資源簡介

第12講 洛必達法則巧解 高考壓軸題
知識與方法
數壓軸題第2問中，如果是不等式恒成立來求參數的取值范圍問題，我們可以用洛必達法則來處理．
先給大家介紹一下什么是洛必達法則：
法則1：若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點a的去心鄰域內，與可導且；
（3），那么．
法則2：若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點a的去心鄰域內，與可導且；
（3），那么．
了解了什么是洛必達法則，那么，什么情況下可以使用它去解 決問題呢？
首先，先逐條詮釋一下洛必達法則需要滿足的條件．
對于（1），這樣給大家解 釋，我們用洛必達法則處理的式子形式為或的形式，也是唯一判定標準．
對于（2），我們在高中階段幾乎不研究不可導函數，所以大家不用擔心．
對于（3），高中階段，當出現或的時候，對分子分母分別求導，若值存在，則值不變，洛必達法則可以在一個式子中多次使用，直到可以求出定值為止．
典型例題
【例1】 設函數．
（1）若a=0，求的單調區間；
（2）若當x≥0時，，求a的取值范圍．
【例2】 已知函數，曲線在點處的切線方程為.
(1)求的值；
(2)當,且時,,求的取值范圍.
【例3】設函數.
(1)求的單調區間;
(2)如果對任何,都有,求的取值范圍.
【例4】 設函數,若對所有的都有成立,求實數的取值范圍.
1第12講 洛必達法則巧解 高考壓軸題
知識與方法
數壓軸題第2問中，如果是不等式恒成立來求參數的取值范圍問題，我們可以用洛必達法則來處理．
先給大家介紹一下什么是洛必達法則：
法則1：若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點a的去心鄰域內，與可導且；
（3），那么．
法則2：若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點a的去心鄰域內，與可導且；
（3），那么．
了解了什么是洛必達法則，那么，什么情況下可以使用它去解 決問題呢？
首先，先逐條詮釋一下洛必達法則需要滿足的條件．
對于（1），這樣給大家解 釋，我們用洛必達法則處理的式子形式為或的形式，也是唯一判定標準．
對于（2），我們在高中階段幾乎不研究不可導函數，所以大家不用擔心．
對于（3），高中階段，當出現或的時候，對分子分母分別求導，若值存在，則值不變，洛必達法則可以在一個式子中多次使用，直到可以求出定值為止．
典型例題
【例1】 設函數．
（1）若a=0，求的單調區間；
（2）若當x≥0時，，求a的取值范圍．
【解析】 (1)時,.
當時,，當時,.故在單調減少,在單調增加.
(2)【解法1】 ,由(1)知,當且僅當時等號成立.故,從而當,即時,,而,所以當時,.由可得.因此當時,,故當時,,而,所以當時,.
綜合得的取值范圍為.
【解法2】 當時,,對任意實數,均在；當時,等價于,
令,則,令,則,知在上為增函數,;知在上為增函數,在上為增函數.由洛必達法則知,,故,
綜上,知的取值范圍為.
【例2】 已知函數，曲線在點處的切線方程為.
(1)求的值；
(2)當,且時,,求的取值范圍.
【解析】 (1).
由于直線的斜率為,且過.點,故故,解 得.
(2)【解法1】 由(1)知,所以，
考慮函數,則.
①設,由知,當時,遞減.而,故
當時,,可得；
當時,,可得,
從而當,且時,,即.
②設.由于的圖象開口向下,且,
對稱軸.當時,,故,而,所以當時,，
可得,與題設矛盾.
③設.此時,而,故當時,,可得,與題設矛盾.
綜合得,的取值范圍為.
【解法2】由題設可得,當時,恒成立.
令,則,
再令,則,易知在上為增函數,且;故當時,0,當時,;
∴在上為減函數,在上為增函數;故在上為增函數.∵當時,,當時,當,時,,當時,在上為減函數,在上為增函數.
∵由洛必達法則法0,即的取值范圍為.
【例3】設函數.
(1)求的單調區間;
(2)如果對任何,都有,求的取值范圍.
【解析】
(1).
當時,,即;
當時,,即.
因此在每一個區間內是增函數,
在每一個區間內是減函數.
(2)應用洛必達法則和導數,若,則;
若,則等價于.即,
則.
記,
.
因此,當時,在上單調遞減,且,故,所以在上單調遞減,
而.
另一方面,當時,,因此.
【例4】 設函數,若對所有的都有成立,求實數的取值范圍.
【解析】
【解法1】 令,對函數求導數:,令,解 得.
(1)當時,對所有,所以在上是增函數.又,所以對,有,即當時,對于所有,都有.
(2)當時,對于,所以在是減函數.又.所以對,有,即.所以當時,不是對所有的,都有成立.
綜上的取值范圍是.
【解法2】 令,于是不等式成立即為成立.對求導數得,令,解得,當時,為增函數,當時,為減函數.要對所有都有充要條件為.由此得,即的取值范圍是.
1

展開更多......

收起↑