點偏移問題
【例1】已知函數 , 如果 , 且 , 證明: .
【解析】證明: 即 , 則 (正數 的對數平均數為 1), 于是 , 得 , 且 .
【例2】 已知函數 的圖像與直線 交于不同的兩點 , 求證: .
【解析】 證明: 由 得 ; , 由 對數平均不等式得 , 得 .
【例3】 設函數 的兩個零點是 , 求證: .
【解析】 證明: 由題意得 , 兩式相減得 - a) , 則 , 所以
【例4】 設函數 , 其圖像與 軸交于 兩點, 且 ,
解；證明: . 證明: 即 , 則 ①-②得 , 則 (正數 的對數平均數 為 1 ), 于 是, , 得
①+②得 , 所以 , 由此可得
【題型 2】 的應用
【例5】設函數 , 其中 是 的導函數, 設 , 比較 (2) 與 的大小, 并加以證明.
【解析】因為 , 所 以 ,而 , 因此, 比較 與 的大小,即只需比較 與 的大小即可. 根據 時, , 即 , 令 , 則 , 所以 , , 將以上各不等式左右兩邊相加得: ,故 .
【說明】本題是高考試題的壓軸題, 難度較大, 我們這里應用對數平均數不等式鏈來證明, 思路簡 捷, 別具新意,易于學生理解、掌握, 也可以利用之前講的數列不等式.
當 時, , 即 , 令 , 則 , 可得 .
【例6】已知函數 的最小值為 0 , 證明: .
【解析】證明: 易求 , 待證不等式等價于 , 根據 時, , 即 , 令 , 則 , , 將以上各不等式左右兩邊分別相加得：
【題型 3】 的應用
【例7】設數列 的通項 , 其前 項的和為 , 證明: .
【解析】 證明 : 根據 時, , 即 , 令 , 則 , 易證 .
【題型 4】 的應用
【例8】 設數列 的通項 , 證明: .
【解析】 證明: 根據時, , 即 , 令 , 則 , 易證 .
【題型 5】 的應用
【例9】已知函數 的圖象在點 處的切線方程為 .
證明:
【解析】證明: 當 時, , 即 ,
令 則 ,
所以 ,
, 將以上各不等式左右兩邊分別相加得：
,
即 ,
故 .
【題型 6】 的應用
【例10】已知 .
求證: 對一切正整數均成立.
【解析】證明:根據時,.即.
令,則,變形可得:
將以上各不等式左右兩邊相加得:對一切正整數均成立.
強化訓練
1.已知函數有兩個零點,則下列說法錯誤的是
A. B. C. D.有極小值點,且
【解析】函數 導函數: , 有極值點 , 而極值 正確; 有兩個零點: , 即: (2)
(1) -(2)得: , 根據對數平均值不等式: , 而 正確, 錯誤, 而 (1) +得, 即 成立.
【答案】D.
2.設函數的兩個零點是,求證:
【解析】 證明 :
3.已知函數和,若存在兩個實數且,滿足,求證:
【解析】證明 : 由 得 , 則 , 得 ; .
4.已知函數
(1)若時,,求的最小值;
(2)設數列的通項,證明:.
【解析】(1) 易得 , 令 , 則 , 若 , 則當 時, 是增函數, 不符合題意; 若 , 則當 時, 是增函數, 不符合題意; 若 , 則當 時, 是減函數, 符合題意; 綜上, 的最小值是 .
(2) 當 時, , 即 , 令 , 則 , 所以 , , 將以上各不等式左右兩邊分別相加得：
即 ,
故 .
1

展開更多......

收起↑